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衡水万卷作业(十二)圆锥曲线的综合应用——抛物线考试时间:45分钟姓名:__________班级:__________考号:__________、解答题(本大题共5小题,共100分)LISTNUMOutlineDefault\l3如图已知抛物线的焦点坐标为,过的直线交抛物线于两点,直线分别与直线:相交于两点.(1)求抛物线的方程;(2)证明△ABO与△MNO的面积之比为定值.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线的顶点是椭圆的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合(1) 求抛物线的方程(2) 已知动直线过点,交抛物线于两点,坐标原点O为中点,求证;(3) 是否存在垂直于x轴的直线m被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值?如果存在,求出m的方程;如果不存在,说明理由。LISTNUMOutlineDefault\l3抛物线C1:的焦点与椭圆C2:的一个焦点相同.设椭圆的右顶点为A,C1,C2在第一象限的交点为B,O为坐标原点,且的面积为.(1)求椭圆C2的标准方程;(2)过A点作直线交C1于C,D两点,连接OC,OD分别交C2于E,F两点,记,的面积分别为,.问是否存在上述直线使得,若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.LISTNUMOutlineDefault\l3已知抛物线的焦点为是抛物线上的动点,且,过两点分别作抛物线的切线,设其焦点为。(1)证明线段被轴平分;(2)计算的值;(3)求证:。LISTNUMOutlineDefault\l3设抛物线的焦点是F.A,B是抛物线上互异的两点,直线AB与x轴不垂直,线段AB的垂直平分线交x轴于点D(a,o),记m=|AF|+|BF|。(I)证明a是p与m的等差中项;(Ⅱ)设m=3p,直线ly轴,且l被以AD为直径的动圆截得的弦长恒为定值,求直线l方程。
LISTNUMOutlineDefault\l3\s0衡水万卷作业(十二)答案解析、解答题LISTNUMOutlineDefault\l3解:(1)由焦点坐标为可知所以,所以抛物线的方程为(2)当直线垂直于轴时,与相似,所以,当直线与轴不垂直时,设直线AB方程为,设,,,,解整理得,所以,,综上LISTNUMOutlineDefault\l3解:(1)抛物线的焦点为,。所以抛物线的方程为(2)设由于O为PQ中点,则Q点坐标为(-4,0)当垂直于x轴时,由抛物线的对称性知当不垂直于x轴时,设,由所以(3) 设存在直线m:满足题意,则圆心,过M作直线x=a的垂线,垂足为E。设直线m与圆的一个交点为G,则.即当a=3时,此时直线m被以AP为直径的圆截得的弦长恒为定值。因此存在直线m:x=3满足题意。LISTNUMOutlineDefault\l3解:(1)∵∴焦点∴即…又∵∴代入抛物线方程得.又B点在椭圆上得,∴椭圆C2的标准方程为.(2)设直线的方程为,由得设,所以又因为直线的斜率为,故直线的方程为,由得,同理所以则,所以,所以,故不存在直线使得LISTNUMOutlineDefault\l3(1)证明:设,由,得直线的方程为:直线的方程为:综合以上两个方程解得即.,由已知三点共线,设直线的方程为,与抛物线方程联合消去,得点的纵坐标为,线段中点的纵坐标为0,即线段被轴平分(2)解:,(3)证明:而在直角中,LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(I)据条件知,抛物线准线x=,F(0,)。设线段AB中点为C,过A作APj于p,过B作BQj于Q,过C作CRj于R。设AB,则C(pp)。易知CR=p+,于是m+p=|AF|+|BF|+p=|AP|+|BQ|+p=2CR+p=2+p=2p(+1)又=,所以=-()。易知直线CD:y=-()P(),从而知a=p+p.于是2a=2p(+1).综上所述知,a是p与m的等差中项。(Ⅱ)根据(I)的结论知,当m=3p时,D点坐标为(2p,0)。令A(2p,2P).则以AD为直径的圆E,圆心坐标为E(p(
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