2024届四川省遂宁市二中高二上数学期末质量检测模拟试题含解析

2024届四川省遂宁市二中高二上数学期末质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数，则函数在点处的切线方程为（）A. B.C. D.2．设变量，满足约束条件，则的最大值为（）A.1 B.6C.10 D.133．已知，，若直线上存在点P，满足，则l的倾斜角的取值范围是（）A. B.C D.4．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]5．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.6．人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（）A. B.C. D.7．已知点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（）A. B.C. D.8．平行直线：与：之间的距离等于（）A. B.C. D.9．已知点是椭圆上的任意点，是椭圆的左焦点，是的中点，则的周长为（）A. B.C. D.10．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则判断框中应填入（）A.？ B.？C.？ D.？11．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A. B.，或C.，或 D.，或，或12．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列满足，则_______________.14．双曲线上一点P到的距离最小值为___________.15．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________16．定义在R上的函数满足，其中为自然对数的底数，，则满足的a的取值范围是__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知集合，.（1）当时，求AB；（2）设，，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.18．（12分）如图，已知三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，，是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求点到面的距离.（3）求二面角的平面角的正切值.19．（12分）在①直线l：是抛物线C的准线；②F是椭圆的一个焦点；③，对于C上的点A，的最小值为；在以上三个条件中任选一个，填到下面问题中的横线处，并完成解答．已知抛物线C：的焦点为F，满足_____（1）求抛物线C的标准方程；（2）是抛物线C上在第一象限内的一点，直线：与C交于M，N两点，若的面积为，求m的值20．（12分）已知圆：，直线：．圆与圆关于直线对称（1）求圆的方程；（2）点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、．求四边形面积的取值范围21．（12分）中，角A，B，C所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的面积.22．（10分）已知数列的首项，，，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】依据导数几何意义去求函数在点处的切线方程即可解决.【详解】则，又则函数在点处的切线方程为，即故选：C2、C【解析】画出约束条件表示的平面区域，将变形为，可得需要截距最小，观察图象，可得过点时截距最小，求出点A坐标，代入目标式即可.【详解】解：画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分：又，即，要取最大值，则在轴上截距要最小，观察图象可得过点时截距最小，由，得，则.故选：C.3、A【解析】根据题意，求得直线恒过的定点，数形结合只需求得线段与直线有交点时的斜率，结合斜率和倾斜角的关系即可求得结果.【详解】对直线，变形为，故其恒过定点，若直线存在点P，满足，只需直线与线段有交点即可.数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最大值，此时，对应倾斜角；当直线过点时，其斜率取得最小值，此时，对应倾斜角为.根据斜率和倾斜角的关系，要满足题意，直线的倾斜角的范围为：.故选：A.4、B【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.5、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D6、C【解析】由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由题意可知下一段圆弧过点，因为每一段圆弧的圆心角都为90°，所以下一段圆弧所在圆的圆心与点的连线平行于轴，因为下一段圆弧半径为13，所以所求圆的圆心为，所以所求圆的方程为，故选：C7、C【解析】先计算抛物线上的点P到圆心距离的最小值，再减去半径即可.【详解】设，由圆心，得，∴时，，∴故选：C.8、B【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.【详解】，则：，即，距离为.故选：B.9、A【解析】设椭圆另一个焦点为，连接，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得结果.【详解】在椭圆中，，，，如图，设椭圆的另一个焦点为，连接，因为、分别为、的中点，则，则的周长为，故选：A.10、C【解析】本题为计算前项和，模拟程序，实际计算求和即可得到的值.【详解】由题意可知：输出的的值为数列的前项和.易知，则，令，解得.即前7项的和.为故判断框中应填入“？”.故选：C.11、D【解析】先利用已知一元二次不等式的解集求得参数，再代入所求不等式，利用分式大于零，则分子分母同号，列不等式计算即得结果.【详解】不等式解集为，即的二根是1和2，利用根和系数的关系可知，故不等式即转化成，即，等价于或者，解得或，或者.故解集为，或，或.故选：D.【点睛】分式不等式的解法：（1）先化简成右边为零的形式（或），等价于一元二次不等式（或）再求解即可；（2）先化简成右边为零的形式（或），再利用分子分母同号（或者异号），列不等式组求解即可.12、A【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用来求得，进而求得正确答案.【详解】，，是数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以.故答案为：14、2【解析】设出点P的坐标，利用两点间距离公式结合二次函数求出最小值即可作答.【详解】设，则，即，于是得，而，则当时，，所以双曲线上一点P到的距离最小值为2.故答案为：215、##【解析】由向量的数量积得，从而得，利用勾股定理和椭圆的定义可得的等式，从而求得离心率【详解】，所以，又，所以是直角三角形，，，又，，所以，，，所以故答案为：16、【解析】设，求出其导数结合条件得出在上单调递减，将问题转化为求解，由的单调性可得答案.【详解】设，则由，则所以在上单调递减.又由，即，即，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范围，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根据是成立的必要条件，利用包含关系列不等式即可得出实数的取值范围【详解】（1）由，解得，可得：，可得：，化为：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即实数a的取值范围是.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）首先以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用向量求；（2）首先求平面的法向量，再利用公式求解；（3）求平面的法向量为，先求，再求二面角的正切值.【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.则有、、、.，，所以异面直线与所成角的余弦为（2）设平面的法向量为，则知：；知取，又，点到面的距离所以点到面的距离为.（3）（2）中已求平面的法向量，设平面的法向量为∵；∴取..设二面角的平面角为，则.【点睛】本题考查空间直角坐标系求解空间角和点到平面的距离，重点考查计算能力，属于中档题型.19、（1）（2）或.【解析】（1）选条件①，由准线方程得参数，从而得抛物线方程；选条件②，由椭圆的焦点坐标与抛物线焦点坐标相同求得得抛物线方程；选条件③，由F，A，B三点共线时，，再由两点间距离公式求得得抛物线方程；（2）求出点坐标，由点到直线距离公式求得到直线的距离，设，，直线方程代入抛物线方程，判别式大于0保证相交，由韦达定理得，由弦长公式得弦长，再计算出三角形的面积后可解得【小问1详解】选条件①：由准线方程为知，所以抛物线C的方程为选条件②：因为抛物线的焦点坐标为所以由已知得椭圆的一个焦点为.所以，又，所以，所以抛物线C的方程为选条件③：由题意可知得，当F，A，B三点共线时，，由两点间距离公式，解得，所以抛物线C的方程为.【小问2详解】把代入方程，可得，设，，联立，消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直线的距离为，所以，即，解得或经检验均满足，所以m的值为或.20、（1）（2）【解析】（1）圆关于直线对称，半径不变，只需求出圆心对称的坐标即可.（2）将四边形面积分成两个全等的直角三角形，利用直角三角形的性质，一条直角边不变时，斜边与另外一条直角边的大小成正相关，从而得到面积的最小值与最大值.【小问1详解】由题可知的圆心为，圆的半径与之相同，圆心与之关于对称，设的圆心为，故可根据中点在对称的直线上得到①，根据斜率相乘为-1得到②，联立①②可得，所以圆心坐标为，且半径为，故的方程为【小问2详解】连接，将四边形分割成两个全等的直角三角形，所以有，四边形面积的范围可转化为MP长度的范围，在中，根据勾股定理可知，因为半径长度不变，所以最大时最大；所以最小时最小；画出如下图，当动点P移动至在时面积最小，时面积最大；设点P的坐标为，所以有，解得，所以，，所以，所以；，所以.所以21、