新教材2023-2024学年高中数学模块综合测评2新人教A版选择性必修第三册

模块综合测评(二)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知(1+x)n的展开式中第5项与第11项的系数相等,则所有项的系数之和为()A.216 B.215 C.214 D.2132.[2023广东佛山二模]“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”,是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划,旨在培养中国自己的学术大师.已知浙江大学、复旦大学、武汉大学、中山大学均有开设数学学科拔尖学生培养基地,某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,则每所学校至少有一位同学选择的不同方法种数为()A.120 B.180 C.240 D.3003.下表是某厂1~4月份用水量(单位:百吨)的一组数据:月份x1234用水量y/百吨4.5432.5用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系,其经验回归方程是y^=-0.7x+a^,则a^等于A.10.5 B.5.15 C.5.2 D.5.254.设某地区历史上从某次特大洪水发生以后,在30年内发生特大洪水的概率是0.8,在40年内发生特大洪水的概率是0.85.在过去的30年内该地区都未发生特大洪水,则在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是()A.0.25 B.0.3 C.0.35 D.0.45.(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为()A.45 B.65 C.105 D.1356.一个箱子里有编号1,2,…,12的12个大小相同的球,其中1到6号球是红球,其余的是黑球,若从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有1个球的编号是偶数的概率为()A.122 B.111 C.37.某大型家电专卖店为答谢消费者举行了一次抽奖活动,奖券共有100张,其中带有“中奖”字样的奖券有10张.假设抽完的奖券不放回,参加抽奖的20名消费者依次编号为1,2,…,20,并按照编号由小到大的顺序依次参加抽奖,则2号消费者中奖的概率为()A.1099 B.C.110 D.8.[2023云南曲靖模拟]已知(1-x)4(1+2x)5+(1+2023x)2022+(1-2022x)2023的展开式中含x的项的系数为q,空间有q个点,其中任何四点不共面,这q个点可以确定的直线条数为m,以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n,以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p,则m+n+p=()A.2022 B.2023 C.40 D.50二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.对于二项式1x+x3n(n∈N*),以下判断正确的有()A.存在n∈N*,展开式中有常数项B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项10.[2023山东烟台期中]袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球,现从中有放回地随机取球3次,每次取一个球,每次取到白球得0分,黑球得5分,设3次取球总得分为X,则()A.3次中恰有2次取得白球的概率为36B.P(X>5)=44C.E(X)=6D.D(X)=1811.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),则下列结论正确的是()A.P(|ξ|<a)=P(ξ<a)+P(ξ>-a)(a>0)B.P(|ξ|<a)=2P(ξ<a)-1(a>0)C.P(|ξ|<a)=1-2P(ξ<a)(a>0)D.P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0)12.以下说法正确的是()A.直线l1:x+(1+m)y=2-m与直线l2:mx+2y+8=0平行的充要条件是m=1B.样本相关系数r可以反映两个随机变量的线性相关程度,r的值越大表明两个变量的线性相关程度越强C.从独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.05的情况下,认为吃地沟油与患胃肠癌有关联时,是指有不超过0.05的概率使得推断吃地沟油与患胃肠癌有关联出现错误D.已知一系列样本点(xi,yi)(i=1,2,3,…,n)的经验回归方程为y^=2x+a^,若样本点(r,2)与(2,s)的残差相同,则有s=-2三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.某灯泡厂生产大批灯泡,其次品率为1.5%,从中任意地陆续取出100个,则其中正品数X的期望为,方差为.

