线性代数考研习题归类汇总-向量

线性代数考研习题归类汇总-向量目录CONTENCT向量的基本概念向量的线性运算向量的基本定理向量的内积与外积向量在几何中的应用01向量的基本概念010203向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。在二维空间中，向量可以用有序对表示，即(x,y)。在三维空间中，向量可以用有序三元组表示，即(x,y,z)。向量的定义与表示向量的模与向量的数量积向量的模是指向量的长度或大小，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。向量的数量积是指两个向量的点乘，计算公式为$xcdoty$。向量的向量积与向量的混合积向量的向量积是指两个向量的叉乘，结果为一个向量。向量的混合积是指三个向量的乘积，结果为一个标量。02向量的线性运算设$mathbf{a}=(a_1,a_2,ldots,a_n)$，$mathbf{b}=(b_1,b_2,ldots,b_n)$，则$mathbf{a}+mathbf{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,ldots,a_n+b_n)$。向量的加法设$k$为实数，$kmathbf{a}=(ka_1,ka_2,ldots,ka_n)$。数乘向量的加法与数乘线性组合线性表示向量的线性组合与线性表示设$mathbf{a}_1,mathbf{a}_2,ldots,mathbf{a}_n$为向量，$k_1,k_2,ldots,k_n$为实数，则$k_1mathbf{a}_1+k_2mathbf{a}_2+ldots+k_nmathbf{a}_n$为向量$mathbf{a}_1,mathbf{a}_2,ldots,mathbf{a}_n$的线性组合。如果存在实数$k_1,k_2,ldots,k_n$使得$mathbf{b}=k_1mathbf{a}_1+k_2mathbf{a}_2+ldots+k_nmathbf{a}_n$，则称$mathbf{b}$可由向量$mathbf{a}_1,mathbf{a}_2,ldots,mathbf{a}_n$线性表示。线性相关如果存在不全为零的实数$k_1,k_2,ldots,k_n$使得$k_1mathbf{a}_1+k_2mathbf{a}_2+ldots+k_nmathbf{a}_n=mathbf{0}$，则称向量组$mathbf{a}_1,mathbf{a}_2,ldots,mathbf{a}_n$线性相关。线性无关如果向量组$mathbf{a}_1,mathbf{a}_2,ldots,mathbf{a}_n$不能被线性表示，则称该向量组线性无关。向量组的线性相关性03向量的基本定理向量组的秩向量空间的基向量组的秩与向量空间的基的关系向量组的秩是该组中线性无关向量的个数，也是该组最大线性无关组所含向量的个数。向量空间的基是一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向量。向量组的秩等于其所在向量空间的维数，即最大线性无关组所含向量的个数等于该空间中向量的个数。向量组的秩与向量空间的基向量空间的维数与向量的坐标向量的坐标是该向量在某个基下的分量表示，而向量空间的维数则是该空间中独立向量的个数，两者之间存在一一对应关系。向量空间的维数与向量的坐标的关系向量空间的维数是该空间中独立向量的个数，也是该空间中任意向量可以由几个线性无关的向量线性表示的个数。向量空间的维数向量的坐标是该向量在某个基下的分量表示，可以通过基向量的线性组合得到该向量。向量的坐标线性方程组解的结构线性方程组解的结构是指方程组解的个数、解的表达式以及解的范围等。判别式判别式是用于判断线性方程组解的个数的代数式，通过计算判别式的值可以确定方程组解的个数。线性方程组解的结构与判别式的关系判别式是用于确定线性方程组解的个数的工具，而线性方程组解的结构则是方程组解的具体表现形式，两者之间存在密切联系。010203线性方程组解的结构与判别式04向量的内积与外积向量的点积与向量的叉积点积定义为两个向量的对应分量相乘后求和，即$a·b=a_1b_1+a_2b_2+cdots+a_nb_n$。点积的结果是一个标量。向量的点积叉积定义为垂直于两个向量的平面上的一个向量，其方向由右手定则确定，即$a×b=|a||b|sinθ$。叉积的结果是一个向量。向量的叉积VS一个向量在另一个向量上的投影长度等于该向量与投影方向的点积与投影方向向量的模的乘积。向量的向量积的几何意义两个向量A和B的向量积表示一个与A和B都垂直的向量，其方向由右手定则确定。向量的投影向量的投影与向量的向量积的几何意义向量在向量空间中的分解一个向量可以由一组基向量线性表示，这组基向量构成了该向量所在的向量空间的一组基。正交矩阵一个矩阵A是正交矩阵，如果A的转置矩阵乘以A等于单位矩阵，即$A^TA=I$。正交矩阵的行或列向量是正交的，即它们的点积为0。向量在向量空间中的分解与正交矩阵05向量在几何中的应用向量在解析几何中可以表示点、线、面等几何元素，以及它们的方向和大小。向量可以用来解决平面几何中的问题，例如求点到直线的距离、求两条直线的交点等。向量还可以用来解决空间几何中的问题，例如求点到平面的距离、求两条平面的交线等。向量在解析几何中的应用向量在空间解析几何中的应用01向量在空间解析几何中可以表示三维空间中的点、线、面等几何元素。02向量可以用来解决三维空间中的问题，例如求两条直线的交点、求两个平面的交线等。向量还可以用来解决三维空间中的向量运算问题，例如向量的加法、减法、数乘、向量的模等。03010203向量