2022-2023学年高一数学 人教A版2019必修第一册 同步讲义 第22讲 函数与方程8大题型总结 含解析

第22讲函数与方程8大题型总结

【考点分析】

考点一：函数的零点的概念

①函数零点的定义

对于函数y=∕(χ)&wθ),我们把使/(χ)=o的实数X叫做函数y=∕(χ)(χe0的零点.

②零点存在性定理：

一般地，如果函数y=∕(χ)在区间睥，加上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

/(q)/S)<0,那么函数y=∙f(x)在区间(。，b)内有零点，即存在ce(α,加，使得F(C)=O,

这个C也就是/(X)=O的根.

注意：连续不断的函数/(X)在闭区间［α,加上有零点，不一定能推出f(α)∕S)<0.

考点二：二分法的概念

①对于在区间团，加上连续不断且/(a)∕S)<0的函数y=∕(χ),通过不断把函数F(X)的零

点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法.

②对于给定精确度£,利用二分法求函数/(X)零点近似值的步骤如下：

①确定区间3,句，验证/(a)fS)<O,给定精确度£；

②求区间(a，t>)的中点c;

③计算/(c)；

a.若/(c)=0,则C就是函数的零点；

b.若f(a)∕(c)<O,则令b=c(此时零点Xoe(a，c));

C.若/W(C)<0,则令α=c(此时零点GW(C,6)).

④判断是否达到精确度£,即:若Ia-4<£,则得到零点近似值。(或6);

否则重复②③④.

【题型目录】

题型一：求函数的零点

题型二：函数的零点区间

题型三：判断函数的零点个数

题型四：根据函数零点的存在情况求参数

题型五：二分法的应用

题型六：函数等高问题

题型七：函数零点和问题

题型八：函数应用模型

【典型例题】

题型一：求函数的零点

f2x-iγ1

【例1】已知函数f(x)=,,,,则函数/3的零点为()

l÷log2x,x>l

A.2B.-2,OC.ɪD.O

【答案】D

2x-l,‰l

【解析】函数/(χ)=∙

1+Iog2x,x>1

当用,1时，令/(x)=2'-l=0,解得X=O

当x>l时，令/(x)=l+k>g2X=0,解得x=g(舍去)综上函数的零点为0.故选：D.

题型二：函数的零点区间

【例1】(2022贵州省瓮安第二中学)函数"x)=(gj-x-2的零点所在的区间为()

A.(—3,—2)B.(―2,—1)C.(—1,0)D.(0,1)

【答案】C

【解析】因为/(x)=S'-x-2是连续的减函数，

/(-3)=^35>0,/(-2)=9→0,

84

37

/(-l)≈-+l-2>0,/(0)=l-2<0,/(l)=-^<0,

有F(T)AO)<0,所以/(x)的零点所在的区间为(TO).故选：C

【例2】(2022江西抚州.高一期末)已知。是函数∕z(x)=2'-8的零点，则函数

/(x)=αr+lnx-5的零点所在的区间为()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】由题意，。是函数μx)=2'-8的零点，即2"-8=0,解得“=3,

所以函数/(x)=3x+lnx-5,

又由J(X)=3x+lnx-5在(0,∙κo)上是增函数,fi∕(l)=-2<0,/(2)=l+ln2>0,

可得/(l)∙∕(2)<0,

根据零点存在性定理，可得函数f(x)=3x+lnx-5的零点所在的区间为(1,2).

故选：B.

2

【例3】(2022广东)函数/(元)=lnx-士的零点所在的大致区间是()

A.(1,2)B.(lɪ)C.(3,4)D.(2,3)

e

【答案】D

2

［解析】对于函数/(X)=InX-W在(0,+∞)上是连续增函数，

X

2

由于/(2)=ln27<O,/(3)=ln3-∣>O,所以"2)∕(3)<O

【例4】(2022全国高一专题练习)函数/(x)=2*-=-α的一个零点在区间(1,3)内，则实

数”的取值范围是()

A.(7,+∞)B.(―∞,-1)C.(-‹o,-1)(7,+∞)D.(—1,7)

【答案】D

3

【解析】因为y=2'和y=-2在(0,+∞)上是增函数,

X

T,

所以"x)=2*-3-a在(0,+8)上是增函数，

所以只需/⑴∙f(3)<0即可,gp(-l-α)∙(7-α)<0,解得只<α<7.故选:D.