14.某处有5个水龙头,已知每个水龙头被打开的可能为110,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)=15.假设关于某设备的使用年限x(单位:年)和所支出的维修费用y(单位:万元)有如下的统计资料:x/年23456y/万元6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系,且经验回归方程为y^=a^+b^x,其中已知b^=1.23,16.[2023江苏常州月考]我们知道:Cnm=Cn-1m-1+Cn-1m,相当于从两个不同的角度考察组合数:①从n个不同的元素中选出m个元素并成一组的选法种数是Cnm;②对n个元素中的某个元素A,若A必选,有Cn-1m-1种选法,若A不选,有Cn-1四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于165x2+1x5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a的值.18.(12分)某资源网推出配套某种数学教材的48个教案,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段教案的下载量进行统计:下载量[0,100](100,200](200,+∞)个数82416(1)现从48个教案中采用分层随机抽样的方式选出6个,求下载量超过200的个数;(2)为了更好地鼓励作者,现在在基本工资的基础上推出如下奖励措施:若下载量在区间[0,100]上不予奖励;若下载量在区间(100,200]内,则每个教案奖励500元;若下载量超过200,则每个教案奖励1000元.现从(1)中选出的6个教案中随机取出2个,记这2个教案奖励金额的总和为随机变量X,求X的分布列与均值.19.(12分)近年来,随着社会对教育的重视,家庭的平均教育支出增长较快,随机抽样调查某市2016~2022年的家庭平均教育支出,得到如下折线图.(附:年份代码1~7分别对应的年份是2016~2022)经计算得∑i=17yi=259,7≈2.646,∑i=17(yi-y)2=25,∑i=1(1)用线性回归模型拟合y与t的关系,求出样本相关系数r(精确到0.01);(2)建立y关于t的经验回归方程(b^,a^(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元,预测该家庭教育支出约为多少万元?附:(ⅰ)样本相关系数:r=∑i(ⅱ)在经验回归方程y^=b^t+a20.(12分)“随意过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“随意过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:态度性别合计男性女性反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“随意过马路”的路人的概率是815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),根据小概率值α=0.05的独立性检验,分析反感“随意过马路”与性别是否有关?(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“随意过马路”的人数为X,求X的分布列和均值.附:χ2=n(α0.050.01xα3.8416.63521.(12分)某投资公司准备在2024年年初将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为79项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,也可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为35(1)针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由;(2)若市场预期不变,该投资公司按照你选择的项目长期投资(每一年的利润和本金继续用作投资),问大约在哪一年的年底总资产(利润+本金)可以翻一番?(参考数据:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)22.(12分)[2023湖南怀化检测]某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动,凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加赢取“购书券”的双人游戏.游戏共三局,每局游戏开始前,在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同外,其余完全相同),每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码),若双方摸出的两球号码之差为奇数,则甲被扣除2个积分,乙增加2个积分;若号码之差为偶数,则甲增加n(n∈N*)个积分,乙被扣除n个积分.游戏开始时,甲、乙的初始积分均为零,游戏结束后,若双方的积分不等,则积分较大的一方视为获胜方,将获得“购书券”奖励;若双方的积分相等,则均不能获得奖励.(1)设游戏结束后,甲的积分为随机变量ξ,求ξ的分布列.(2)以(1)中的随机变量ξ的数学期望为决策依据,当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时,记正整数n的最小值为n0.①求n0的值,并说明理由;②当n=n0时,求在甲至少有一局被扣除积分的情况下,甲仍获得“购书券”奖励的概率.

