2023-2024学年重庆市渝中学区三十中学数学九年级上册期末综合测试试题含解析

2023-2024学年重庆市渝中学区三十中学数学九上期末综合测试试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题3分,共30分）

1.甲、乙两人参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生''和"参加社会调查''其中一项，那么两人同时选择“参加社

会调查”的概率为（

3111

B.-C.-D.-

4432

2.一元钱硬币的直径约为24,“〃,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（）

A.12mmB.12百mm

C.6mmD.6Gmm

3.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.

如图，已知AB与。相切于点A,点C,。在）0上.求证：/CAB=ND.

证明：连接AO并延长，交O于点E,连接EC.

：AB与O。相切于点A,

ΛZEAB=90°,

.∙.ZE4C+ZC4β=90o.

：@是。的直径，

ZECA=90°（直径所对的圆周角是90°）,

.∙.NE+ZEAC=90°,

ΛZE=©.

,•*AC=AC>

ΛA=ZD（同弧所对的蚤相等），

.∙.ZCAB=ZD.

下列选项中，回答正确的是（）

A.@代表AoB.◎代表NCABC.▲代表NzMCD.※代表圆心角

4.如图，在RAABC中，ZACB=90，CDYAB,垂足为。,若BC=2,贝!∣cosNAS的值为（）

2√5√5

Aa.-----Bκ.-----

53

C.更D.-

23

5.一个凸多边形共有20条对角线，它是（）边形

A.6B.7C.8D.9

6.如图，等腰直角AABC中，AB=AC=8,以AB为直径的半圆O交斜边BC于D,则阴影部分面积为（结果保留π）

（）

C

7.如图，在:二。中，弦AB=12,半径OC_LA8与点P,且P为的OC中点，则AC的长是（）

A.4√2B.6C.8D.4λΛ

8.如图，在RtAABC中，NBAC=90o,ZAe8=45。，AB=2√2»点P为BC上任意一点,连结Q4,以Q4,PC

为邻边作平行四边形PAQC,连结PQ,则PQ的最小值为（）

C

Q.

A.2B.√2C,2√2D.4

9.下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A.等边三角形B.平行四边形D.菱形

10.下列图形中，成中心对称图形的是（

D-Θ

二、填空题（每小题3分,共24分）

11.已知X∣和X2是方程χ2+3x—1=O的两个实数根，则X；+X；=

12.一个几何体的三视图如图所示，根据图中数据，计算出该几何体的表面积是

13.在如图所示的几何体中，其三视图中有三角形的是（填序号）.

ΔoS

①②③

14.如图,Λ4,PB是。。的切线,切点分别是点A和&AC是。。的直径.若NP=60。,RI=6,则BC的长为

15.函数y=χ2-4x+3的图象与y轴交点的坐标为

16.如图，直线4//4///3,等腰直角三角形ABC的三个顶点A,aC分别在∕∣,I2,/3上，NAeB=9()。，AC交4

于点O,已知4与〃的距离为2,4与4的距离为3,则BD的长为

17.像后工5=X这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2X+2=F,解得χ∣=2,X2=-1.但由于两边平

方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当修=2时，百=2满足题意；当刈=-1时，√I=-1不符合题意;

所以原方程的解是x=2.运用以上经验，则方程x+J∙3=l的解为

18.一次测试，包括甲同学在内的6名同学的平均分为70分，其中甲同学考了45分，则除甲以外的5名同学的平均

分为分.

三、解答题(共66分)

19.(10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1,AABC的三个顶点都在格点(即这些小正方形的顶点)

上，且它们的坐标分别是A(2,-3),B(5,-1),C(1,3),结合所给的平面直角坐标系，解答下列问题:

(1)请在如图坐标系中画出AABC;

(2)画出AABC关于y轴对称的AA，IrC,并写出AA，IrC'各顶点坐标。

20.(6分)已知关于X的一元二次方程X2-(2A+1)x+4k-3=0,

(1)求证：无论左取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根？

(2)当RtZiABC的斜边α=用，且两条直角边的长b和C恰好是这个方程的两个根时，求R的值.

