第2章投资学基础(金融工程与风险管理-南京大学,林辉)

金融工程与风险管理第2章投资学基础linhui@10/3/202312.1马科维茨风险资产组合模型基本假设（1）均方准则：投资者仅仅以期望收益率和方差（标准差）来评价资产组合（Portfolio）（2）投资者理性：投资者是不知足的和风险厌恶的。（3）瞬时投资：投资者的投资为单一投资期，多期投资是单期投资的不断重复。（4）有效组合：在资金约束下，投资者希望持有具有最高的均方标准的组合。10/3/20232组合均值与方差对于包含n个资产的组合p，其总收益的期望值和方差分别为10/3/20233均方准则与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即在资金约束下，可构造出的所有组合的期望收益和风险（方差或标准差）。均方准则：在可行集中，有些投资组合会明显地优于另一些投资组合，其特点：给定风险，预期收益率最大或者给定收益风险（标准差）最小。满足这两个条件的资产组合，即为有效组合。由所有有效组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。10/3/20234两种风险资产构成的可行集若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，随着投资权重w的变化，就构成了可行集。10/3/20235.将可行的组合标注在均方平面上10/3/20236两种完全正相关资产的可行集命题：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：10/3/20237若不允许卖空（W≥0），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线段，即为完全正相关的两种风险资产可行集。10/3/20238两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有10/3/20239命题：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。

证明：10/3/20231010/3/202311两种不完全相关的风险资产的组合的可行集10/3/202312在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集（W≥0）10/3/2023133种风险资产的组合二维表示一般地，当资产数量增加时，要保证资产之间两两完全正（负）相关是不可能的，因此，一般假设两种资产之间是不完全相关（一般形态）。123410/3/202314类似于3种资产构成组合的算法，我们可以得到一个月牙型的区域为n种资产构成的组合的可行集。n种风险资产的组合二维表示10/3/202315不可能的可行集AB可行区域是向左侧凸出的！因为任意两个资产构成的投资组合都位于两个资产连线的左侧。10/3/2023162.1.1马科维茨模型（n项风险资产组合有效前沿）假定1：市场上存在种风险资产，令代表投资到这n种资产上的财富的相对份额，则有：且卖空不受限制，即允许2.也是一个n维列向量，它表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益10/3/2023173.使用矩阵表示资产之间的方差协方差，有注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量a，都有，则10/3/202318其中，是所有元素为1的n维列向量。由此构造拉格朗日函数10/3/202319注意到方差-协方差矩阵正定，二阶条件自动满足，故只要求一阶条件其中，0=[0,0,…,0]（1）（2）（3）10/3/202320（4）由（1）得到把（4）代入（2），得到（5）10/3/202321为化简，定义把（4）代入（3）（6）10/3/202322这样我们就可以将（5）和（6）改写为解得（7）（8）10/3/202323将（7）和（8）代入（4）得到，给定收益条件下的最优权重向量为（9）其中，10/3/202324最小方差集的几何特征性质1：最小方差集是均方平面上的双曲线证明：由于10/3/202325根据线性代数的性质有不妨令10/3/202326这样，由（9）得到的最优权重向量改写为在得到最优权重的基础上，最小方差为（10）10/3/202327由于（11）所以10/3/202328这是均方二维空间中的双曲线，不妨称为最小方差曲线（minvariancecurve）。双曲线的中心是（0，b/c），渐近线为对（11）配方得到即证毕.10/3/202329g点是全局最小方差组合点（globalminimumvarianceportfoliopoint）wg10/3/202330性质2：全局最小方差点的权重向量为证明：由于g点是最小方差前沿的一个点，故它满足（11），即（12）对（12）求驻点10/3/202331所以，代入（10）得到10/3/2023322.1.2两基金分离定理

