山东省烟台市朱桥中学高二数学理联考试题含解析

山东省烟台市朱桥中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若等比数列{an}的各项均为正数，，，则（

）A. B. C.12 D.24参考答案：D【分析】由，利用等比中项的性质，求出，利用等比数列的通项公式即可求出．【详解】解：数列是等比数列，各项均为正数，，所以，所以．所以，故选：D．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，等比中项的性质，正确运算是解题的关键，属于基础题．2.函数的图象

A．与的图象关于y轴对称B．与的图象关于坐标原点对称C．与的图象关于y轴对称D．与的图象关于坐标原点对称参考答案：D略3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数函数的是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D4.已知i是虚数单位，则=（）A．1﹣2iB．2﹣iC．2+iD．1+2i参考答案：D略5.（5分）若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C．D．参考答案：A由直线x+ay+2=0，得到斜率为﹣，由直线2x+3y+1=0，得到斜率为﹣，因为两直线互相垂直，所以﹣×（﹣）=﹣1，解得：a=﹣．故选A6.已知A、B是两个非空集合,定义为集合A、B的“和集”,若,则中元素的个数是(

)A.4

B.5

C.6

D.16参考答案：C略7.若(2x+)dx=3+ln2，则a的值是（）A．6 B．4 C．3 D．2参考答案：D【考点】定积分．【分析】将等式左边计算定积分，然后解出a．【解答】解：因为（2x+）dx=3+ln2，所以（x2+lnx）|=a2﹣1+lna=3+ln2，所以a=2；故选D．8.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧图都是边长为的等边三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为

参考答案：B该几何体是底面直径和母线都为的圆锥，其高为，体积为，故选.9.若x是第一象限角,则的最小值为(

)A.

B.2

C.2

D.4参考答案：B10.已知是异面直线，直线∥直线，那么与()A．一定是异面直线 B．一定是相交直线C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若F1，F2是双曲线与椭圆的共同的左、右焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是

。参考答案：12.100以内的正整数有

个能被7整除的数．参考答案：14它们分别为，共计14个.

13.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不过第__________象限．参考答案：略14.有下列五个命题：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是椭圆；③“在△ABC中，“∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；④“若﹣3＜m＜5，则方程+=1是椭圆”．⑤已知向量，，是空间的一个基底，则向量+，﹣，也是空间的一个基底．其中真命题的序号是．参考答案：③⑤【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由抛物线的定义，可判断①；由椭圆的定义，可判断②；由三角形内角和定理及充分必要条件定义，即可判断③；由椭圆的标准方程，即可判断④；由空间向量的基底概念即可判断⑤．【解答】解：①平面内，到一定点的距离等于到一定直线（定点不在定直线上）距离的点的集合是抛物线，若定点在定直线上，则动点的集合是过定点垂直于定直线的一条直线，故①错；②平面内，定点F1、F2，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是线段F1F2，若|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，则点的轨迹是椭圆，故②错；③在△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，则2∠B=∠A+∠C=180°﹣∠B，∠B=60°，若∠B=60°，则2∠B=∠A+∠C=120°，即∠B﹣∠A=∠C﹣∠A，即∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，故③正确；④若﹣3＜m＜5，则方程+=1，m+3＞0，5﹣m＞0，若m=1，则x2+y2=4表示圆，若m≠1，则表示椭圆，故④错；⑤已知向量，，是空间的一个基底，即它们非零向量且不共线，则向量+，﹣，也是空间的一个基底，故⑤正确．故答案为：③⑤【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和方程，注意定义的隐含条件，同时考查等差数列的性质和三角形的内角和定理，以及空间向量的基底，属于基础题．15.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为．参考答案：【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥底面圆的半径为r，高为h，根据圆锥是由半径为R的半圆卷成，求出圆锥的底面半径与高，即可求得体积．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则2πr=πR，∴∵R2=r2+h2，∴∴V=×π××=故答案为：16..二项式的展开式的第四项的系数为-40，则的值为__________．参考答案：3【分析】根据二项式展开式通项公式，令r＝3，求出第四项的系数，列出方程求a的值，代入积分式，利用微积分基本定理求得结果．【详解】二项式（ax﹣1）5的通项公式为：Tr+1?（ax）5﹣r?（﹣1）r，故第四项为?（ax）2＝﹣10a2x2，令﹣10a2＝﹣40，解得a＝±2，又a＞0，所以a＝2．则故答案为：3．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．17.若命题“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为． 参考答案：[﹣1，3]【考点】特称命题；命题的否定． 【专题】规律型． 【分析】根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围． 【解答】解：∵命题“?x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题， ∴命题“?x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题， 即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0， 即（a﹣1）2≤4， ∴﹣2≤a﹣1≤2， 即﹣1≤a≤3， 故答案为：[﹣1，3]． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础． 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用两点间的距离公式可得c，再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出a，b；（Ⅱ）把直线l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D，可得kAD?kBD=﹣1，即可得出m与k的关系，从而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），kAD?kBD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．19.如图，四棱锥中，⊥底面，底面

为梯形，，，且，点是棱上的动点.（1）当∥平面时，确定点在棱上的位置；（2）在（1）的条件下，求二面角余弦值.参考答案：解：（1）在梯形中，由，，得，∴．又，故为等腰直角三角

形．∴．连接，交于点，则∥平面,又平面,∴在中，，即时，∥平面（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系．设，则，，，，．设，为平面的一个法向量，则，，∴，解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，又，，∴，解得，∴．∴二面角的余弦值为．略20.设计算法求：＋＋＋…＋的值，要求画出程序框图．参考答案：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法；程序框图如下图所示．21.（12分）（2015秋?洛阳期中）数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}中，bn=a1?a2?a3?…?an，数列{}的前n项和为Tn，求证：Tn＜2．参考答案：【考点】数列的求和．

【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，可得2Sn=，利用递推关系化为：化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，由于数列{an}的各项均为正数，可得an﹣an﹣1﹣1=0，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）bn=a1?a2?a3?…?an=n!．可得数列{}的前n项和为Tn=+…+≤1+++…+，再利用“裂项求和”即可证明．【解答】（1）解：∵对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列，∴2Sn=，∴当n≥时，，相减可得：2an=﹣，化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）=0，∵数列{an}的各项均为正数，∴an﹣an﹣1﹣1=0，当n=1时，，a1＞0，解得a1=1．∴数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1．∴an=1+（n﹣1）=n．（2）证明：bn=a1?a2?a3?…?an=n!．∴数列{}的前n项和为Tn=+…+≤1+++…+=1++…+=2﹣＜2．【点评】本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、“裂项求和”、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.（14分）已知，（1）若是等差数列，且首项是展开式的常数项的，公差d为展开式的各项系数和①求

②找出与的关系，并说明理由。（2）若，且数列满足