21.(6分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售

单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成

本.

(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；

(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

22.（8分）如图，直线y=2∙r+l分别与X轴交于点A，与）’轴交于点C,与双曲线y=4（χ>O）交于点（4,m）.

2X

（1）求加与我的值;

（2）已知P是轴上的一点，当&APB=I2时，求点P的坐标.

23.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,。是BC上任意一点.

（1）过AB,。三点作。O,交线段AC于点E（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）若弧DE=弧DB,求证：AB是。。的直径.

24.（8分）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪

念册的售价X（元）之间具有某种函数关系，其对应规律如下表所示

售价X（元/本）・・,222324252627.・・

销售量y（件）•••363432302826.・・

（1）请直接写出y与X的函数关系式：

（2）设该文店每周销售这种纪念册所获得的利润为W元，写出W与X之间的函数关系式，并求出该纪念册的销售单

价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册每周所获利润最大？最大利润是多少？

25.（10分）如图，在A岛周围50海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60。方向，轮

船继续正东方向航行40海里到达B处发现A岛在北偏东45。方向，该船若不改变航向继续前进,有无触礁的危险？（参

考数据：√3≈1,732）

26.（10分）某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每个月可买出180件：如果每件商品的售价每上涨1元,

则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，每件商品的售价为多少元时，每个月的销售利润将达到1920

元？

参考答案

一、选择题（每小题3分,共30分）

1、B

【解析】试题解析：可能出现的结果

小明打扫社区卫生打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查

小华打扫社区卫生参加社会调查参加社会调查打扫社区卫生

由上表可知，可能的结果共有4种，且都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有1种,

则所求概率P=J.

4

故选B.

点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.

2、A

【解析】试题解析：已知圆内接半径r为12mm,

则OB=12,

I

BD=OB∙sin30o=12×-=6,

2

则BC=2×6=12,

可知边长为12mm,就是完全覆盖住的正六边形的边长最大.

故选A.

O

BDC

3、B

【分析】根据圆周角定理和切线的性质以及余角的性质判定即可.

【详解】解：由证明过程可知：

A：@代表AE,故选项错误；

B：由同角的余角相等可知：◎代表NCW,故选项正确；

C和D：由同弧所对的圆周角相等可得▲代表NE,※代表圆周角，故选项错误；

故选B.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，余角的性质等知识点，熟记知识点是解题的关键.

4,D

【分析】在以AABC中，根据勾股定理可得AS=3,而NB=NACD,即可把求COSZA8转化为求COSNB.

【详解】在8△ABC中，根据勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=7(√5)2+22=3

VZB+ZBCD=90o,ZACD+ZBCD=90o,

/.ZB=ZACD,

BC2

：•cosZACD=COSNB==—.

AB3

故选D.

【点睛】

本题考查了了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系，难度适中.

5、C

【分析】根据多边形的对角线的条数公式妁S列式进行计算即可求解.

2

【详解】解：设该多边形的边数为n,由题意得：

心一3)

-------二2(),

2

解得：nl=8,n2=-5(舍去)

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了多边形的对角线公式，熟记公式是解题的关键.

6、A

【解析】试题分析：连接AD,OD,

T等腰直角AABC中，

ΛZABD=450.

∙.,AB是圆的直径，

，ZADB=90o,

.∙.∆ABD也是等腰直角三角形，

ʌ⅜*****⅜>⅛*⅛**AD⅛⅜⅜⅛**⅛*=⅛*⅜⅜⅜⅛βD⅛⅛⅛♦*♦♦♦♦♦•

∙.'AB=8,

：.AD=BD=4♦♦♦♦♦***,

∙*∙S阴影=SAABC-SAABD-S弓影AD=SAABC-SAABD-（S匐彩AOD-AABD）

=∙"*"*"∙∙*1♦命2”∙∙∙∙X8x8-♦“命”命∙∙∙*l∙-2∙∙∙∙〜∙*x4

♦♦♦♦♦+♦♦♦2*******x4*・*+****♦2，・***++-

*ΦΦΦWΦ^Φ1♦Φ2*ΦΦΦ*ΦΦ×*φφ*φφ*φ⅛l*φ2♦φφφ♦φφ×4×4

=16-4π+8=24-4π.