（two-fundseparationtheorem）定理2(两基金分离)：在均方效率前沿上任意两点的线性组合，等价于满足均方效率的资产组合。假设wa和wb是在给定收益ra和rb（ra≠rb）是具有均方效率的资产组合（基金），则命题1：任何具有均方效率的资产组合都是由wa和wb的线性组合构成命题2：反之，由wa和wb线性组合构成的资产组合，都具有均方效率。10/3/202333证明1：假设资产组合c满足均方效率，则有即c是a和b的线性组合，命题1证毕。10/3/202334证明2：反过来，因为即wc满足均方效率的最优权重，命题2证毕.10/3/202335两基金分离定理的意义定理的前提基金分离，即两基金（有效资产组合）的期望收益不同。投资上的意义：一个决定买入的均方效率资产组合的投资者，只要投资到任何两个满足均方效率且收益率不同的基金即可。投资者无须直接投资于n种风险资产，而只要线性地投资在两种基金上就可以了。计算上的意义：要获得有效边界，我们只需要获得任意两个解（即两个不同的投资权重），然后对解进行线性组合即可。如先计算全局最小方差点，然后再找一个点。10/3/2023361、确定初始解2、对初始解进行线性组合确定初始解的简单方法，首先令必须注意：这可能使总权重不等于1，但可以通过标准化进行补救。2.1.3有效前沿的数值算法10/3/202337为得到初始解V1，需求解下面的线性方程组得到向量然后将其单位化，即这样向量就是均方效率解。10/3/202338为得到初始解V2，需求解下面的线性方程组得到向量然后将其单位化，得到向量也是均方效率解。这样得到了最优组合1和2，可以通过对其进行线性组合得到，并根据组合的均值、方差公式，计算得到其他均方点。10/3/202339程序：资产组合有效前沿ExpReturn=0.01*[15.112.514.79.0217.68];ExpCovariance=0.01*[2.300.930.620.74-0.23;0.931.400.220.560.26;0.620.221.800.78-0.27;0.740.560.783.40-0.56;-0.230.26-0.27-0.562.60];Matlab程序中以frontcon函数直接计算有效前沿，假设需要得到200种组合。10/3/20234010/3/2023412.2资本资产定价模型资本资产定价模型（CapitalAssetPricingModel，CAPM）是由美国Stanford大学教授夏普等人在马克维茨的证券投资组合理论基础上提出的一种证券投资理论。CAPM解决了所有的人按照组合理论投资下，资产的收益与风险的问题。CAPM理论包括两个部分：资本市场线（CML）和证券市场线（SML）。10/3/202342资产组合模型研究是研究风险资产构成的组合，但未讨论资产中加入无风险资产的情形。假设无风险资产的具有正的期望收益，且其方差为0。将无风险资产加入已经构成的风险资产组合（风险基金）中，形成了一个无风险资产+风险基金的新组合，则可以证明：新组合的有效前沿将是一条直线。2.2.1单基金定理10/3/202343命题：一种无风险资产与风险组合构成的新组合的有效边界为一条直线。一种风险资产与无风险资产构成的组合，其标准差是风险资产的权重与标准差的乘积。10/3/202344加入无风险资产后的最优资产组合风险收益无风险收益率rf原组合有效边界MF新组合的有效边界10/3/202345单基金定理（分离定理）Theone-fundtheorem:thereisasinglefundMofriskyassetssuchthatanyefficientportfoliocanbeconstructedasacombinationofthefundMandtherisk-freeassetF.含义：只要无风险资产确定，则风险组合M也惟一确定。直线FM上的点就是最优投资组合，形象地，该直线将无差异曲线与风险资产组合的有效边界分离了。由分离定理，基金公司可以不必考虑投资者偏好的情况下，确定最优的风险组合。10/3/202346单基金定理的原因、条件和意义原因：存在无风险资产，改变了有效前沿的外形，使得有效前沿为一条直线，且在风险资产组合最优边界上只取一个点（M）条件：可以自由地以无风险利率借贷资金。意义：不论投资者偏好如何，M点由F点惟一确定。无需先确知投资者偏好，就可以确定风险资产最优组合。风险厌恶较低的投资者可以多投资风险基金M，少投资无风险证券F，但总是会选择合适比例的M或者F。10/3/202347分离定理对组合选择的启示若市场是有效的，由分离定理，资产组合选择问题可以分为两个独立的工作，即资本配置决策（Capitalallocationdecision）和资产选择决策（Assetallocationdecision）。资本配置决策：考虑资金在无风险资产和风险组合之间的分配。资产选择决策：在众多的风险证券中选择适当的风险资产构成资产组合。10/3/202348资本资产定价模型（CAPM）CAPM由两个部分构成：由单基金定理导出资本市场线（CML，Capitalmarketline）由资本市场线导出证券市场线（SML，Securitymarketline）CAPM试图解决这样的问题：在一个具有风险资产和无风险资产的市场上，如果人人都是理性投资者，则资产应该如何定价的问题？