2024届一轮复习人教A版 第九章平面解析几何指点迷津九 课件（35张）

指点迷津(九)第九章求曲线轨迹方程的方法曲线C与方程F(x,y)=0满足两个条件:(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程.求曲线方程的基本方法主要有:(1)直接法:直接将几何条件或等量关系表示为代数方程;(2)定义法:利用曲线的定义,判断曲线类型,再由曲线的定义直接写出曲线方程;(3)代入法(相关点法):题中有两个动点,一个为所求,设为(x,y),另一个在已知曲线上运动,设为(x0,y0),利用已知条件找出两个动点坐标的关系,用所求表示已知,即(5)交轨法:引入参数表示两动曲线的方程,将参数消去,得到两动曲线交点的轨迹方程.一、直接法求轨迹方程例1.已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,O为坐标原点,动点P在圆C外,过点P作圆C的切线,切点为M.(1)若点P(1,3),求此时的切线l的方程;(2)当|PM|=|PO|时,求点P的轨迹方程.解

(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4.当切线斜率不存在时,直线为x=1,满足条件;当切线斜率存在时,切线方程可以设为l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0.切线方程为3x+4y-15=0或x=1.(2)设P(x,y).∵|PM|=|PO|,且2|PO|2=2x2+2y2,∴|PM|2=|PC|2-|CM|2=(x+1)2+(y-2)2-4=2x2+2y2,∴x2+y2-2x+4y-1=0,∴点P的轨迹方程为(x-1)2+(y+2)2=6.名师点析直接法求轨迹方程的两种策略

对点训练1设点A,点B的坐标分别为(-5,0),(5,0),动点M满足直线AM,BM的斜率之积为-,求点M的轨迹方程.二、定义法求轨迹方程

例2.在平面直角坐标系中,动圆M与圆x2+y2-2x+=0外切,同时与圆x2+y2+2x-=0内切,求动圆圆心M的轨迹方程.方法总结利用定义法求轨迹方程时,还要看轨迹是否是完整的圆(或椭圆、双曲线、抛物线),如果不是完整的曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.对点训练2如图所示,已知圆A:(x+2)2+y2=1与点B(2,0),分别求出满足下列条件的动点P的轨迹方程.(1)圆P与圆A外切,且过点B(P为动圆圆心);(2)圆P与圆A外切,且与直线x=1相切(P为动圆圆心).解

(1)设圆P的半径为r,则|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由双曲线的定义知,点P的轨迹为双曲线的右支,且2a=1,2c=4,即(2)由题可知动点P到定点A的距离等于到定直线x=2的距离,故所求轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此所求轨迹方程为y2=-8x.三、代入法(相关点法)求轨迹方程例3.(2022四川内江高二期末)在△ABC中,A(-2,0),B(2,0),AC与BC斜率的积(1)求点C的轨迹方程;(2)若P(4,0),求PC的中点M的轨迹方程.解(1)设点C坐标为(x,y),因为AC,BC存在斜率,所以x≠±2,且y≠0.方法总结利用代入法求轨迹方程的一般步骤

(1)求点N的轨迹方程;(2)当点N的轨迹为圆时,求λ的值.四、参数法求轨迹方程

例4.如图,椭圆C:

=1的右顶点为A,上顶点为B,动直线交椭圆C于M,N两点,且满足∠MON=90°,过原点O作OH⊥MN,垂足为H.求点H的轨迹方程.解

设M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN斜率不为零时,设直线MN的方程为x=my+t.因为∠MON=90°,所以MO⊥ON,所以x1x2+y1y2=(my1+t)(my2+t)+y1y2=(m2+1)y1y2+mt(y2+y1)+t2=0,方法总结应用消参法求轨迹方程的流程选参→求参→消参→注意消参后曲线的范围是否发生变化对点训练4(2022江西上饶高二期末)已知抛物线x2=2py(p>0)上的任意一点到P(0,1)的距离比到x轴的距离大1.(1)求抛物线的方程;(2)若过点(0,2)的直线l与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q,求△QAB重心G的轨迹方程.解

(1)由抛物线的定义可得p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(2)由题意可得直线AB的斜率存在,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AB的方程为y=kx+2.代入抛物线方程,得x2-4kx-8=0,Δ=(-4k)2-4×(-8)>0,x1+x2=4k,x1x2=-8.五、交轨法求轨迹方程例5.如图,已知椭圆C:

=1的短轴端点分别为B1,B2,点M是椭圆C上的动点,且不与点B1,点B2重合,点N满足NB1⊥MB1,NB2⊥MB2,求动点N的轨迹方程.解

(方法1)设N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由题意知B1(0,-3),B2(0,3),