故选A∙

考点：扇形面积的计算.

7、D

【分析】根据垂径定理求出AP,连结。4根据勾股定理构造方程可求出。4、OP,再求出PG最后根据勾股定理即

可求出AC.

【详解】解：如图，连接。4,

VAB=12,OCΔ-AB,OC过圆心O,

1

：.AP=BP=-AB=6,

2

∙.∙P为的OC中点，

设。。的半径为2K,BPOA=OC=IR,则PO=PC=R,

在KfZkOΛ4中，由勾股定理得：AO1=OP2+AP2,

即：（2R）2=JR2+62,

解得：Λ=2√3.

SPOP=PC=2#＞，

在Rf△€1帖中，由勾股定理得：AC2=AP2+PC2,

即Ad≈=62+（2百P

解得：AC=4√3

故选：D.

【点睛】

本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出AP的长是解此题的关键.

8、A

【分析】设PQ与AC交于点O,作OP_L8C于P,首先求出OP,当P与P'重合时，PQ的值最小，PQ的最小

值=2OP'.

【详解】设PQ与AC交于点O,作OP'_LBC于P,如图所示：

aRt∆ABCΦ,NBAC=90。，NACB=45。，

二AB=AC=2√2，

V四边形PAQC是平行四边形,

.∙.OA=OC=-AC=>/2,

2

'：OP'±BC,NACB=45。，

.∙.OP=OC*sin45。=

当P与P重合时，Op的值最小，则PQ的值最小，

.∙.PQ的最小值=2OP'=2

故选：A.

【点睛】

本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质以及垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关

键.

9、D

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来

的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形.故此选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形.故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形.故此选项错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形.故此选项正确；

故选D.

10、B

【解析】根据中心对称图形的概念求解.

【详解】A.不是中心对称图形；

B.是中心对称图形；

C.不是中心对称图形；

D.不是中心对称图形.

故答案选：B.

【点睛】

本题考查了中心对称图形，解题的关键是寻找对称中心，旋转180。后与原图重合.

二、填空题（每小题3分,共24分）

11、1

【分析】根据根与系数的关系可得出X∣+X2=3∖X1X2=-I,将其代入X∕+X22=(x,+x2)2-2xM中即可求出结论.

【详解】解：∙∙∙χ∣,X2是方程f+3x—1=0的两个实数根，

.Φ.X1+X2=-3,XlXl="I,

ΛXl2+X22≡(X1+X2)2.2X1X2=(-3)2-2×(-1)=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和等于-2b、两根之积等于c一是解题的关键.

aa

12、16〃

【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，圆锥的表面积=底面积+侧面积(侧面积将圆锥的侧面积不成曲线地展开,

是一个扇形.)，用字母表示就是S=Trrz+πrl(其中I=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离).

【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2,母线长为6,

：.S=πr2+πrl=+2×6×π=∖6π

故答案为：16%.

【点睛】

本题考查的知识点是几何体的三视图以及圆锥的表面积公式，熟记圆锥的面积公式是解此题的关键.

13、①

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，据此

【详解】解：圆锥的主视图、左视图是等腰三角形，俯视图是带有圆心的圆，

长方体主视图，左视图，俯视图都是矩形，

圆柱体的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，

所以三视图中有三角形的是①.

故答案为①

【点睛】

本题主要考查三视图的知识，熟练掌握常见几何体的三视图是解题的关键.

