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文档简介
公差裂项解法对于较长的复杂算式,单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的,那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是:把算式中的每一项裂变成两项的差,而且是每个裂变的后项(或前项)恰好与上个裂变的前项(或后项)相互抵消,从而达到“以短制长”的目的。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法的运用,并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
例1、计算1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为2。
1×2=(1×2×3-0×1×2)÷(1×3)
2×3=(2×3×4-1×2×3)÷(1×3)
3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(1×3)
4×5=(4×5×6-3×4×5)÷(1×3)
……
98×99=(98×99×100-97×98×99)÷(1×3)
99×100=(99×100×101-98×99×100)÷(1×3)
将以上算式的等号左边和右边分别累加,左边即为所求的算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×100×101-0×1×2)÷3。
解:1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
=(99×100×101-0×1×2)÷3
=333300例2、计算3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
分析:这个算式实际上也可以看作是:等差数列3、5、7、9……97、99、101,先将所有的相邻两项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为2,因数个数为2。
3×5=(3×5×7-1×3×5)÷(2×3)
5×7=(5×7×9-3×5×7)÷(2×3)
7×9=(7×9×11-5×7×9)÷(2×3)
……
97×99=(97×99×101-95×97×99)÷(2×3)
99×101=(99×101×103-97×99×101)÷(2×3)
将等号左右两边分别累加,左边即为所求算式,右边括号里面许多项可以相互抵消。
解:3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
=(99×101×103-1×3×5)÷(2×3)
=1029882÷6
=171647
例3、计算1×2×3+2×3×4+3×4×5+……+96×97×98+97×98×99
分析:这个算式实际上可以看作是:等差数列1、2、3、4、5……98、99、100,先将所有的相邻三项分别相乘,再求所有乘积的和。算式的特点概括为:数列公差为1,因数个数为3。
1×2×3=(1×2×3×4-0×1×2×3)÷(1×4)
2×3×4=(2×3×4×5-1×2×3×4)÷(1×4)
3×4×5=(3×4×5×6-2×3×4×5)÷(1×4)
……
96×97×98=(96×97×98×99-95×96×97×98)÷(1×4)
97×98×99=(97×98×99×100-96×97×98×99)÷(1×4)
右边累加,括号内相互抵消,整个结果为(97×98×99×100-0×1×2×3)÷(1×4)。
解:1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99
=(97×98×99×100-0×1×2×3)÷(1×4)
=23527350例4、计算10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
分析:算式的特点为:数列公差为6,因数个数为3。
解:10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
=(76×82×88×94-4×10×16×22)÷(6×4)
=2147376
公差裂项通过以上例题,可以看出这类算式的特点是:从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘,再把所有的乘积相加。其巧解方法是:
将以上叙述可以概括一个口诀是:等差数列数,依次取几个。所有积之和,裂项来求作。后延减前伸,差数除以N。N取什么值,两数相乘积。公差要乘以,因个加上一。
需要注意的是:按照公差向前伸展时,当伸展数小于0时,可以取负数,当然是积为负数,减负要加正。对于小学生,这时候通常是把第一项甩出来,按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外,有些算式可以先通过变形,使之符合要求,再利用裂项求解。平方数相加裂项例5、计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
分析:n×n=(n-1)×n+n理解透切并练习
解:1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
=1+(1×2+2)+(2×3+3)+……+(98×99+99)+(99×100+100)
=(1×2+2×3+……+98×99+99×100)+(1+2+3+……+99+100)
=99×100×101÷3+(1+100)×100÷2
=333300+5050
=338350平方数裂项求和等于公差为1因数个数为2的公差裂项和+1到N的和。例6、计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100
分析:(n-1)×n=(n-2)×n+n
解:1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100
=2+(2×4+4)+(4×6+6)+(6×8+8)+……+(96×98+98)+(98×100+100)
=(2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100)+(2+4+6+8+……+98+100)
=98×100×102÷6+(2+100)×50÷2
=169150立方数相加裂项求和例7、计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
分析:n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n举例练习100×100×100=(99×100×101+100)
解:1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
=1+(1×2×3+2)+(2×3×4+3)+……+(98×99×100+99)+(99×100×101+100)
=(1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101)+(1+2+3+……+99+100)
=99×100×101×102÷4+(1+100)×100÷2
=25492400立方数求和可裂项为公差为1因数为3个的裂项和+1到N的和。奇乘奇,偶乘偶求和等于奇乘奇裂项和+偶乘偶裂项和例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
解:1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
=(1×3+3×5+……+99×101)+(2×4+4×6+……+98×100)
=(99×101×103-1×3×5)÷6+1×3+98×100×102÷6
=171650+166600
=338250奇乘奇裂项求和等于公差为2,因数为2的裂项求和偶乘偶裂项求和等于公差为2,因数为2的裂项求和例9、计算1+(1+2)+(1+2+3)+……+(1+2+3+4+……+100)
先理解等差数列求和公式项数×(首项+末项)÷21+2=2×(1+2)÷21+2+3=3×(1+3)÷21+2+3+4=4×(1+4)÷21+2+3+4+……+100=100×(1+100)÷2
解:1+(1+2)+(1+2+3)+……+(1+2+3+4+……+100)
=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2
=(1×2+2×3+3×4+……+100×101)÷2
=(100×101×102÷3)÷2
=171700
将上面的口诀继续编写是:前延比零小,取负就是了。小学不可为,首项先甩掉。平方和立方,变形再裂项。式长要转化,类比解决它。口诀需熟记,灵活靠练习。
练习题:
1、计算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×100
2、计算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100
3、计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×65
4、计算3+(3+6)+(3+6+9)+……+(3+6+9+12+……+300)计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2平均数公式:平均数=(首项+末项)÷2入门题有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列有多少项?一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少?求等差数列1、4、7、10……,这个等差数列的第30项是多少?6+7+8+9+……+74+75=()2+6+10+14+……+122+126=()已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项?有一个数列:6、10、14、18、22……,这个数列前100项的和是多少?练习题:1、3个连续整数的和是120,求这3个数。2、4个连续整数的和是94,求这4个数。3、在6个连续偶数中,第一个数和最后一个数的和是78,求这6个连续偶数各是多少?4、丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词?5、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多要试多少次?6、某班有51个同学,毕业时每人都要和其他同学握一次手,那么这个班共握了多少次手?备选题:1、5个连续整数的和是180,求这5个数。2、6个连续整数的和是273,求这6个数。3、在等差数列1、5、9、13、17……401中,401是第几项?第50项是多少?4、1+2+3+4+……+2007+
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