［例5］若a<b<.c,则函数f(x)-(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(%-c)(x-a)的两个零

点分别位于区间

(A)(α,h)和伽C)内(B)(-∞,α)和(α,b)内

(C)伍,c)和(c,+OO)内(O)(-∞,a)和(c,+∞)内

【答案】A

【解析】因为/(a)=(a-bXa-c)>0,f(b)=(b-c∖b-a)<O,f(c)=(c-a)(c-b)>O

所以/(a)∕0)<O,∕0)∕(c)<O故选:A.

【题型专练】

3

1.(2022湖北十堰市高三)函数/(x)=IogKx+1)——(x>l)的零点所在的大致区间

X—17

是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【解析】易知/(x)在(1,内)上是连续增函数，因为/(2)=log23-3<0,

/(3)=2-∣>0,所以/(x)的零点所在的大致区间是(2,3).

故选：B

2.(2022•重庆南开中学高三阶段练习)已知函数/(x)=ln(x+l)+χ2-6,则下列区间中含

/(χ)零点的是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【分析】分别求出/(0)、/(ɪ)ʌ/(3)、f(4)的值，即可判断其正负号，利用零点存在定

理则可选出答案.

【详解】由题意知：/(0)=lnl-6=-6<0,

3

/(l)=ln2+l-6<lπ3+4-6=∕(2)=ln3-2=ln-<0,

/(3)=ln3+9-6=ln3+3>0,/(4)=ln4+16-6=ln4+10>0.

由零点存在定理可知在区间(2,3)一定有零点.

故选；C.

题型三：判断函数的零点个数

【例D(2022四川省成都市玉林中学高二期中(文))方程∣°g,x-x=°根的个数为()

2

A.无穷多B.3C.1D.0

【答案】C

【解析】方程可化为ι°gJ=χ,设函数"i°g产和产工，

22

在坐标系中分别作出两个函数的图象如图：

由图象可知两个函数的交点个数为1个.故方程根的个数为I.故选：C.

1∕γ

【例2】函数/(x)=χ2一11的零点个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】令/(尤)=0可得(；)=0,即，

在坐标系中分别作出两个函数的图象如图:

∙∙.由图象可知两个函数的交点个数为1个.故零点个数为1∙故选：B.

【例3】(2022张家口市第一中学高一月考)函数/(x)=[-∣IgXI的零点个数为()

e

A.0B.IC.2D.3

【答案】C

【解析】函数F(X)=4-∣lgχ∣,U"(X)=O,可得力*，作出y=2和y=∣lgχ∣的图象,

由图象可得它们有2个交点，则/(χ)的零点个数为2,故选：C.

【例4】若函数/(x)=函数y=∕[∕(χ)]+l的零点个数是.

【答案】C

【解析】设/(X)=，可得/(f)+l=0,即/⑺=T,当YO时，/+I=T,所以r=-2

在坐标系中作出函数/(尤)的图象如图：

当f>0时，Inr=-I,所以f=(,由图可知/(x)=J有两个根，所以函数y=∕［∕(x)］+l

的零点个数为4

［例5］已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0,+s)时,

λ

/(x)=2017+log20l7X,则函数f{x}的零点个数是

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】当XW(O,+∞)时，令/(x)=0,可得2017'+log20∣7X=O,即2017,=-Iogztm尤

在坐标系中作出函数/(x)的图象如图：

.由图可知有1个交点

>•=2021；y=Tcg202∣X

O

又因/(x)为奇函数，所以当x∈(-8,0)时，有一个零点，又因/(0)=0,所以一共有三个

零点

【例6】已知函数y=∕(x)的周期为2,当1,1］时/(A：)=/,那么函数y=∕(χ)的

图象与函数y=IIgxI的图象的交点共有

A.10个B.9个C.8个D.1个

【答案】A

【解析】画出/(χ)和y=∣lgX的图像，如图所示

-IOl2345678910

-lɪ

由图可知有IO个交点

【例7】(2022年重庆二外高一上期末)奇函数式外、偶函数g(x)图象分别如图1、2所示,

方程7(g(x))=O∖g(Ax))=O的实根个数分别为“、b,则α+6等于()

