2023高考数学典型题目汇总（共217道）

高考数学经典题目汇总

目录

专题1一网打尽T数列求和之错位相减23题..................................1

专题2一网打尽1线性规划题型分类84题.....................................5

类型1截距问题.....................................................................5

类型2面积问题.....................................................................6

类型3最优解问题...................................................................7

类型4斜率问题.....................................................................8

类型5距离问题.....................................................................8

类型6整点问题.....................................................................9

类型7含参数问题..................................................................10

类型8非线性问题..................................................................11

类型9其它有关问题................................................................12

专题3一网打尽T均值不等式的应用81题......................................15

专题4挑战压轴题1导数中的构造函数（选择填空）..............................23

专题5挑战压轴题1导数中的数列不等式.......................................25

专题一数列求和之错位相减

这些题目均来自于近年各省高考真题

所选题目总体上以先易后难的次序排列，便于同学们循序渐进地掌握这一重要的题型.

错位相减，都是套路，熟练即可.

另外，错位相减并非只适用于等差乘以等比型的数列求和.

题目1.已知等差数列｛。八｝满足=0：。6+=—10.

(1)求数列｛厮｝的通项公式；

(2)求数列｛禽｝的前n项和.

77

解析(1)Q〃=2-n,(2)Sn=不二

2

题目2.已知｛an｝是递增的等差数列，a2,a4是方程x-5®+6=0的根.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)求数列｛费｝的前n项和.

解析⑴的=号±♦⑵5.=2-当寸

题目3.已知｛而｝是各项均为正数的等比数列，｛心｝是等差数列，且的=瓦=1也+b3=2a3,a5-3b2=7.

(1)求｛an｝和｛鼠｝的通项公式;

⑵设cn=anbn,求数列｛cn｝的前n项和Sn.

n1

解析(l)an=2-,hn=2n-1.⑵Sn=(2n-3)-2"+3.

(2)由⑴可知cn=(2n-1)-2”T,所以

cc

Sn=Cl+。2++•,•+n-l+n

=1-20+3-21+5■22+♦••■I-(2n-3)-2n-2+(2n-1)-2n-1

12n2n-1n

所以2Sn=1-2+3-2+•••+(2n-5)-2-+(2n-3)-2+(2n-1)-2

所以—S“=1+2(2X+22+•••+2n-2+2n-1)-(2n-1)-2tt

2(1-2"T)

=1+2--^——^-(2n-l)-2n

1—2

=1+2-(2n-2)-(2n-1)-2n

=(3-2n)-2n-3

所以Sn=(2n-3)-2"+3

题目4.设｛an｝是等差数列,｛“J是各项都为正数的等比数列，且的=瓦=l,a3+b5=21,a5+b3=13.

(1)求｛a“｝,｛b“｝的通项公式；

(2)求数列｛^｝的前几项和Sn.

n1

解析⑴Qn=2n-1,hn=2~.(2)Sn=6-府竽.

题目5.设正项等比数列｛%｝的首项的='前"项和为斗,且210s3。一(21°+l)S2o+&0=0.

(1)求｛an｝的通项;

(2)求SS"的前。项和Tn.

解析⑴a”=⑵M=吆#+妥一2.

1.

题目6.设等差数列｛an｝的公差为d,前"项和为5„,等比数列｛葭｝的公比为q.已知h=的,电=2,q=

d.Sio=100.

(1)求数列｛%｝,｛>,｝的通项公式；

⑵当d>1时，记cn=善,求数列｛%｝的前n项和Tn.

n-1

解析(l)an=2n-1,bn=2或an=-(2n+79),=9-f-J.⑵图=62nLi•

题目7.设数列｛an｝的前n项和为Sn=2*｛鼠｝为等比数列，且的=力也(。2-。1)=瓦.

(1)求数列｛%｝和｛bn｝的通项公式；

(2)设c”=詈,求数列｛cn｝的前n项和Tn.

解析(l)an=4n-2,bn=/p(2)容=—~”

题目8.数列｛an｝的前n项和为Sn,(i\=l,an+i=2Sn.

(1)求数列｛。几｝的通项an;

(2)求数列｛n%｝的前n项和Tn.

r

Ln=.L1

2-

解析(l)an=<2n-n彳z2

.3，

题目9.已知数列｛Q"的前n项和Sn=3/+8n,｛bn｝是等差数列，且an=bn+6n+i.

(1)求数列｛鼠｝的通项公式；

(2)令品=(靠,求数列｛4｝的前11项和加

\^n十句

n+1n2

解析(l)an=6n+5,bn=3n+1.(2)cn=(3n+3)2,7；=3n-2+.

n

题目10.设数列｛时｝的前n项和为Sn.已知2Sn=3+3.

