2015年全国考研数学一真题

2015

年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学一试题一、选择题:1～8

小题，每小题

4

分，共

32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.1、设函数

f

(x)

在（-

,+

）连续，其

2

阶导函数

f

(x)

的图形如下图所示，则曲线

y

f

(x)

的拐点个数为（）（A）0

（B）1（C）2

（D）321

1

3

x2

x

x

2、设

y

e

x

e

是二阶常系数非齐次线性微分方程

y

ay

by

ce的一个特解，则（

）（A）

a

3,b

1,

c

1.（B）

a

3,b

2,

c

1.（C）

a

3,b

2,

c

1.（D）

a

3,b

2,

c

1.n

3、若级数

an

1

第1

页共18

页nn

n

1

条件收敛，则

x

3

与

x

3

依次为幂级数

na

x

1

的：（ ）（A）收敛点，收敛点（C）发散点，收敛点（B）收敛点，发散点（D）发散点，发散点4、设

D是第一象限中曲线2xy

1,

4xy

1与直线

y

x,

y

3x

围成的平面区域，函数

f

(x,

y)

在

D上连续，则

f

(x,

y)dxdy

（D）4

1

1

2sin

2

（A）2d

sin2

f(rcos

,r

sin

)rdr

14

12sin

2

（B）2d

sin2

f

(rcos

,rsin

)rdr

1

1

4 2sin

2

（C）3d

sin2

f(rcos

,r

sin

)dr

1第2

页共18

页4

12sin

2

（D）3d

sin2

f(rcos

,r

sin

)dr

2

11

5、设矩阵

A

1

12

1

12 a

，b

d

，若集合

{1,

2}

，则线性方程组

Ax

b4 a d有无穷多个解的充分必要条件为（ ）（A）

a

,

d

（B）

a

,

d

（C）

a

,

d

（D）

a

,

d

6、设二次型

f

(x

,

x

,

x

)

在正交变换

x

Py

下的标准形为

2

y2

y2

y2

，其中1 2 3 1 2 3P

(e1

,

e2

,

e3

)

，若

Q

(e1,

e3

,

e2

)

，则

f

(x1

,

x2

,

x3

)

在正交变换

x

Qy

下的标准形为（ ）（A）

2y2

y2

y2 （B）

2y2

y2

y21 2 3 1 2 3（C）

2y2

y2

y2 （D）

2y2

y2

y21 2 3 1 2 37、若

A,

B

为任意两个随机事件，则（）（A）

P(

AB)

P(

A)P(B) （B）

P(

AB)

P(

A)P(B)（C）

P(

AB)

P(

A)

P(B)（D）

P(

AB)

P(

A)

P(B)2 28、设随机变量X,

Y

不相关，且

EX

2,

EY

1,

DX

3,

则

E

X

X

Y

2

（ ）（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5二、填空题：9～14小题,每小题

4

分,共

24

分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.

9、limln

cos

xx

0

10、-22

(x2sin

x

x)dx

1

cos

x

11、若函数

z

z(

x,

y)

由方程ez

xyz

+x

cos

x

2

确定，则

dz

.(0,1)12、设

是由平面

x

y

z

1与三个坐标平面所围成的空间区域，则

(x

2

y

3z)dxdydz

13、n

阶行列式

02 0

0

2-1

2

0

2

0 0

2

20

-12

14、设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(1,0,1,1,0)，

则P(XY

Y

0)

第3

页共18

页.第4

页共18

页三、解答题：15～23

小题,共

94

分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分

10

分）设函数

f

(x)

x

a

ln(1

x)

bx

sin

x

，g

(x)

kx3

，若

f

(x)

与

g

(x)

在

x

0

是等价无穷小，求

a

，

b

，

k

值。16、（本题满分

10

分）设函数在

f

(x)

定义域

I

上的导数大于零，若对任意的

x0

I

，曲线

y

f

(x)

在点(x0

,

f

(x0

))

处的切线与直线

x

x0

及

x

轴所围成的区域的面积为

4，且

f

(0)

2

，求

f

(x)

的表达式.第5

页共18

页17、（本题满分

10

分）已知函数

f

(x,

y)

x

y

xy

，曲线C

:

x

2

y

2

xy

3

，求

f

(x,

y)

在曲线C

上的最大方向导数.18、（本题满分

10

分）(Ⅰ)设函数u(

x),

v(

x)

可导，利用导数定义证明[u(x)v(x)]'=u

'(x)v(x)

u(x)v(x)'(

Ⅱ

)

设函数

u1

(x),u2

(x)...un

(x)

可导，

f

(x)

u1

(x)u2

(x)...un

(x),

写出f

(

x)

的求导公式.19、（本题满分

10

分）

z

2

x2

y2

,已知曲线

L

的方程为

起点为

A(0,

2,

0)

，终点为

B(0,

2,

0)，第6

页共18

页

z

x,计算曲线积分

I

L

(

y

z)dx

(z

x

y)dy

(x

y

)dz2 2 2 220、（本题满分

11

分）设向量组

,

,

是

3

维向量空间

3

的一个基，

2

2k

，

2

，1 2 3 1 1 3 2 2

3

1

(k

1)