10/3/202349CAPM的基本假定投资者根据一段时间内（单期）组合的预期收益率和方差来评价投资组合（理性）所有投资者都可以免费和不断获得有关信息（市场有效）资产无限可分，投资者可以购买任意数量的资产投资者可以用无风险利率借入或者贷出货币不存在税收和交易费用同质期望（Homogeneousexpectations）：由于投资者均掌握了马克维茨模型，他们对证券的预期收益率和标准差和协方差的看法一致。10/3/202350若所有的投资者信息成本相同（假定2），都能获得相同的信息，都将均方分析（假定6）应用于同样广泛的证券（假定3和假定4），在一个相同的计划期内计划他们的最优风险投资组合（假定1），投资顺序内容也相同（假定6），且不考虑其他因素（假定5），则他们必然达到相同结构的最优资产组合。投资者的不同仅仅是风险偏好和拥有的投资禀赋不同。10/3/2023512.2.2资本市场线同质期望（Homogeneousexpectations）：由于理性投资者均会使用马克维茨的资产组合模型。即市场中的每个投资者都是资产组合理论的有效应用者。投资者对每个资产回报的均值、方差以及协方差具有相同的预期。投资者之间的差异：风险规避程度。即资金在风险基金和无风险资产的投资比例的差异。10/3/202352市场均衡：由单基金定理，每个理性投资者都将从市场上购买基金M（当然购买数量不同），因为M惟一。每个投资者购买数量的总和=供给，因为这样才能使市场均衡。该基金M应该是包括那些证券呢？（对这个问题的回答构成了CAPM的核心内容）市场资产组合（Marketportfolio）：资产组合中每一种证券的投资比例与该证券的市值相同。对股票市场而言，就是构造一个包括所有上市公司股票，且结构相同的基金（如指数基金）。10/3/202353例子：最简单的资本市场假设这个世界上存在均衡的风险证券市场：只有两种风险证券1和2，证券1的价格是1，数量是1。证券2的价格是2，数量是2，故整个市场的市值是5。只有两个投资者A和B，显然两个投资者的投资在风险证券市场的投资总和也是5。假设A拥有1，B拥有4。由于两个人均会持有同一基金（单基金定理），即他们在风险资产上的投资结构相同（w1，w2）请问他们将如何投资呢？结论：投资者的投资比例与市场上存在的风险资产的市值比例相同，即投资者A和B都购买市场组合。10/3/202354如果IBM股票在市场上占的市值是1%，那么，就意味着每个投资者都会将自己投资于风险资产的资金的1%投资于IBM股票。反证：如果IBM股票没有进入投资者的资产组合，则投资者对IBM股票需求为零，这将违背均衡条件，IBM股价将下跌，其市值比例也不是1%。所以，市值能够均衡在1%，恰恰是由于所有投资者都将资金的1%投资IBM。市场上所有的证券都类似于IBM股票。风险基金M＝市场组合（Marketportfolio）因为只有当风险基金等价于市场组合时，才能保证：（1）全体投资者购买的风险证券等于市场风险证券的总和——市场均衡；（2）每个人购买同一种风险基金——单基金定理。10/3/202355m资本市场线CML10/3/202356CML是无风险资产与风险资产构成的组合的有效边界。CML的截距被视为时间的报酬CML的斜率就是单位风险溢价在金融世界里，任何资产组合都不可能超越CML。由于单个资产一般来说并不是最优的资产组合，因此，单个资产也位于该直线的下方。10/3/202357CML的扩展没有无风险资产尽管短期国债名义上是无风险资产，但是，它们的实际收益是不确定的。CML退化：投资者不得不在风险资产的有效率边界上选择资产组合。具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择CML＋均方有效前沿10/3/202358E(r)FAPQCMLSt.Dev具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择更多风险忍耐的投资者更少风险忍耐的投资者10/3/202359无风险借贷利率不相等条件下的CML：三段曲线个人如果要借款投资于风险资产组合，必须付出比国库券利率高的利率。例如，经纪人索要的保证金贷款利率就高于国库券利率。E(r)FAPQBCMLSt.Dev高风险忍耐的投资者中风险忍耐的投资者低风险忍耐的投资者10/3/202360E(r)FCMLSt.Dev高风险忍耐的投资者中风险忍耐的投资者低风险忍耐的投资者10/3/2023612.2.3证券市场线（SML）CML将一项有效资产组合的期望收益率与其标准差联系起来，但它并未表明一项单独资产的期望收益率是如何与其自身的风险相联系。CAPM模型的最终目的是要对证券进行定价，因此，就由CML推导出SML。命题8.4（证券市场线定理）：若市场投资组合是有效的，则任一资产i的期望收益满足证明关键：在组合环境下考虑资产的定价问题！