(1)求｛a„｝的通项公式；

(2)若数列儡｝满足anbn=log3an,求｛鼠｝的前n项和Tn.

解析(l)a„='-I：>；⑵Tn=H672+3

n

O,>JL.4-3

题目n.在数列｛an｝中,<11=l,an+i=2an+2".

(1)设bn=3.证明:数列｛“,｝是等差数列;

(2)求数列｛an｝的前n项和Sn.

nn

解析(2)an=n-2~\Sn=(n-1)-24-1.

22。

题目12.已知数列｛Q/的首项Qi=-,an+1=—%

3an4-1

(1)证明：数列｛*—1｝是等比数列；

(2)数列的前n项和Sn.

解析(2»“=展

2.

题目13.在数列｛Q"中,Ql=l,«n+l=(1+;)

⑴设bn=组求数列｛bn｝的通项公式;

n

(2)求数列｛%｝的前n项和Sn.

解析(1)&„=2-(2)5n=n(n+1)+-4.

2n-1

题目14.设数列｛“｝满足=2,an+i—an=3-2.

(1)求数列｛。4｝的通项公式；

(2)令bn=nan,求数列的前n项和Sn

21

解析(l)an=2"-.(2)Sn=gT)广+2.

题目15.已知数列｛厮｝的前n项和S”=一：/+1m*eN*),且&的最大值为8.

(1)确定常数k,并求质;

(2)求数列｛巴萨｝的前几项和Tn.

9n-k2

解析⑴卜-4,an--n.⑵=4-万二

n

题目16.已知数列｛a,,｝的前n项和Sn=kc—A:(其中c.k为常数)，且a?=4,。6=8a：；.

(1)求a„,

(2)求数歹lj｛na“｝的前n项和Tn.

解析⑴a4=2".⑵7；=2+(ri-l)2"+i.

2

题目17.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn=2n+n,数列｛现｝满足an=4log2bn+3.

(1)求a”,b“;

(2)求数列｛勾勾｝的前n项和Tn.

n

解析(l)an=4n-1,bn=2"T.(2)4=(4n-5)2+5.

题目18.已知首项都是1的两个数列｛%｝,｛&”｝�,n€"*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

(1)令5=詈，求数列｛G,｝的通项公式;

(2)若bn=3"T,求数列｛an｝的前n项和Sn.

解析(l)cn=2n—1.(2)Sn=(n-1)3"+1.

题目19,数列｛an｝满足Qi=l,nan+i=(n+l)an+n(n+1).

(1)证明：数列｛黑｝是等差数列；

(2)设bn=3n-g求数列｛⑥｝的前n项和Sn.

解析(2)b„=n.3»,Sn=(2nT)；"i+3.

4

题目20.已知数列｛(in｝满足an+2-qa”(q为实数,且qrl,nWN*)、a，i—1,。2=2,且(12+03)。3+。4,&4+15

成等差数列.

(1)求q的值和｛a“｝的通项公式；

(2)设bn=照也5e"*),求数列抄“｝的前n项和.

«2n-l

3.

2寸，。为奇数,7Z+2

解析⑴Q,2=<(2以=4-

2号，打为偶数.2八+1

题目21.己知数列｛厮｝是首项为正数的等差数列，数列1―1—)的前n项和为—^―

[an-a„+,J2n+1

(1)求数列｛a„｝的通项公式；

a

⑵设bn=(an+1)-2",求数列｛机｝的前n项和Tn.

解析(l)an=2n-l.(2)7；=4+⑶?、l)-4"+i

题目22.设数列｛%,｝满足的+3a2+32a3+■•■+3n-1a„=-,n6JV*.

(1)求数列｛厮｝的通项；

(2)设b=—,求数列｛b｝的前n项和S.

nQnnn

解析(l)an=亲.⑵％=丝p.3"+i+*

111

题目23.已知数列｛a冷｝和｛机｝满足(i\=2,b\=1,%.+1=2右,力+不匕2++…H—b=b^i—l(neM").

23nnn

(1)求二与bn;

(2)记数列｛Q/’J的前n项和为Tn,求Tn.

解析⑴册=2%hn=n.(2)7；=(n-1)-2Hl+2.