3。1 2 3（Ⅰ）证明向量组

,

,

是

3

的一个基；（Ⅱ）当

k

为何值时，存在非零向量

在基

1,

2,

3与基

1,

2

,

3

下的坐标相同，并求出所有的

。第7

页共18

页21、（本题满分

11

分）设矩阵

A

-1

a

1

1

0

0 2 -3

1 -2 0

3

3

相似于矩阵

B

0 b 0

.-2 3（Ⅰ）求a,b

的值.（Ⅱ）求可逆矩阵

P

，使得

P

1

AP

为对角阵.22、（本题满分

11

分）设随机变量

X

的概率密度为

2-x

ln

2 x

00 x

0f(x)=

对

X

进行独立重复的观测，直到第

2个大于

3

的观测值出现时停止，记Y

为观测次数.（Ⅰ）求Y

的概率分布；（Ⅱ）求

EY

.23、（本题满分

11

分）设总体

X

的概率密度为

1第8

页共18

页f(

x;

)=

1

0

x

1其他其中

为未知参数，

X1，X

2

.....Xn

为来自该总体的简单随机样本.（Ⅰ）求

的矩估计.（Ⅱ）求

的最大似然估计.2015

年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学一试题参考答案及解析一、选择题（答案）【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于

0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由

f

(x)

的图形可知，曲线

y

f(x)

存在两个拐点，故选(C).【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★1 1【详解】

e2

x

,

ex

为齐次方程的解，所以

2、1

为特征方程

2

+a

b

0

的根，2 3从

而a

1

2

3,b

1

2

2,再将

特

解 y

xex 代入方

程y

3y

2

y

cex

得：

c

1.（3）【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★

【详解】因为

an

1

n

n

n

1

n条件收敛，故

x

2

为幂级数

a

x

1

的条件收敛点，进

n

n

1

n

而得 a x

1 的收敛半径为

1，收敛区间为

0,

2

，又由于幂级数逐项求导不

nn

n

1

改变收敛区间，故 na x

1 的收敛区间仍为

0,

2

，因而

x

3

与

x

3

依第9

页共18

页

nn

n

1

次为幂级数

na

x

1

的收敛点、发散点.（4）【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★

【详解】由

y

x

得，

；由

y

4

33x

得，

1sin

2

由2xy

1得，

2r

2

cos

sin

1,

r

12

sin

2

由4xy

1得，

4r

2

cos

sin

1,

r

1第10

页共18

页

1D 4 2sin

2

所以 f(x,

y)dxdy

3d

sin2

f(rcos

,r

sin

)rdr

（5）【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★

11

【详解】

A,

b

11a

11d

1

1 1

1 1

2 a d

0 1

1 4 a2 d

2

0

0

a

1

a

2

d

1

d

2

Ax

b

有无穷多解

R(

A)

R(

A,

b)

3

a

1或a

2

且

d

1或

d

2（6）【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★【详解】

由1 2 3x

Py，故f

xTAx

yT(PTAP)y

2y2

y2

y2且

：

20

0

0PTAP

0 1

0 0

1

10

20

0

Q

P

0

0 0

0 1

PC,QT

AQ

CT

(PT

AP)C

0

1

0

1 0

0 0 1

所以1 2f

xTAx

yT(QTAA)y

2y2

y2

y

23

，故选(A)（7）【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】

P(

A)

P(

AB),

P(B)

P(

AB)

P(

A)

P(B)

2P(

AB)2

P(

AB)

P(

A)

P(B)

故选（C）【答案】(D)【考点】【难易度】★★★【详解】E

X

X

Y

2

E

X2

XY

2X

E

X2

E

XY

2E

X

D

X

E2

X

E

X

E

Y

2E

X

5二、填空题（答案）【答案】

12【考点】极限的计算【难易度】★★2x2 x2x2x

0x

0

x

0

x

0

1

x2【详解】lim

ln

cos

x

lim

ln(1

cos

x

1)

lim

cos

x

1

lim

12（10）【答案】x2

24【考点】积分的计算【难易度】★★【详解】0第11

页共18

页-22

(sin

x

24x)dx

22xdx

1

cosx

（11）【答案】【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令

F

(x,

y,

z)

ez

xyz

x

cos

x

2

，则

F

yz

1

sin

x

，

F

xz

，x yz(0,1)zF

xy

，又当

x

0,

y

1

时，z

0

，所以

z

x

Fx

1，(0,1)z

zF

F

y

Fy

0

，因而

dz

(0,1)

dx（12）【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得

x

2y

3zdxdydz

6 zdxdydz

01

6 zdz dxdyDz

z其中D

为平面z

z12

2截空间区域

所得的截面，其面积为 1

z

.所以

x

2y

3zdxdydz

6 zdxdydz

12

6 z

1

z

201

3 2

dz

3 z

2z

zdz

01

14（13）【答案】

2n

1

2【考点】行列式的计算【难易度】★★★【详解】按第一行展开得

2n

1

2（14）【答案】12第12

页共18

页【考点】【难易度】★★【详解】

(

X

,Y

)