A14B.10C.7D.3

【答案】B

【解析】对于方程/(g(x))=0,设g(x)=，，则/(f)=0,由图一知f=-1,0,1,当g(x)=-1

时，由图二知X可取一1,1,当g(x)=0时，由图二知X可取机,0,〃，当g(x)=l时，由

图二知X可取一2,2,一共有7个实根，所以。=7

对于方程g(∕(X))=O,设f[x)=t,则g(f)=O,由图二知/=，〃,(),〃，其中znw(—2,-1),

n∈(1,2),当/(x)=ml⅛,由图一知X无解，/(χ)=OtbJ',由图一知X可取一1,0,1,

当//)=〃时，由图一知X无解，一共有3个实根，所以人=3

综上可知α+b=10

【题型专练】

1.(2020•云南)函数y=Ix+1∣-2"零点的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】由y=∣x+l∣-2*=0可得∣x+l∣=2",所以函数y=∣x+l∣-2，零点的个数为方程

Ix+Il=2,的根的个数，也即为两个函数y=∣x+l∣,必=2,的图象交点的个数，

在坐标系中画出两个函数y∣=∣x+l∣,内=2、的图象，

由图知：函数%=∣x+l∣,%=2、的图象有3个交点，所以函数y=∣x+l∣-2*零点的个数为3,

故选：D.

2.函数/(x)=[ln"一∙r+2"X>°的零点个数为()

4x+l,x≤0

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】当x>0时，令/(x)=0可得Inx—/+2χ=0,即InX=X2—2%,

在坐标系中分别作出两个函数的图象如图:

，由图象可知两个函数的交点个数为2个.故当x>0时，零点个数为2个

当x<0时，令/(x)=0可得4x+l=0,解得X=—a，符合题意

3.函数/(x)=21lθgo5Al-I的零点个数为

(A)1(B)2(C)3(D)4

【答案】B

【解析】令/(x)=0可得2'∣logo5Λ∣7=0,即Mg

在坐标系中分别作出两个函数的图象如图:

由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B

fl-∣X-I∣,xe(-αc,2)

4.设函数〃X)=：1,则函数&K)=U("-I的零点的个数为

-/(x-2),x∈[2,+αo)

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】令尸(X)=O可得4'(x)-l=0,即/(x)=L

X

在坐标系中分别作出两个函数的图象如图:

.∙.由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C

5∙(2022∙浙江诸暨市教育研究中心高二学业考试)定义域和值域均为[-。间的函数y=∕(x)

和y=g(x)的图象如图所示，其中α>b>c>O,给出下列四个结论正确结论的是()

A.方程/[g(x)]=O有且仅有三个解

B.方程gO有且仅有三个解

C.方程/[/(x)]=。有且仅有九个解

D.方程g[g(x)]=O有且仅有一个解

【答案】AD

【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可.

【详解】由α>8>c>0可得一αv-Z?V-CV0,

对于A,/[g(x)]=O,结合y=∕(x)图象可得g(x)=-6,g(x)=O或g(x)=b,

结合y=g(χ)的图象可得，g(χ)=-6,g(χ)=o,g(x)=。各有一个解，即方程/[g(χ)]=o

有且仅有三个解，A正确；

对于B,?[/(%)]=O,结合y=g(x)图象可得/(χ)=0,结合y=∕(χ)的图象可得，

“x)=b有一个解，即方程g["x)]=O有且仅有一个解，B错误；

对于C,/[f(χ)]=O,结合y=∕(χ)图象可得F(X)=-b,/(χ)=0或f(χ)=6,乂/(χ)=0

有3个解，/(χ)=-6,"X)=力各有一个解,

即方程/[f(x)]=O有且仅有五个解，C错误；

对于D,g[g(χ)]=0,结合y=g(χ)图象可得g(χ)=6,又g(χ)=8有一个解，即方程

g[g(x)]=。有且仅有一个解,D正确.