4

专题二线性规划题型分类84题

★类型一截距问题

'c+2g—4W0

题目24.若实数x.y满足<£一夕一1忘0，则i+沙的取值范围是

产》1

'2c+g-12W0

题目25.若gg满足条件13/—2g+1020,则n+2g的取值范围是

1一4g+10W0

%+2g-4W0

题目26.若实数x,y满足<工一y-1<0，则2，+?的取值范围是

121

题目27.已知正数x,y满足（2,二"可八，则z=己丫•（1）"的最小值为__________

c-3g+520\4/\ZJ

题目28.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,已知a5£[1,4],a6e[2,3],则S6的取值范围是

题目29.设等差数列｛时｝的前n项和为Sn,若S4》10,$5W15,则a4的最大值为

题目30.各项均为正数的等比数列｛%｝中，若如》1,a2W2,他》3,则a4的取值范围是

'a'

解析会8.

题目31.已知数列｛an｝是等差数列，且电€。1],。2[1,2],<13€[2,3],则<14的取值范围是（）

A.[3,4]B.*用C.假aD.[2,5]

解析C.

%+2U一4（0

l—y—1W0，则归—2?+1]的取值范围是

1£》1

a—b+1》（）

2a-b-l<0,z=|a-b-1],则z的取值范围是

｛2a+2b—120

解析g,2.

题目34.（2012年上海文）满足约束条件团+21M12的目标函数z=沙—c的最小值是

（c+2g22

题目35.若实数满足+，则目标函数2=3罔+|g-3|的取值范围是（）

（4c—y）一1

■31「3

A.-,9B.--,6C.[-2,3]D.[1,6]

5.

解析A.

力一。W0

题目36.已知实数a;,。满足(a：+a-4WO,则|3/+v-4|+|a：+2u+8|的最小值是()

%20

A.11B.12C.16D.18

n+2g—4(0

题目37.若P(a,b)是约束条件＜x-y-1^0所表示的平面区域内的点，Q(3,2),^\OP-OQ的取值范

力21

围是__________

题目38.设O为坐标原点，乂(1.2),若NQ,仍满足+"-4W0,则曲丽的最大值为

口一沙+220

A.4B.6C.8D.10

解析B.

力一4g+3<0

题目39.已知4(2,0),点P的坐标(x,y)满足<3c+5yW25,则的最大值是__________

i—120

卜-4gW-3

题目40.已知O是坐标原点,取(2,1),N(x,y)满足(3rr+5yW25,M|olv|cosZA/OA^的最大值为__________

心》1

解析驾1

0

2①—y+2》0

ZN+u—dvO,则3—2)2+@一2)2的取值范围是()

(xy-220

解析C.

★类型二面积问题

卜+120

题目42.若不等式组1«0表示的平面区域面积等于2,则a=

(QR—g+120

解析Q=3.

题目43.在平面直角坐标系中，不等式组(±+3?》4所表示的平面区域被直线"=人/+(4分为面积相等

惨+心4

的两部分，贝Ik=

7

解析fc=-.

O

6.

x+2y-3W0

n<T<Q

题目44.己知点P(m,n)在不等式组r"所表示的平面区域内，不等式组a:》0表示的

()wUW4

平面区域为A,则Pe4的概率是

解析品.

16

★类型三最优解问题

I+2g—4(0

题目45.已知实数x,n满足<1一g-1W0,

221

z1x

()

\z若n=QN+g的最小值是1,则实数3Q+b的值是

2

/\

()

\z若z=a%+夕仅在⑵1)处取得最大值，则实数3a+b的取值范围是

z3\

(J

\Z若z=Q2+v取得最大值的最优解有无穷多个解，则实数3Q+b的值是

z4\

(1

\7若/e[—1,1]恒成立，则3。+b的取值范围是

'力+y》5

题目46.已知x.y满足以下约束条件(N—V+5W0,使z=，+Q"(a>0)取得最小值的最优解有无数个,

a;W3

则Q的值为()

A.-3B.3C.一1D.1

解析D.

题目47.已知应?/满足约束条件([V、7-4-?/V4，若目标函数z=az+y(a>0)仅在点(3,1)处取得最大

一2Wa—沙W2

值，则a的取值范围为

解析(1,+8).

%+2V一3(0

题目48.已知变量满足约束条件[Z+3?/—320,若目标函数z=aa；+y仅在点(3,0)处取到最大值,

出一1W0

则实数a的取值范围

c+y—3W0

2x-y^0下取得最大值时的最优解只有一个，则

{y4a

a的取值范围是

解析(—oo,2].