14、2√3

【分析】连接AB,根据Λ4,PB是。。的切线可得PA=PB,从而得出AB=6,然后利用NP=60。得出NCAB为30°,

最后根据直角三角形中30°角的正切值进一步计算即可.

【详解】

∖

C

如图，连接AB,

,：PA,P5是。。的切线，

ΛPA=PB,

TNP=60。，

.∙.aABP为等边三角形，

.∙.AB=6,

VZP=60°,

ΛZCAB=30o,

易得aABC为直角三角形,

A—=tan30o,

AB

ΛBC=ABxtan30o=2√3,

故答案为：25

【点睛】

本题主要考查了圆中切线长与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

15、(0,3).

【分析】令x=0,求出y的值，然后写出与y轴的交点坐标即可.

【详解】解：X=O时，y=3,

所以.图象与y轴交点的坐标是(0,3).

故答案为(0,3).

【点睛】

本题考查了求抛物线与坐标轴交点的坐标，掌握二次函数与一元二次方程的联系是解答本题的关键.

34

16、——

5

【分析】作AFJj3,BEjL4,证明aACFg∕∖CBE,求出CE,根据勾股定理求出BC,AC,作DH_L4,根据DI1〃AF

证明ACDHSACAF,求出CD,再根据勾股定理求出BD.

【详解】如图，作AF_L，3，BEJLg,贝(JNAFC=BEC=9O。,

由题意得BE=3,AF=2+3=5,

•••△A8C是等腰直角三角形，NAeB=90°,

ΛAC=BC,ZBCE+ZACF=90o,

VZBCE+ZCBE=90o,

ΛZACF=ZCBE,

Λ∆ACF^∆CBE,

ΛCE=AF=5,CF=BE=3,

ʌAC=BC=By∣E2+CE2=√32+52=√34，

作DH_LIi,

ΛDH∕7AF

ΛΔCDH^∆CAF,

.CDDH

••=9

CAAF

CD3

ʌ734=5，

ΛCD=∣√34,

.∙.BD=NBC?+CD2=J(√34)2+(∣ΛΛ4)2=y,

【点睛】

此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线间的距离处处相等的

性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

17、X=-1

【分析】根据等式的性质将X移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案.

【详解】解：将X移到等号右边得到：√^T5=l-χ,

两边平方，得

x+5=l-2x+x2,

解得XI=4,Xi=-1,

检验：x=4时，4+,5+4=5,左边≠右边，.∙.x=4不是原方程的解，

当X=-I时，-1+2=1,左边=右边，.∙.x=T是原方程的解，

.∙.原方程的解是X=-L

故答案为：X=-1.

【点睛】

本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无

理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握.

18、1.

【分析】求出6名学生的总分后，再求出除甲同学之外的5人的总分，进而求出平均分即可.

【详解】(70×6-45)÷(6-1)=1分，

故答案为：L

【点睛】

此题考查平均数的计算，掌握公式即可正确解答.

三、解答题(共66分)

19、(1)图见解析；(2)图见解析；A,(-2,-3),B,(-5,-1),C,(-l,3)

【分析】(1)在坐标系内描出各点，顺次连接各点即可；

(2)分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，并写出各点坐标即可；

【详解】(1)如图，AABC为所求；

(2)如图，AA，IrC'为所求；A,(-2,-3),B,(-5,-1),C,(-l,3)

【点睛】

本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

20、(1)见解析；(2)1

【分析】(D根据根的判别式的符号来证明；

(2)根据韦达定理得到b+c=2k+l,bc=4k-l.又在直角AABC中，根据勾股定理，得(HC)2-Ibc=(√51)2,由

此可以求得k的值.