故选：AD.

题型四：根据函数零点的存在情况求参数

_—X?—2x+3,X40,、

【例1】(2022云南丽江.)已知函数/(x)={.,a,若关于X的方程"x)=α有

∣lnx∣,x>0

四个实数根，则实数。的取值范围为()

A.(-∞,4)B.(0,3]C.[3,4)D.(0,4)

【答案】C

【解析】作出函数的图象，

关于X的方程/(x)=a有四个实数根，则函数y=∕(x)与y=α有四个交点，则3≤α<4,

故选：C.

“Iog(x+l),-l<x<l

【例2】(2022年重庆南开高一)已知函数/(x)=Jzl`,若方程

/(2-Λ)+1,1<%<3

尸(同一W(X)=O有四个不同实数解，则实数”的取值范围为.

【答案】(1,2)

【解析】/⑴-W(X)=On/(x)=0或f(x)=α,画出/(x)的图像，如图所示

由图可知当/(x)=O时有一个根，所以只需/(x)=α有三个根即可，所以l<α<2

【例3】定义域为R的偶函数/(x)满足对VXGR,/(工+2)=/(1)一人1),且当工£[2,3]时,

/(x)=-2√+12x-18,若函数y=/(x)—log“(x+l)在(0,+8)上至少有三个零点，则.

的取值范围是

√0,≡B∫O,≡/°当电乌

I3JI2JI5JI6J

【答案】A

(解析】因/(x+2)=∕(x)-∕(l),令χ=-↑得/(1)=/(-1)-/(1)=0,所以

/(x+2)=∕(x),所以7(x)的周期为2,令y=0,得/(x)=IOg“(x+1),画出f(x)和

y=log,,(x+l)的图像，如图所示

y

由图可知若函数丁=/(%)-1。8“(》+1)在(0,+8)上至少有三个零点，只需l<α<l且

Iog“3>-2即可，所以0<α<5-

ht-2∣,x≤2

【例4】(2022年重庆巴蜀高一上)函数/(x)=f1,若函数

Iog3(x-2),x>2

g(x)=α一,f(-χ2+4χ+l)有6个不同零点，则。的取值范围为()

A.(0,2)B,(0,2]C.(0,l]D.(0,1)

【答案】D

【解析】令g(x)=O,得a=/(—f+4x+l),设一F+4χ+l=t=Yχ-2p+5≤5,则

ι=∕(f),画出/(x)的图像，如图所示

只需α=∕(f)有三个零点且f≤5,所以O<α<l

【例5】(2022年重庆巴蜀高一上)已知函数/(x)=∣χ2-3x—4∣,g(x)=依—2,若存在

唯一的整数七，满足/(∙⅞)<g(Xo),则实数上的取值范围是.

IQ

【答案】一<k≤?或—4≤Z<-2

25

【解析】画出/(x)和g(χ)的图像,如图所示

)(3)≥g(3)

[/(-ι)<√-ι)

若存在唯一的整数X0,满足/(xo)<g(∙⅞),需/⑷<g⑷或<即

l∕(-2)≥g(-2),

J⑸N⑸

'4≥3攵-2

0<-k-2]Q

<0<42-2或<解得一<Z≤2或一4≤k<-2

6≥-2k-225

6≥5k-2

[例6]设函数/(x)={∖);：：：,若关于X的方程r(x)—(α+2)∕(x)+3=0恰

好有六个不同的实数解,则实数。的取值范围为()

A,2-^3-2,2∙∖∕3—B.f2>/3—2,—C.^∙,+∞jD.^2-∖∕3—2,+∞j

【答案】B

【解析】由尸⑴―(α+2)∕(x)+3=0得，设/(χ)=f,则产-(α+2)f+3=O,画出f(x)

的图像，如图所示

若关于X的方程∕2(χ)-(α+2)f(x)+3=O恰好有六个不同的实数解，即

△=1+2)2-12〉。

。+27

产―(α+2)f+3=0在(1,2]内有两个不同得实数根，所以.‹丁<,解得

12-(G+2)×1+3>0

22-(α+2)×2+3>0

2Λ∕3—2VQ≤—

2

【题型专练】

1.(2022广东潮州•)己知函数〃X)=/:2.3,x≤°的图象与直线y=%有三个不同的交

[-2÷lnx,x>0

点，则Z的取值范围是()

A.(-4,—3)B.[-4,—3)C.[-4,-3]D.(T,—3]

【答案】D

【解析】作函数/(X)=卜:"一"¥和y=%的图象，如图所示，可知A的取值范围是

-2+lnx,x>0

-4<&≤-3,

故选D.