参考答案模块综合测评(二)1.C由题意展开式的第5项、第11项的系数分别为Cn4,Cn10,则Cn4=Cn10,所以n=4+10=14,则二项式为2.C5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标,每所学校至少有一位同学选择的不同方法种数为C52A3.D由题知x=1+2+3+44=2.5,y=4.5+4+3+2.54=3.5,因为经验回归直线过定点(x,y),所以所以a^=5.254.A设在未来10年内该地区发生特大洪水的概率是p,根据条件可得,0.8×1+(1-0.8)×p=0.85,解得p=0.25.5.D(1-x)10的展开式的通项为Tk+1=(-1)kC10kxk,所以(1+x+x2)(1-x)10的展开式中含x4的项为1×C104x4+x×(-C103x3)+x2×C1026.D从箱子中取两个红球,且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类:第一类,两个球的编号均为偶数,有C32种取法;第二类,两个球的编号为一奇一偶,有C317.C设第i号消费者中奖为事件Ai,则P(A2)=P(A1A2)+P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A18.D(1-x)4(1+2x)5的展开式中含x的项为C4014(-x)0·C51×14(2x)1+C41×13(-x)1·C50×15(2x)0=6x,(1+2023x)2022+(1-2022x)2023的展开式中含x的项为C20221×12021(2023x)1+C20231×12022(-2022x)1=2022×2023x-2023×2022x=0,所以(1-x)4(1+2x)5+(1+2023x)2022+(1-2022x)2023的展开式中含x9.AD该二项展开式的通项为Tk+1=Cnk1xn-k(x3)k=Cnkx4k-n,则当n=4k时,展开式中存在常数项,故A正确,B错误;当n=4k-1时,展开式中存在x的一次项,故10.BC设3次取球取到白球的个数为ξ,因为每次取到白球的概率P=610=35,所以由题意可得ξ~B3,35,且X=0×ξ+5(3-ξ对于A,P(ξ=2)=C32×35对于B,令X=15-5ξ>5,解得ξ<2,故ξ=0或ξ=1,所以P(X>5)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=1-[P(ξ=2)+P(ξ=3)]=1-54125+353=44125,对于C,因为E(ξ)=3×35=95,所以E(X)=E(15-5ξ)=15-5E(ξ)=15-5×9对于D,因为D(ξ)=3×35×1-35=1825,所以D(X)=D(15-5ξ)=25D(ξ11.BD因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a),故A不正确;因为P(|ξ|<a)=P(-a<ξ<a)=P(ξ<a)-P(ξ<-a)=P(ξ<a)-P(ξ>a)=P(ξ<a)-(1-P(ξ<a))=2P(ξ<a)-1,故B正确,C不正确;因为P(|ξ|<a)+P(|ξ|≥a)=1,所以P(|ξ|<a)=1-P(|ξ|≥a)(a>0),故D正确.12.AC对于A,若m=1,则l1:x+2y=1与l2:x+2y=-8平行,故充分性满足,若直线l1:x+(1+m)y=2-m与直线l2:mx+2y+8=0平行,则1×2=(1+m)m,8对于B,样本相关系数r可以反映两个随机变量的线性相关程度,|r|的值越大且越接近于1,表明两个变量的线性相关程度越强,故B错误;对于C,由独立性检验的过程及意义可知,说法正确,故C正确;对于D,由残差的定义可得2-(2r+a^)=s-(2×2+a^),解得s=-2r+6,故D错误.故选13.98.51.4775由题意可知X~B(100,98.5%),所以E(ξ)=100×98.5%=98.5,D(ξ)=100×98.5%×1.5%=1.47081对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有打开或未打开2种可能结果,相应的概率为0.1或1-0.1=0.9.根据题意知ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=C53×(0.1)3×(0.9)2=015.24.68由表中数据可知,x=2+3+4+5+6y=2.∵经验回归直线一定经过样本点的中心(x,∴5=a^+1.23×4,∴a^=∴经验回归方程为y^=1.23x+0.08当x=20时,y^=1.23×20+0.08=24.68故使用年限为20年,维修费用约为24.68万元.16.Cn+km根据题意,从n+k个不同元素中选出m个元素并成一组的选法种数是Cn+km,若对其中的某k(1≤k<m≤n,m,n∈N)个元素分别选或不选,则k(1≤k<m≤n,m,n有一个元素被选取,有Ck1有两个元素被选取,有Ck2有三个元素被选取,有Ck3……有k个元素被选取,有Ckk所以Cn+km=Ck0Cnm+Ck1C17.解165x2+1x5的展开式的通项为Tr+1=C5r165x25-r1xr=1655-rC令20-5r=0,得r=4,故常数项T5=C54×又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,由题意知2n=16,解得n=4,由二项式系数的性质知,(a2+1)n展开式中系数最大的项是T3,故有C42a4=54,解得a=18.解(1)根据分层随机抽样的特点,选出的下载量超过200的个数为6×1648=(2)X的可能取值为500,1000,1500,2000.则P(X=500)=C1P(X=1000)=C3P(X=1500)=C3P(X=2000)=C则X的分布列为X500100015002000P1121故均值E(X)=500×15+1000×13+150019.解(1)t=17×(1+2+3+4+5+6∑i=17(ti-t)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28,∑i=1所以r=∑i=17(t(2)b^=∑a^=y-b^∴y^=4.64t+18.(3)当t=8时,y^=4.64×8+18.44=55.56,故预测2023年该家庭教育支出为10×55.56%=5.556(万元)20.解(1)态度性别合计男性女性反感10616不反感6814合计161430零假设为H0:反感“随意过马路”与性别无关联.由已知数据得χ2=30×(10×8-6×6)216根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,即认为反感“随意过马路”与性别无关联,此推断犯错误的概率不大于0.05.(2)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=C8P(X=1)=C61C81C14所以X的分布列为X012P44815X的均值为E(X)=0×413+1×4821.解(1)若按项目一投资,设获利ξ1万元,则ξ1的分布列为ξ1300-150P72所以E(ξ1)=300×79+(-150)×2若按项目二投资,设获利ξ2万元,则ξ2的分布列为ξ2500-3000P311所以E(ξ2)=500×35+(-300)×13+0