江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第四章第六节 锐角三角函数及其应用_第1页
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文档简介

[基础过关]1.2sin60°的值等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D.2解析:2sin60°=2×eq\f(\r(3),2)=eq\r(3).答案:C2.已知,在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=eq\f(2,3),BC=4,则AB长为()A.6B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(8,3)D.2eq\r(13)解析:如图所示.∵sinA=eq\f(2,3),BC=4,∴sinA=eq\f(BC,AB)=eq\f(2,3)=eq\f(4,AB).解得AB=6.答案:A3.如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30m,斜坡的倾斜角是∠BAC,若tan∠BAC=eq\f(2,5),则此斜坡的水平距离AC为()A.75mB.50mC.30mD.12m解析:∵∠BCA=90°,tan∠BAC=eq\f(2,5),BC=30m,∴tan∠BAC=eq\f(2,5)=eq\f(BC,AC)=eq\f(30,AC).解得AC=75m.答案:A4.如图,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于()A.asinx+bsinxB.acosx+bcosxC.asinx+bcosxD.acosx+bsinx解析:如图,作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F,∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,∴∠EAB=x.∴∠FBA=x.∵AB=a,AD=b,∴FO=FB+BO=a·cosx+b·sinx.答案:D5.如图,在△ABC中,CA=CB=4,cosC=eq\f(1,4),则sinB的值为()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\f(\r(15),3)C.eq\f(\r(6),4) D.eq\f(\r(10),4)解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,如图所示.在Rt△ACD中,CD=CA·cosC=1,∴AD=eq\r(AC2-CD2)=eq\r(15),在Rt△ABD中,BD=CB-CD=3,AD=eq\r(15),∴AB=eq\r(BD2+AD2)=2eq\r(6).∴sinB=eq\f(AD,AB)=eq\f(\r(10),4).答案:D6.如图,一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向,距离灯塔60nmile的小岛A出发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处,这时轮船B与小岛A的距离是()A.30eq\r(3)nmileB.60nmileC.120nmileD.(30+30eq\r(3))nmile解析:如图,过C作CD⊥AB于D点,∴∠ACD=30°,∠BCD=45°,AC=60.在Rt△ACD中,cos∠ACD=eq\f(CD,AC),sin∠ACD=eq\f(AD,AC).∴CD=AC·cos∠ACD=60×eq\f(\r(3),2)=30eq\r(3).AD=AC·sin∠ACD=60×eq\f(1,2)=30.在Rt△DCB中,∵∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD=30eq\r(3).∴AB=AD+BD=30+30eq\r(3).答案:D7.小菁同学在数学实践活动课中测量路灯的高度.如图,已知她的目高AB为1.5米,她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°,再往前走3米站在C处,看路灯顶端O的仰角为65°,则路灯顶端O到地面的距离约为(已知sin35°≈0.6,cos35°≈0.8,tan35°≈0.7,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,tan65°≈2.1)()A.3.2米B.3.9米C.4.7米D.5.4米解析:过点O作OE⊥AC于点E,延长BD交OE于点F,设DF=x,∴BF=3+x.