2x-↑V>∩

2.(2022全国)已知函数Ax)=L42N≤0'若函数g(x)"(xi有3个零点，则实数

机的取值范围()

A.(-1,0)B.[-1,0]C.(0,1)D.[0,1]

【答案】C

【解析】因为函数g(x)=y(X)-%有3个零点，所以g(x)=∕(x)-m=0有三个实根，即直线

V=%与函数y=∕(χ)的图象有三个交点.作出函数y=∕(χ)图象，由图Uj■知，实数，”的取

3.若函数y=(ɪ)"-4+根的图象与X轴有公共点,

则m的取值范围是

A.m<—1B.—l<m<OC.m≥lD.O<m<l

【答案】B

/1∖I1-ΛI/1WTl(1∖∣λ-i∣

【解析】令y=o可得+a=o,即一m=[]J画出,如图所示

由图可知0<—解得一l≤mvθ

4.己知/(x)是定义在R上且周期为3的函数，当xe［(),3)时，/(x)=X2-2X+^,若

函数丁=/(%)一。在区间［—3,4］上有10个不同的零点，则实数”的取值范围是

【答案】(0,；］

【解析】令y=0可得/(X)—α=0,即α=∕(x),画出/(x)的图像，如图所示

>.*IΛV

由图可知0<α<,,

2

题型五：二分法的应用

【例1】（2022浙江高一单元测试）根据已给数据:

X1.51.531251.56251.6251.75

3、的近似值5.1965.3785.5655.9616.839

在精确度为0」的要求下，方程3,=x+4的一个近似解可以为()

A.-1B.1.5C.1.562D.1.7

【答案】C

【解析】3,=x+4,SP3Λ--X-4=0,4∙∕(Λ)=3X-X-4,

贝∣J∕(1.5)=3∣3-1.5-4X5.196T.5-4=-0.304<0,

/(1.53125)=3网25一1.53125-425.378-1.53125-4=-O.15325<0,

/(1.5625)=ɜ'ʒ625-1.5625-4≈5.565-1.5625-4≈0.0025>0,

/(1.625)=3'625-1.625-4≈5.961-1.625-4≈0.336>0,

/(1.75)=3I75-1.75-4≈6.839-1.75-4≈1.089>0,

根据零点存在性定理可知：*,«1.53125,1.5625),使"x°)=0,

又∙.∣1.53125-1.5625∣=0.03125<0.1,故3*=x+4的一个近似解可以为：1.562.故选：C.

【例2】(2022全国高一课时练习)若函数f(x)=Λ3+χ2-2x-2的一个零点附近的函数值如

下表：

/(D=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)≈-0.984/(1.375)≈-0.260

/(1.4375)≈0.162/(1.40625)≈-0.054

则用二分法可求得方程Y+χ2-2χ-2=0的一个近似解(精确度为0∙04)为()

A.1.5B.1.375C.1.4375D.1.25

【答案】C

【解析】由表格中的数据，可知/(140625)≈-0.052<0,/(1.4375)≈0.162>0,

H1.4375-1.40625=0.03125<0.04,所以方程的一个近似解可取1.4375.故选：C.

【题型专练】

1.(2022・全国•高一课时练习)关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是()

A.用二分法求方程的近似解一定可以得到"x)=O在［a,b］内的所有根

B.用二分法求方程的近似解有可能得到=O在［”,句内的重根

C.用二分法求方程的近似解有可能得出/(x)=0在［α,句内没有根

D.用二分法求方程的近似解有可能得到/(x)=O在［”,国内的精确解

【答案】D

【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案.

