九年级数学知识点【北师大版】：特殊的四边形大题（原卷版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍（月考+期中+期末）【北师大版】专题2.1特殊的四边形大题专练精选50题（培优强化）【题型一】矩形的性质1．（2021·浙江·余姚市舜水中学八年级期中）如图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，折叠纸片ABCD，使顶点C落在边AD的点G处，折痕分别交边AD、BC于点E、F．(1)求证：△GEF是等腰三角形(2)求△GEF面积的最大值．2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级阶段练习）如图，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，使点B落在AD边上的点E处，连接BG交CE于点H，连接BE．(1)求证：BE平分∠AEC；(2)取BC中点P，连接PH，求证：PH∥CG；3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，EF是直线DB上的两点，DE＝BF．(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若四边形AFCE是矩形，且BD⊥AD，AB＝5，AD＝3，求DE的长．4．（2022·山东·邹城市第四中学八年级阶段练习）如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在D'处．(1)求证：AF+D'F=CD；(2)求△AFC的面积是多少？5．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．求证：四边形DEBF是平行四边形．6．（2022·重庆·通惠中学八年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H．(1)求证：AE＝AF；(2)若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面积．7．（2022·江西吉安·八年级期末）如图，已知AC=AE，BC=BE，∠AEB=∠CAD，CD⊥CE．(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AD=CD=3，AC=4，求CE的长．8．（2021·湖南·常德市第二中学八年级期中）如图，折叠长方形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=4，BC=5．(1)求线段BF的长；(2)求△AEF的面积．9．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC=6，P，Q分别为AO，AD的中点，求PQ的长度．10．（2022·甘肃·张掖市第一中学八年级期末）如图，把矩形ABCD沿折线AE进行折叠，使点D落在BC边的F点处．若AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．【题型二】矩形的判定11．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．(1)求证：EO＝FO；(2)当CE＝12，CF＝10时，求CO的长；(3)当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．12．（2021·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O．(1)求证：四边形ADCE是矩形；(2)若∠AOE=90°，AE=2，求矩形ADCE对角线的长．13．（2022·四川·成都市龙泉驿区新思源学校八年级阶段练习）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，F为BA延长线上的一点，AE平分∠FAC，(1)求证：AE∥(2)求证：四边形AECD是矩形；(3)BC=6cm，S四边形AECD=12cm2，求AB的长．14．（2022·江西·铅山县教育局教学研究室八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．15．（2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，对角线AC、BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若∠BDE＝15°，求∠EOC的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝2，求矩形ABCD的面积．16．（2022·江苏·盐城市毓龙路实验学校八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，使DG＝DE，分别连接AE、AG、FG．(1)求证：△BCE≌△FDE；(2)当BF平分∠ABC时，四边形AEFG是什么特殊四边形？请说明理由．17．（2022·江苏·盐城市明达初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，过点A作EA⊥AB，且EA＝CD，连接CE、DE、AC．(1)求证：四边形ADCE是矩形．(2)若DE＝BC，求证：AD＝BD．18．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC⊥AB，点E、F分别是BC，AD上的点，且BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形．(2)当AE长度为______时，四边形AECF是矩形，说明四边形AECF是矩形的理由．19．（2022·黑龙江绥化·八年级期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连接CF．(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．20．（2022·江苏·扬州市梅岭中学八年级阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形．【题型三】菱形的性质21．（2022·陕西·西安铁一中分校九年级期末）如图，菱形ABCD中，点F为边AD上一点，点E为边CD上一点，连接BF、BE，若∠DFB+∠BEC=180°，求证：BF=BE．22．（2022·河北·邢台市开元中学八年级阶段练习）如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，交AB于点E，连接DF，BF．(1)求证：AF=DF；(2)若∠ADC=110°，求∠FDC的度数．23．（2022·江苏·飞达路中学八年级阶段练习）如图，四边形ABCD是菱形，AC=16，DB=12，DH⊥AB于点H，(1)求菱形ABCD的周长？(2)求DH的长？24．（2022·湖南衡阳·八年级期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，分别过点C、点D作BD、AC的平行线交于点E，连接EO交CD于点F．(1)求证：四边形DECO是矩形；(2)若AC=4，BD=6，求EF的长．25．（2022·吉林·东北师大附中明珠学校八年级期末）如图，在5×5的正方形网格中，点A、B在格点上，按要求画出格点四边形．(1)在图①中画四边形ABCD，使得四边形ABCD是中心对称图形，但不是轴对称图形；(2)在图②中画出菱形ABEF（非正方形）．26．（2022·山东泰安·八年级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，(1)若AC=4，求四边形OCED的周长；(2)若∠BAC=30°，S四边形OCED=227．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD(1)求证：CE=AD；(2)当四边形BECD是菱形时，D在AB的什么位置？请说明你的理由；(3)在（2）的条件下，则当∠A=_________度时，四边形BECD是正方形．28．（2022·山东临沂·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，且∠ADE＝∠CDF，求证：BE＝BF．29．（2022·浙江宁波·八年级期末）如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ACD沿着DA方向平移得到△A′C′D′，与AB，AC分别交于点G，H(1)求证：四边形AGC′(2)若四边形AGC′H是菱形，求30．（2022·湖北武汉·八年级期中）在菱形ABCD中，∠DCB＝120°，E为CD上一点．