题目50.已知点4(5,3),B(2,1),C(1,5),设A4BC围成的平面区域为M.若使目标函数z=ax+y(a>0)

取得最小值的最优解有无穷多个，则a的值是()

A.4B.2C.-D-1

I

题目51.如果实数满足3n27，则目标函数z=ax+by(ab*0),在z=2,v=2取得最大值的充

1[n+gW4

要条件是()

A.Ia|WbB.\a\W\b\C.|a|)bD.\a\^\b\

7.

★类型四斜率问题

力—V—2<0

题目52.设实数伤"满足<1+2”一420,则Z的最大值是__________

X

2g—340

①+2y—4W0

题目53.若实数应v满足1一g-1W（）,则的取值范围是

N+1

①21

'n+2V—4W0

题目54.若实数满足x-y-1^0，则了3的取值范围是

3x+y

[2》1

I+2沙—4W0

安的取值范围是__________

题目55.若实数丁,J/满足<①一y-1W0，则

y-2

421

"+4则y+1的取值范围

题目56.若实数与"满足<

口20£+1

★类型五距离问题

‘①+2y—4W0

题目57.若实数c〃满足,£一u-1w0，则x2-4x+y2的取值范围是__________

N21

（2rr+v-220

题目58.已知x,n满足11一2沙+4》0,则2

=x2+y2的最大值和最小值分别是（）

—y-3W0

A.13,1B.13,2C.131D.A当

55

z-g+220

题目59.不等式组（/+沙+2》0表示的平面区域为。，若圆0:7+犷=产上所有的点都在区域。内,

21—沙一2W0

则圆0面积的最大值是一

解析土

5

%+VW4

题目60.设不等式组ly-x^O表示的平面区域为。.若圆C:（c+I）2+（y+I）2=r2（r>0）不经过区

%—120

域D上的点，则r的取值范围是（）

A.[2^,2^]B.（2>/2,3\/2]C.（3^,2^]D.（0,2/）U（26,+8）

解析D.

4%+3g—1220

题目61.已知不等式组lk-x^0（x,y,k€凡且A;>0）所表示的平面区域在圆（x-3）2+y2W

N+3g<12

25（工,ye冗）的内部，则k的取值范围是（）

8.

A.(0,3]B.(0,6]C.(0,5]D.[1,6]

解析B.

'2①—y+220

题目62.点P在平面区域,x-\-y-2W0上，点Q在/+(y+2)2=1上，则|PQ|的最小值为

、2…20

,34

A.-B.--1C.272-1D.y/2-1

2-75

7+2g-4》0

x-y2^0，且（n+a）2+/的最小值为6,则正数a=

{2x+y—3W。

解析也

p>2,

题目64.平面上满足约束条件{窜+?/<0,的点（z,y）形成的区域为D,区域D关于直线y=2x对称

[a:-y-10^0

的区域为E,则这两个区域中距离最近的两个点之间的距离为

★类型六整点问题

题目65.满足罔+加（2的点（工,必中整点（横纵坐标都是整数）有（）

A.9个B.10个C.13个D.14个

2x—y—3>0

题目66.已知整数gg满足（2c+3?j—6<0,则e+〃取得最大值时的（叫妨是

3G—5g—15V0

解析⑵0）或（3,-1）.

r5x-lly2-22

题目67.已知整数1,沙满足《2/+3y）9，则z=7+g的最大值是（）

2xW11

A.7B.8C.9D.10

14N+9yW51

题目68.已知x,y满足<—6,+3沙W1,则n+g取得最大值时的（x,y）是

x,yQN

解析（2,2）或（3,1）.

p>0

题目69.没nsN，已知不等式组（y>0所表示的平面区域为。九，若。几内的整点个数为Q,则

（VW—nx+3n

an的解析式是

解析an=3n.

9.

★类型七含参数问题

仔》0,V20

题目70.在约束条件(v+iWs下，当3WsW5时，2=3l+2?/的最大值的变化范围是()

A.[6,15]B.[7,15]C.[658]D.[7,8]

解析D.

仔》0

题目71.已知点尸(1,9)满足，若z=i+3g的最大值是8,则实数k=__________

12%+g+kWO

解析k=—6.

题目72.已知力/满足\xy…若目标函数z=匕2的最小值为1,则。=__________

〔而+获W1”

解析a=1.

'2i+g—220

题目73.已知不等式组—2V+4)0所表示的平面区域为“，若函数”=k*+1)+1的图象经过区域

3/—g—3W0

M,则实数k的取值范围

①一2沙+120

①W2表示的平面区域为D、若函数y=\x-l\+m的图像上存在区域D

(i+y-120

上的点，则实数m的取值范围是

力》1

题目75.已知双"满足L+J/^4，且2z+y的最大值7,最小值1,则a+b+c=

a

Q①+如+cW0

W2

题目76.已知实数x,y满足＜2x-y^0,且目标函数z=y-3x的最大值为—1,最小值为一5,则

Qi+bg+。20

Q+2b+3cj....

