北师大版九年级数学上册 （菱形的性质与判定）特殊平行四边形教育课件(第3课时)

第一章

特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时

名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对

角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平

行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，

也可直接判定四边相等．(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD是菱形．证明：(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：2训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是

AB，CD，AC，BD的

中点，求证：线段EF

与线段GH互相垂直平分．(1)如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，

则∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM.∵AC＝BD，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

又∵CD＝DC，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.证明：(2)如图，连接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，

且FG＝

AD，EG＝

BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴▱HFGE为菱形．∴线段EF与线段GH互相垂直平分．3训练角度利用菱形的性质与判定求线段长3．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E

是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的

对称点．(1)证明：四边形AECF为菱形；(2)设EF交AC于点O，若BC＝10，

求线段OF的长．(1)因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，所以AC应是EF的中垂线．所以CE＝CF，AE＝AF.又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，所以AE＝CE.所以AE＝AF＝CE＝CF.所以四边形AECF是菱形．证明：(2)因为四边形AECF是菱形，所以OA＝OC，OE＝OF.因为点E是AB的中点，所以EO是△ACB的中位线．所以EO＝

BC＝5.所以OF＝5.解：4训练角度利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分

∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，

过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，

交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM

的面积为四边形EFBM面积的

一半？请说明理由．(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四边形AEPM为菱形．证明：解：(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝

S四边形EFBM.

理由如下：∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．

过点