图1

图2

图3(1)如图1，若∠DAE＝30°，求证：BC＝2CE．(2)F为CB上一点，∠EAF＝30°．①如图2，连接EF，求证：EA平分∠DEF．②如图3，若BF＝2FC，求DECE【题型四】菱形的判定31．（2022·湖北·崇阳县大集中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB=12，AD=18，求MD的长．32．（2022·浙江·吴宁第三中学八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F．(1)求证：四边形AFCE是菱形．(2)若AF2=AC⋅EF，求证：CF33．（2022·江苏·盐城市明达初级中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．34．（2021·河南·许昌县第三初级中学八年级阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为ts(0≤t≤5)(1)若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，则以E、G、F、H为顶点的四边形一定是．(2)在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是矩形，请明理由．(3)若G、H分别是折线A--B--C，C--D--A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形是菱形，请直接写出t的值．35．（2022·贵州安顺·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=10，AD=8，E是AD边上的一点，连接CE，将矩形ABCD沿CE折叠，顶点D恰好落在AB边上的点F处，延长CE交BA的延长线于点G．(1)求线段AE的长；(2)求证四边形DGFC为菱形；(3)如图2，M，N分别是线段CG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN=∠DCM，设DN=x，是否存在这样的点N，使△DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．36．（2022·江苏·兴化市乐吾实验学校八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点．(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；(2)若AB=CD，探究四边形EGFH的形状，并说明理由．37．（2022·江苏·滨海县振东初级中学八年级阶段练习）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF，EF与AC相交于点P．(1)求证：PA＝PC．(2)当EF⊥AC时，连接AF、CE，试判断四边形AECF的形状，并说明理由．38．（2022·江苏·江阴市夏港中学八年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AB=5，BD=2，求OE的长．39．（2022·江苏·如皋市石庄镇初级中学八年级阶段练习）如图，在▱ABCD中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EF∥AB交BC于点E．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝5，AE＝6，▱ABCD的面积为36，求CE的长．40．（2022·四川·成都市龙泉驿区新思源学校八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为F，连接CD，(1)求证：CE=AD；(2)当点D是AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；(3)请直接写出在（2）的条件下，当∠A=______°时，四边形BECD是正方形．【题型五】正方形的性质与判定41．（2022·山东·邹平市梁邹实验初级中学八年级期中）如图，已知在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N．试判定线段MD与MN的大小关系，并说明理由．42．（2021·湖北·潜江市高石碑镇第一初级中学八年级期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．证明：AB(3)解决问题：如图3，分别以RtΔACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．43．（2022·湖北·崇阳县大集中学八年级期中）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°．EA交BD于M，AF交BD于N．(1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM；(2)求证：MN(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．44．（2022·福建·莆田哲理中学九年级期末）已知如图，在正方形ABCD中，FG⊥AE于点H，连接DH，且DH=BC，P是BC上的点．(1)求AG=2DF；(2)当∠GFP=45°，DF=PE=3，求PF的长．45．（2022·湖南·永顺县教育科学研究所八年级期末）如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G．(1)求证：AF=FG；(2)如图②，连接EG，当BG=3，DE=2时，求EG的长．46．（2021·天津市西青区杨柳青第二中学八年级期中）如图，四边形ABCD是正方形，G是边BC边上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，且交AG于点(1)如图1，点G在BC边上时（不与B、C重合），求证：AF−BF=EF．(2)如图2，若点G在CD边上时（不与点C、D重合），写出线段EF与AF、BF的等量关系，并说明理由．(3)如图3，若点G在CD延长线上时，请直接写出线段EF与AF、BF的等量关系（不要