【详解】利用二分法求方程f(x)=O在［α,可内的近似解，即在区间句内肯定有根存在,

而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是［。,目内的精确解.

故选：D.

2.(2022.全国•高一课时练习)若函I数/(用=/+/一2》-2的部分函1数值如下，那么方程

x3+χ2-2χ-2=0的一个近似根(精确到0∙l)可以是()

/(1.5)=0.625/(1.25)≈-0.984

/(1.375)≈-0.260/(1.4375)≈0.162

A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【分析】根据题干中所给的函数值，利用二分法求方程的近似解即可.

【详解】解：因为/(L375)<0,/(1.4375)>0.口」.375与1.4375精确至∣J0.1的近似值都

为1.4,

所以原方程的一个近似根为1.4.

故选：C.

题型六：函数等高问题

∣igΛ∣,o<Λ≤ιo,

【例1】已知函数/(x)=<]若α,b,c互不相等,且/(α)=∕(")="c),

-5X+6,x>10

则abc的取值范围是

(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)

【答案】C

【解析】画出/(x)的图像，如图所示

不妨设α<6<c,则/(4)=∕0)=∣Igd=Ilgq,所以Iga=Igb(舍去)或者Iga=-Igb,

所以

lgα+lgb=0=>Igab=Onab=I,又因CW(Io,12),所以“8c=cw(10,12)

【例2】(2022年重庆南开高一上期中)已知函数"x)=X"I°,若方程f(x)=m

∣log2Λ∣,X>0

有四个不同解α,b,c,d,且α<6<c<d,则的(α+8)c+强取值范围为()

A.(-1,1]B.[-1,1)C.(-l,+∞)D.(-∞,1)

【答案】C

【解析】画出/⑺的图像，如图所示

则/(C)=/(。)=IIog2d=R°g2"∣，所以log2。=TOg2〃，所以

log2c+log2J=0=>log2cJ=0=>cJ=l,又因a+b=-2,所以

+2c+

(a÷b)c⅛=-i'

因为c∈(θ,l),所以一2c+∙ɪ∈(-1,+8)

C

[例3]已知函数〃X)={“吗(一""”<°,函数产(X)=/(x)-α有四个不同的零点

%2-2x+2,X≥0

22

司,々,刍,％4且满足：χt<χ2<χ3<χ4,则上上至L的取值范围为O

X12

f172571rc∖U171/c\

ʌ-［下五］B.［2,4W)C.［2彳］D.(2,-Ko)

【答案】A

【解析】画出/(x)的图像，如图所示

则X∕2=L七+*4=2,所以±+玉%="=—1+*,因为Me[-4,一2),所以

xi2χi

x；∈(4,16]

【题型专练】

1.已知函数/(X)=<-4卜--j+l,O≤x≤L,若y(α)=y(O)=/(c),a,b,c互不相等,

log20l4x,%>1,

则α+Z?+c的取值范围是.

【答案】(2,2015)

【解析】画出/(x)的图像，如图所示

不妨设α<h<c,则α+b=l,乂因cw(l,2014),所以α+b+c=l+ce(2,2015)

2.(2022浙江杭州高级中学高三模拟)己知函数/(x)=[Mm2ΛI">”若函数

-x^-4-x÷4,X<0.

g(x)=/(X)一机有四个不同的零点七,龙2，彳3，％4，则XlX2/匕的取值范围是()

A.(0,4)B.(4,8)C.(0,8)D.(0,+∞)

【答案】A

【解析】函数g(χ)有四个不同的零点等价于函数f(χ)的图象与直线y=机有四个不同的交

点.

画出了(X)的大致图象，如图所示.

由图可知WG(4,8).不妨设X<X2<X3<X4，则Y<%1<-2<Z<°，且％+/=-4.