10/3/202362证明：考虑持有权重w资产i，和权重(1-w)的市场组合m构成的一个新的资产组合，由组合计算公式有证券i与m的组合构成的有效边界为im；im不可能穿越资本市场线；当w=0时，曲线im的斜率等于资本市场线的斜率。σmrfri市场组合10/3/20236310/3/202364证券市场线（Securitymarketline）SML10/3/202365方程以为截距，以为斜率。因为斜率是正的，所以越高的证券，其期望回报率也越高。称证券市场线的斜率为风险价格，而称为证券的风险。由的定义，我们可以看到，衡量证券风险的关键是该证券与市场组合的协方差而不是证券本身的方差。10/3/202366思考：现实中的证券有没有可能高（低）于证券市场线？..10/3/202367证券市场线与系统风险由于证券的实际收益会偏离SML，不妨设某种资产i的收益为系统风险非系统风险问题：用方差与β测量证券风险性质相同吗？10/3/202368系统风险系统风险（或市场风险）：由共同的宏观经济因素带来的，对整个经济都起作用的风险。如：利率、汇率风险证券的系统风险本质上是该证券与市场上所有证券的协方差加权和。由于一种证券不可能与市场上所有证券之间都相互独立，故系统风险不为0。10/3/202369非系统性风险定义：产生于某一证券或某一行业的独特事件，如破产、违约等，与整个证券市场不发生系统性联系的风险。即总风险中除了系统风险外的偶发性风险，或称残余风险和特有风险（Specialrisk）。非系统风险可以通过组合投资予以分散，因此，投资者可以采取措施来规避它，所以，在定价的过程中，市场不会给这种风险任何酬金。对单个证券而言，由于其没有分散风险，因此，其实际的风险就是系统风险加上特有风险，所以其收益就是10/3/202370投资组合的贝塔值公式命题：组合的贝塔值是组合中各个资产贝塔值的加权平均。10/3/202371命题：系统风险无法通过分散化来消除。10/3/202372结论：贝塔、证券市场线、系统风险β衡量的风险是系统风险，无法通过分散化消除。证券的期望收益是关于β的线性函数，这表明市场仅仅对系统风险进行补偿，而对非系统风险不补偿。非系统风险可以由技术手段来消除SML虽然是由CML导出，但其意义不同：（1）CML给出的是市场组合与无风险证券构成的组合的有效集，任何资产（组合）的期望收益不可能高于CML。（2）SML给出的是单个证券或者组合的期望收益，它是一个有效市场给出的定价，但实际证券的收益可能偏离SML。10/3/202373SML的应用：项目选择已知一项资产的买价为p，而以后的售价为q，q为随机的，则随机条件下的贴现率（风险调整下的利率）10/3/202374例：某项目未来期望收益为1000万美元，由于项目与市场相关性较小，β=0.6，若当时短期国债的平均收益为10％，市场组合的期望收益为17％，则该项目最大可接受的投资成本是多少？10/3/2023752.2.4股票的风险因子由CAPM，股票的回报波动的因子是市场组合回报率的波动，对于一个股票其贝塔相对固定若忽略由此通过市场因子rm和无风险利率两个因素作用于股票i，就成了股票因子的风险来源，若在短期内，可以忽略无风险利率的影响10/3/2023762.3债券模型与敏感性分析市场利率的升降对债券投资的总报酬具有影响：债券本身的溢价或损失（资本利得），利息收入和再投资收益。债券风险管理的重要策略之一就是，如何消除利率变动带来的风险，即利率风险免疫（Interestrateimmunization），即使得债券组合对利率变化不敏感。10/3/2023772.3.1久期(Duration)D为Macaulay久期，D*为修正久期，当y很小时，二者近似相等。利率或到期收益率10/3/202378久期是债券价格对利率敏感性的度量，久期越大同样利率变化引起的债券价格变化越大久期是到期时间的加权平均，权重是t时刻现金流的现值占总现值的比例10/3/202379久期：现金流现值翘翘板的支点时间现值久期：以现金流占总现值的比例为权重，对每次现金流发生时间加权平均的结果！10/3/202380久期的简便算法：证明：不妨将面值单位化为1，息票率为c，则两边取对数得到10/3/202381所以，息票率c越大，则Macaulay久期D越小。10/3/2023822.3.2久期与债券的风险久期与债券风险的关系如下意义：在收益率微小变动下，债券价格的回报率的标准差（风险）为收益率的D*倍。10/3/202383久期与债券的风险例子：假设一个10年期零息债券，10年期即期利率为8％且具有0.94%的波动，则该债券价格的波动率为？10/3/2023842.3.3凸性及其性质久期可以看作是债券价格对利率波动敏感性的一阶估计。凸性则是二阶估计，它可以对久期计量误差进行有效的校正。久期对利率的敏感性进行测量实际上只考虑了价格变化与收益率之间的线性关系。而实际上，市场的实际情况是非线性的。10/3/202385凸性是根据债券价格p对收益率y的二阶导数给出的，其金融学意义比较难以理解，其中一种解释把凸性看成久期对利率的敏感度，这是错误的。10/3/202386凸性的金融学含义10/3/202387=1下面证明10/3/202388凸性的金融学含义由以上的推导可知又由于则10/3/202389记这样10/3