---------的值为___________

a

解析—6.

题目77.已知实数满足,且目标函数z=期一3a的最大值为—1,最小值为一5,则

[QZ+如+。10

a+2b+3c../土山

------—的值为__________

a+br

解析-3.

I20

题目78.(08浙江卷17)若a》0,。》0,且当＜沙》0时，恒有az+如w1,则以(a,b)为坐标点P(a,b)

x+y^l

所形成的平面区域的面积等于__________

解析L

10.

★类型八非线性问题

or+2沙一4W0

题目79.若函数y=2-+h图象上存在点（应始满足约束条件<x-y-1^0,则实数h的取值范围

x1

是__________

（工+y—3W0

题目80.（2012年福建理）若直线n=2,上存在点（/,?/）满足约束条件（，—2〃-3w0,则实数m的最大

值为（）

13

A.-B.1C.-D.2

解析B.

2N+y—220

题目81.已知实数①,g满足＜1一2"+420,则z=g/的最大值__________

、3x—y—3（0

{a+2g—4W0

立一y-1W0，则/+y的取值范围是

立》1

'yW①+32

题目83.已知实数满足，则上的取值范围是

y

x+5g24

解析[2,45].

%-y+220

题目84.已知不等式组（，+V一420，求下列目标函数的最值或取值范围.

、2①—y—5（0

（1）求z=1+2y-4的最大值.

⑵求Z=，+y2-IQy+25的最小值.

（3）求2=辿1的取值范围.

力+1

解析⑴21.(2)a1.(3)篇「R7.一

j5i+3g<15

题目85.已知x,y满足约束条件(“1+1

一5〃》3

(1)求a=d+犷+4x-8y-F20的最小值.

(2)求m=安的最大值.

x—2

2K

解析⑴万.⑵2.

11.

★类型九其它有关问题

b_2

题目86.关于I的方程/2+QN+2b=0的两个实数根分别位于区间(0,1),(1,2)内，且Q,be心则W

的取值范围是V)

1D

A.("b-(Qc-(-另

解析B.

23

题目87.设实数x,y满足3W/w8,4W亍W9,则*的最大值是.

解析27.

题目88.三个正数a,b.c满足aWb+cW2a,bWa+cW26,则-的取值范围是)

a

23

A.B.C.D.[1,2]

352

题目89.己知正数a,b.c满足:5c—3a<bW4c—a,clnb2a+clnc,则-的取值范围是

a

解析57].

rr+2y—4W0

题目90.若P(a,+b,a-b)是约束条件<x-y-1W。所表示的平面区域内的点，则2a+。的取值范围

221

是.

题目91.在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)\x+y&l,x》0,y>()},则平面区域

B={(立+明工-y)\(x,y)€A}的面积为

解析L

m,十九一1W。

题目92.已知实数m,"满足条件1，则函数？/=7■侬r+n的图像经过第一，二，三象限的概率

一1WnW1

是.

解析:

2c一4+1>0

表示的平面区域内存在点F(xo,t/o)满

{y—m>0

足工0-2no=2,则m的取值范围是)

125

A.(一2一：B.8,oC.-oo,--D.-oo,--

ooo

解析C.

题目94.函数沙=f(x)为定义在R上的减函数，函数沙=f(x-1)的图像关于点(1,0)对称，已知实数x,y

满足不等式/(a;2-2x)+f(2y-y2)W0,M(l,2),N(x,y),0为坐标原点,则当1W仍W4时，西•丽的取

值范围为)

12.

A.[12,+8)B.[0,3]C.[3,12]D.[0,12]

解析D.

题目95.设关于的一元二次方程为x2+2ax+b2=0,若a是从区间[0,3]任取一个数,6是从区间[0,2]任取

的一个数，求上述方程有实根的概率.

解析2.

'xWmy+九

题目96.已知直线I:x=my+n(n>0)过点4(4,4，5),若可行域<\/3x—y》0的外接圆直径为

I”。

贝！Jn=__________

解析3或5.

(2x-y^0

题目97.已知实数©V满足不等式卜+y—420.

}43

(1)则2的取值范围是

X

(2)则空里的取值范围是

X

2T3-4-“3

(3)则；y-的取值范围是__________

xzy

(|p-2y+5>0j

题目98.已知4=卜心口(3-13={(x,y)\x2+y2W25},ACB,则实数m的取值范围

[