所以％2=Tl-4,所以%w=x(Tl—4)=一(x∣+2f+4∈(0,4),则O<X3<l<X4,

因为∣lθg2司=Ilog2又I，所以Tθg2为3=l°g2X4，所以lθg2X3T=Iog2X4，所以∙⅞,“4=1，

所以%∙/ʤ∙*4=X.We(°，4).故选：A

3.(2022湖南长沙市•长沙一中高三其他模拟)设函数“尤)=卜—2x+2,x≥0,若互不

',[3x+4,x<0

相等的实数X1,X2-关3满足/(%)=/(%2)=/(%3)，则+超+与的取值范围是

【答案d

【解析】画出/(龙)的图像，如图所示

y

2

不妨设X[<X2<X3,则工2，工3关于X=I对称，所以/+^3=2,且一1<工]<一院所以

C4一

玉+犬2+工3=2+玉∈[1,§O

IInxlO<X≤e

4.(2022重庆高二期中)已知∕∙(x)=f一，若凡"C互不相等，且

2-Inx,x>e

2

/(a)=∕3)=∕(c),则α+b+J的范围是()

C

A.(e,/)B.(3,2。H—]C.[2>∕2,2βd—)D.[2>∕2,÷∞)

【答案】B

【解析】画出了(九)的图像，如图所示

不妨设αVb＜c,则f[a)=f(b)=IInd=Ilnq,所以Ina=InZ?(舍去)或者Ina=-InZ?,

所以

12

111。+111人=0=＞111。人=0=。/?=1,且一＜。＜1,1＜人＜6,乂111/?=2—111。，可得力。=6~,

e

所以

α+Z?+J=Q+力+%=。+2〃='+2力，又因l＜bve,可得工+28€(3,26+‘],故

ccbb∖eJ

选B

3w-1,-1≤x≤l

5.已知函数/(x)={3,,实数α,"c,d∈[-l,+∞)且α<人<c<d,满

-5X+6x-4,X>1

足/(«)=f(b)=/(c)=∕(t∕),则lg(—0—坨。+半+26-"的取值范围是.

【答案】(12,32)

【解析】画出/(x)的图像，如图所示

^^Wr∖∙:t

-ɪɪpI23∖4X

因a,。关于工=0对称，所以a+/?=0,因Cs关于x=2对称，所以c+d=4,且

l<c<2<d<3,

所以lg(-a)-∖gb+4'+26^rf=lg⅛-lg⅛+22c+22+c=22c+22+c,设2'=te(2,4),则

y=r+4/在(2,4)上单调递增，所以y=/+4r∈(12,32)

题型七：函数零点和问题

【例1】已知y=/(x—1)为奇函数，函数y=∕(x)与y=g(x)的图像关于y=x对称，若

x1+%2=0,则g(x∣)+g(X2)=()

A.-lB.lC.-2D.2

【答案】C

【解析】因y=∕(x-l)为奇函数，所以/(x-l)关于(0,0)对称，，所以y=∕(x)关于点

(—1,0)时称：又函数y=∕(x)与y=g(x)的图像关于y=x对称，所以y=g(x)的图像关

于(0,-1)成中心对称，当玉+/=O时，g(xJ+g(w)=2x(-l)=-2,所以选C

【例2】(2022年重庆18中高一上期中)已知定义在R上的函数f(x)满足

/(4044—%)=4-f(x),若函数y=2"%÷2019与y=/(x)的图象有m个交点

工一2022

(x2,)(i=l,2,3L/〃)，则Z(Xj+y)=()

/=1

(注Za+X)=(ɪ,+χ)+(々+%)+L+(⅞,+ym))

Z=I

A.2022mB.2019mC.2021mD.2024m

【答案】D

【解析】因/(4044-%)=4-7(%)所以/(x)关于(2022,2)对称，而

_2x+2019_2(x-2022)+6063=2+段也关于年2,2)对称，所以两个函数

V——

X-2022X-2022

的交点也关于(2022,2)对称，所以每一组关于(2022,2)对称的点的横坐标之和为

2x2022=4044,纵坐标之和为2x2=4,所以之α+凹)=4044x—+4×-=2024m,

Z=I22

故选D

【题型专练】

1.已知函数/(x)=V+x,函数g(x)满足g(x)+g(2-x)=0,若函数

MX)=g(x)—/(x—l)有10个零点，则所有零点之和为.