∵tan65°=eq\f(OF,DF),∴OF=xtan65°.∵tan35°=eq\f(OF,BF),∴OF=(3+x)tan35°.∴2.1x=0.7(3+x).∴x=1.5.∴OF=1.5×2.1=3.15.∴OE=3.15+1.5=4.65≈4.7.答案:C8.(2021·江西模拟)如图①是钓鱼伞,为遮挡不同方向的阳光,钓鱼伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角,图②是钓鱼伞直立时的示意图,当伞完全撑开时,伞骨AB,AC与水平方向的夹角∠ABC=∠ACB=30°,伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC=2m,BC与AN交于点M,撑杆AN=2.2m,固定点O到地面的距离ON=1.6m.(1)如图②,当伞完全撑开并直立时,求点B到地面的距离;(2)某日某时,为了增加遮挡斜射阳光的面积,将钓鱼伞倾斜与铅垂线HN成30°夹角,如图③.①求此时点B到地面的距离;②若斜射阳光与BC所在直线垂直时,求BC在水平地面上投影的长度.(说明:eq\r(3)≈1.732,结果精确到0.1m)解:(1)点B到地面的距离即为MN的长度,MN=AN-AM=AN-BMtan30°=2.2-eq\f(\r(3),3)≈1.6(m).答:点B到地面的距离约为1.6m.(2)①如图①,过点A,B分别作地面的垂线,垂足分别为Q,T,∵∠AOH=30°,∴∠OAQ=30°.∵∠ABC=30°,∴∠BAO=90°-∠ABC=60°,∴∠BAQ=∠BAO-∠OAQ=30°,∴∠ABS=30°,∴BS=BM=1,∴BT=OP+ON-SB=OAcos30°+ON-SB=0.6×eq\f(\r(3),2)+1.6-1≈1.1(m).答:此时点B到地面的距离约为1.1m.②如图②,依题意,可知BC⊥CD,∠CBD=30°.∵BC=2,∴BD=eq\f(4\r(3),3)≈2.3(m).答:BC在水平地面上投影的长度约为2.3m.9.(2021·会昌模拟)如图,海面上甲、乙两船分别从A,B两处同时出发,由西向东行驶,甲船的速度为24nmile/h,乙船的速度为15nmile/h,出发时,测得乙船在甲船北偏东50°方向,且AB=10nmile,经过20分钟后,甲、乙两船分别到达C,D两处.(参考值:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)(1)求两条航线间的距离;(2)若两船保持原来的速度和航向,还需要多少时间才能使两船的距离最短?(精确到0.01)解:(1)如图,过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于E,在Rt△AEB中,∵∠AEB=90°,∠EAB=50°,AB=10,∴AE=AB·cos50°≈10×0.643=6.43(nmile).答:两条航线间的距离为6.43nmile;(2)当甲、乙两船的位置垂直时,两船之间的距离最短,如图,过C作CF⊥BD于F.∵BE=AB·sin50°≈7.66,AC=24×eq\f(1,3)=8,BD=15×eq\f(1,3)=5,∴DF=BD+BE-AC=4.66.设还需要t小时才能使两船的距离最短,则有24t-15t=4.66,解得t≈0.52.答:还需要0.52h才能使两船的距离最短.[能力提升]10.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动.如图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高CD为()A.asinα+asinβ B.acosα+acosβC.atanα+atanβ D.eq\f(a,tanα)+eq\f(a,tanβ)解析:在Rt△ABD和Rt△ABC中,AB=a,tanα=eq\f(BC,AB),tanβ=eq\f(BD,AB),∴BC=atanα,BD=atanβ,∴CD=BC+BD=atanα+atanβ.答案:C11.如图,AB是垂直于水平面的建筑物.为测量AB的高度,小红从建筑物底端B点出发,沿水平方向行走了52米到达点C,然后沿斜坡CD前进,到达坡顶D点处,DC=BC.在点D处放置测角仪,测角仪支架DE高度为0.8米,在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°(点A,B,C,D,E在同一平面内).斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,那么建筑物AB的高度约为()(参考数据:sin27°≈0.45,cos27°≈0.89,tan27°≈0.51)A.65.8米 B.71.8米C.73.8米 D.119.8米解析:如图,过点E作EM⊥AB于点M,延长ED交BC于点G,∵斜坡CD的坡度(或坡比)i=1∶2.4,BC=CD=52米,∴设DG=x米,则CG=2.4x米.在Rt△CDG中,∵DG2+CG2=DC2,即x2+(2.4x)2=522,解得x=20或x=-20(舍去),∴DG=20米,CG=48米,∴EG=20+0.8=20.8(米),BG=52+48=100(米).∵EM⊥AB,AB⊥BG,EG⊥BG,∴四边形EGBM是矩形,∴EM=BG=100米,BM=EG=20.8米.在Rt△AEM中,∵∠AEM=27°,∴AM=EM·tan27°≈100×0.51=51(米),∴AB=AM+BM=51+20.8=71.8(米).答案:B12.如图,一架长为6米的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时测得∠ABO=70°,如果梯子的底端B外移到D,则梯子顶端A下移到C,这时又测得∠CDO=50°,那么AC的长度约为________米.(sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)解析:由题意,可得∵∠ABO=70°,AB=6m,∴sin70°=eq\f(AO,AB)=eq\f(AO,6)≈0.94.解得AO=5.64m,∵∠CDO=50°,DC=6m,∴sin50°=eq\f(CO,6)≈0.77.解得CO=4.62m,则AC=5.64-4.62=1.02(m),故答案为1.02.答案:1.0213.如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,经过测量得到如下数据:AM=4米,AB=8米,∠MAD=45°,∠MBC=30°,则CD的长为________米.(结果保留根号)解析:在Rt△CMB中,∵∠CMB=90°,MB=AM+AB=12米,∠MBC=30°,∴CM=MB·tan30°=12×eq\f(\r(3),3)=4eq\r(3)(米).在Rt△ADM中,∵∠AMD=90°,∠MAD=45°,∴∠MAD=∠MDA=45°,∴MD=AM=4米,∴CD=CM-DM=(4eq\r(3)-4)米.故答案为(4eq\r(3)-4).答案:(4eq\r(3)-4)14.(2021·玉山一模)一艘轮船由南向北航行,如图,在A处测得小岛P在北偏西15°方向上,两个小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行,有无触礁的危险?解:如图,作PD⊥AB交AB延长线于D点,∵∠PBC=30°,∠PAB=15°,∴∠APB=∠PBC-∠PAB=15°.∴PB=AB=20×2=40(海里).在Rt△BPD中,PD=eq\f(1,2)PB=20海里.∵20>18,∴不会触礁.15.(2021·金溪一模)图1是一台用保护套套好的带键盘的平板电脑实物图,图2是它的示意图,忽略平板电脑的厚度,支架BE分别固定在平板电脑AD背面中点B处,桌面E处,EB可以绕点E转动,当点D在线段EF上滑动时,可调节平板电脑AD的倾斜角∠ADC,经测量,CE=24cm,CF=9cm,支架BE=eq\f(1,2)AD=10.5cm.(1)连接AE,求证:AE⊥CE;(2)当∠ADC=120°时,求A,E两点间的距离;(3)当点D滑到距离F点1cm处时,视觉效果最好,求此时倾斜角∠ADC的度数.(参考数据:eq\r(3)≈1.73,sin48.19°≈0.75,cos48.19°≈0.67,tan48.19°≈1.12,结果保留一位小数)解:(1)证明:如图,连接AE.∵BE=eq\f(1,2)AD,B是AD中点,∴AB=BE=BD,∴∠A=∠AEB,∠ADE=∠DEB.在△ADE中,∠A+∠AEB+∠ADE+∠DEB=180°,∴2(∠AEB+∠DEB)=180°,∴∠AEB+∠DEB=90°.即∠AED=90°.∴AE⊥CE;(2)∵∠ADC=120°,∴∠ADE=60°.在Rt△ADE中,AE=AD·sin∠ADE=eq\f(\r(3),2)AD.∵eq\f(1,2)AD=10.5cm,∴AD=21cm,∴AE=eq\f(21\r(3),2)≈18.2(cm);(3)∵DF=1,CE=24,CF=9,∴DE=CE-CF-DF=14.在Rt△ADE中,cos∠ADE=eq\f(DE,AD)=eq\f(14,21)=eq\f(2,3)≈0.67,∴∠ADE≈48.2°.∴∠ADC=180°-∠ADE≈131.8°.16.(2021·江西模拟)如图是一个桌面会议话筒

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