【详解】(1)证明：V∆=[-(2⅛+l)]2-4×1×(4A-I)=4Λ2-12⅛+11=(2A-1)2+4,

.∙.无论A取什么实数值，总有=(2⅛-1)2+4>0,即A>0,

,无论A取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：V两条直角边的长〃和C恰好是方程χ2-(2A+1)x+4A-l=0的两个根，得

.∖b+c=2k+l9bc=4k-1,

又•・・在直角AAKC中，根据勾股定理，得

b2+c2=a2,

...(*+c)2-2bc=(√31)2,即(2A+1)2-2(4A-I)=11,

整理后，得炉-6=0,解这个方程，得M=-2或4=1,

当A=-2时，b+c=-4+1=-1<0,不符合题意，舍去，当A=I时，HC=2xl+l=7,符合题意，故A=L

【点睛】

此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键

21、(1)y=-5X2+800X-27500(50≤x≤100)；(2)当x=80时，y最大值=450()；(3)70≤x≤l.

【分析】(1)根据题目已知条件，可以判定销量与售价之间的关系式为一次函数，并可以进一步写出二者之间的关系式;

然后根据单位利润等于单位售价减单位成本，以及销售利润等于单位利润乘销量，即可求出每天的销售利润与销售单

价之间的关系式.

(2)根据开口向下的抛物线在对称轴处取得最大值，即可计算出每天的销售利润及相应的销售单价.

⑶根据开口向下的抛物线的图象的性质,满足要求的X的取值范围应该在-5(X-80)2+4500=4000的两根之间,即可

确定满足题意的取值范围.

【详解】解：(1)y=(X-50)[50+5(100-x)]

=(x-50)(-5x+550)

=-5x2+800x-27500,

Λy=-5X2+800X-27500(50≤x≤100)；

(2)y=-5x2+800x-27500=-5(x-80)2+4500,

Va=-5<0,

.∙.抛物线开口向下.

V50≤x≤100,对称轴是直线x=80,

•••当x=80时,yst大(a=4500;

(3)当y=4000时,-5(x-80)2+4500=4000,

解得xι=70,X2=l.

：.当70≤x≤l时，每天的销售利润不低于4000元.

【点睛】

本题主要考查二次函数的应用.

22、(1)12i(2)尸(0,5)或(0,-3).

1k

【解析】(1)把点(4,m)代入直线y=—X+1求得m,然后代入与反比例函数y=*(x>0),求出k；

2X

(2)设点P的纵坐标为y,一次函数y=gx+l与X轴相交于点A,与y轴相交于点C,则A(-2,0),C(0,1),

然后根据SAABP=SAAPc+SABPC列出关于Y的方程，解方程求得即可.

【详解】解：(I)点(4,根)在一次函数y=；x+l上，

一C

.∙.m=­1×4÷1=3,

2

又点(4,3)在反比例函数V=A上，

X

:.k=4×3=12；

(2)设点P的纵坐标为y,一次函数y=gx+l与X轴相交于点A,与)'轴相交于点C,

A(-2,0),C(0,l),

又点P在轴上，SMHB=I2,

SMBP=SrSM)C+SMIPC，即］X2×Iy-11+-×4×∣y-11=12,

∙Jy-l∣=4,

∙∙∙y=5或y=-3

∙∙∙P(0,5)或(0,—3).

【点睛】

本题考查的是反比例函数的图象与一次函数图象的交点问题，三角形的面积等知识，求出交点坐标，利用数形结合思

想是解题的重点.

23、（1）如图1所示见解析；（2）见解析.

【解析】（1）作AB与BD的垂线，交于点O,点O就是AABD的外心，OO交线段AC于点E；

（2）连结DE,根据圆周角定理，等腰三角形的性质，即可得到AD是等腰三角形ABC底边上的高线，从而证明AB

是。O的直径；

【详解】（1）如图1所示

(2)如图2连结A£),

弧DE=弧DB

ΛZBAD=ZEAD

VAB=AC,

.∙.ADlBC,

ΛZADB=90o,

ΛAB是。。的直径.

【点睛】

本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的作法，等腰三角形的性质，圆周角定理以及方程思想的应用等.

24、（1）y