【答案】10

【解析】因/(x)=d+x为奇函数，所以f(x)关于(0,0)对称，，所以y=/(x—1)关于点

(LO)对称;又函数函数g(x)满足g(x)+g(2-x)=0,所以g(x)的图像关于(1,0)成中

心对称，所以函数MX)=g(x)-∕(x-l)有10个零点,就是g(x)=/(X-I)有10个

交点，并且关于(1,0)对称，所以所有零点之和为10

2.(2022年重庆一中高一上期中)已知函数y=∕(x)(XdR)满足/(χ+D=-/(-X),若

方程/(X)=丁二有2022个不同的实数根Xja=I,2,,2022)，则

2x-l

%+*2++%2022=

A.1010B.IOlIC.2020D.2022

【答案】B

L

【解析】因/(x+l)=-∕(-x),所以/(x)关于(L0］对称，而>=」一='V也关于

<2)2x-lX—1

2

;可对称，所以函数/(X)的零点也关于(g,(θ对称，所以每

称的两根之和为2xg=l,所以与+82+・一+/022=1011*1=1011，故选B

题型八：函数应用模型

【例1】(2021•福建厦门市高三模拟)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者

每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间f(小时)

之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125

微克时，治疗该病有效，则()

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物:小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5一时

【答案】AD

4r(0,,∕<l)

【解析】由函数图象可知y=<(ιjτ

(∕≥1)

当/=1时，y=4,即-4,解得。=3,

⑷(0,,r<l)

故A正确,

(d1)

药物刚好起效的时间，当4r=0.125,即r=L,

32

药物刚好失效的时间(ɪr3=0.125,解得♦=6,

131

故药物有效时长为6—-=5—小时，

3232

药物的有效时间不到6个小时，故8错误，。正确；

注射该药物:小时后每毫升血液含药量为4xg=0.5微克，故C错误，故选：AD.

OO

【例2】(2022全国)2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，

通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产X(百辆)，需另投入成本C(X)万元，

IOx2+200Λ∙,0<X<50

且C(X)=410000,由市场调研知，每辆车售价为6万元，且全年内生产

60Ix+----------9000,x≥50

X

的车辆当年能全部销售完.

(1)求出2019年的利润L(X)(万元)关于年产量X(百辆)的函数关系式；

(2)2019年年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？求出最大利润？

-IOx2+400X-3000,0<x<50

【答案】(1)L(X)=，10000;(2)产量为100百辆时，该企业所获

6000-(x+-^),x≥50

.X

利润最大，且最大利润为5800万元.

【解析】(D当0<x<50时,Δ(Λ)=6X1∞x-1Ox2-200x-3000=-1Ox2+400%-3000,

当x≥50时，MX)=6xl00x-601X-3S+9000-3000=6000-(x+”吗.

XX

—1OX-+400X—3000,0<X<50

综上所述，ʌ(ɪ)=ɪθθθθʌ

6000-(X+-------),X≥50

、X

(2)当0<x<50时，Z,(X)=-10(X-20)2+I000,所以当X=20时，乙。)1^=〃20)=1000;

当xN50时，L(X)=6000-(x+U詈)，L(X)在(50,100)上单调递增，在(IOO,+⑹上单调递

减；所以当X=IOo时，L(x)mia=L(l00)=5800>1000.所以当X=IoO,即2019年年产量为100

百辆时，该企业所获利润最大，且最大利润为5800万元.

【例3】(2021•河北高一期末)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药

物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量V(毫克)与时间f(小时)成正比；药物释

放完毕后，》与，的函数关系式为y=(A)”为常数)，如图所示，根据图中提供的信息,

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量》(毫克)与时间f(小时)之间的函数关

系式;

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从

药物释放开始，至少需要经过多少小时候后，学生才能回到教室.

10z,(0≤r≤0.1)

【答案】（）,(2)0.6

1,α>o.i)

【解析】（I）由图可知直线的斜率为A=《=10,

所以图像中线段的方程为y=i0*0≤f≤0∙i）,

因为点（0∙l,l）在曲线y=（Lj”上，所以1=（tj'"

解得α=0.1,

所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间，（小时）之间的函数关

10f,(0≤r≤0.1)

系式为y=“1Y

、〔句,α>o.i)

（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入

教室