~

N

(1,

0,1,1,

0)

，

X

~

N

(1,1),Y

~

N

(0,1),

且

X

,Y

独立

X

1

~

N

(0,1)

，

P

XY

Y

0

P

(

X

1)Y

0

P

X

1

0,Y

0

P

X

1

0，Y

0

1

1

1

1

12 2 2 2 2三、解答题（答案）（15）【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】★★★【详解】

f

(x)

x

a

ln(1

x)

bx

sin

x

332 33!x2 x3x3

x

a

x

x

bx

x

x

2 332 3a

a

1

a

x

b

x

x

x

f

(x)与g(x)

kx3

是等价无穷小123a

1+a

0

a

1

b

0

b

2a

k3

k

1

（16）【考点】微分方程【难易度】★★★【详解】如下图：第13

页共18

页x

x0

处的切线方程为l

：

y

f

(x0

)(x

x0

)

f

(x0

)0f

(x

)0 00f

(x

)l

与

x

轴的交点为：

y

0

时，

x

x

f

(

x0

)

，则

AB

f

(

x0

)

x

x

，0 002 2f

(x

)8y2因此，

S

1

AB

f

(

x

)

1

f

(

x0

)

f

(

x

)

4

.即满足微分方程：

y

1

，1 1解得：

x

c

.y 818又因

y(0)

2

，所以c

，故

y

4

x.2（17）【考点】方向导数，条件极值【难易度】★★★【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故gradf

(x,

y)

1

y,1

x

故

f

(x,

y)

在曲线

C

上的最大方向导数为

1

y

2

(1

x)2

，

其中

x,

y

满足x2

y2

xy

3，即就求函数z

(1

y)2

(1

x)2在约束条

件x

2

y

2

xy

3

0

下的最值.构造拉格朗日函数

F

(x,

y,

)

(1

y)2

(1

x)2

(x

2

y

2

xy

3)

第14

页共18

页

x2

y2

xy

3

0

F

F

x

F

2(1

x)

2

x

y

0令

y

2(1

y)

2

y

x

0

可得(1,1),(

1,

1)

,

(2,

2),(

1,2)其中

z(1,1)

4,

z(

1,

1)

0,

z(2,

1)

9

z(

1,2)综上根据题意可知

f

(x,

y)

在曲线C

上的最大方向导数为3

.（18）【考点】导数定义【难易度】★★【详解】

u

x

v

x

lim

x

0

x

0

u'

x

v(

x)

u

x

v'(

x)' u

x

x

v

x

x

u

x

v

(x

)

x

lim

u

x

x

u

(x)

v

x

x

u

x

v(x

x)

v(x)

x

''1''''232 n1 2 n 12 n1 2 n 1n1 2 n 1 2 n 1 2 nf(x)

u(x)

u(x)

u

(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u(x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

'(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

'(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

(

x)

u

'

(x)（19）【考点】曲线积分的计算【难易度】★★★

x

cos

,

z

cos

,2 2【详解】曲线

L

的参数方程为

y

2

sin

,

从

到

I

L

(

y

z)dx

(z

x

y)dy

(x

y

)dz2 2 2 22第15

页共18

页23202122

2

2

2

2

1

2

2

(2sin

cos

)

sin

2

sin

2

cos

(cos

2

2

sin

2

)

sin

d

2

sin

sin

2

sin

sin

d

2sin2

d

222sin2

d

2

2

（20）【考点】线性无关，基下的坐标【难易度】★★★1 2 3

1 2 3

2 0 1【详解】（Ⅰ）

(

,

,

)

(

,

,

)

0 2 0

2k 0k

1

2 0 1因为

0 2 0

22 12k k

12k 0 k

1

4

0

，所以

,

,

线性无关，

,

,

是

3

的一个基。1 2 3 1 2 3

（Ⅱ）设

P

0

k

1

1 2 3 1 2 3

2 0 12 0

，

P

为从基

,

,

到基

,

,

的过渡矩阵，又

2k 0设

在基

,

,

下的坐标为

x

(x

,

x

,

x

)T

，则

在基

,

,

下的坐标为1 2 3 1 2 3 1 2 3P

1x

，由

x

P

1x

，得

Px

x

，即(P

E)x

01 12k k1 0 1由P

E

0 1 0

2k 0 k

1

1

k

0

，得

k

0

，并解得

x

c

0

,

c

为任意常数。从而

c

1

c

3

,

c

为任意常数。（21）【考点】相似矩阵，相似对角化【难易度】★★★

0

3

【详解】由

A

1

1a

3

1

2 0

0

23

3

相似于

B

0 b

2

01

0

3

a

1

b

1第16

页共18

页

0

则2

3 1

2 0

1 3

3

0 b 02 a 0 3 1

1,

解得

a

4,b

5f

A

(

)

|

E

A

|

1 2

2 31

3 3

(

1)2(