高中总复习第一轮数学(新)第十章分类计数原理、分步计数原理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第十章排列、组合和二项式定理网络体系总览考点目标定位1.分类计数原理与分步计数原理.2。排列、排列数公式.3。组合、组合数公式、组合数的两个性质.4.二项式定理、二项展开式的性质.复习方略指南排列与组合是高中数学中，从内容到方法都比较独特的一部分.其重点是在熟练应用公式的基础上,运用两个基本原理，解决计数应用题。二项式定理的重点是二项展开式及通项公式的联系和应用。近几年全国各地高考试题考查本章知识的题型多为选择题或填空题,分值为4—9分，各套试卷都有考查本章知识的题目,难度为中档或中档以下的题目，试题考查二项式定理及其通项公式的较多,对排列、组合的考查放在了概率一节知识中.依据以上情况，复习中，要注意通过典型例题,掌握分析问题的方法,总结解题规律.10.1分类计数原理、分步计数原理巩固·夯实基础一、自主梳理1。分类计数原理:做一件事,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法.2.分步计数原理:做一件事,完成它需要分n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.二、点击双基1。四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的。现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为(）A.96B.48C.24D。0解析：相交两棱所代表的物品不同在一个仓库，如右图，现设侧棱为1、2、3、4，底面上的边为5、6、7、8，由图分析可知，不可能有3种物质放在同一个仓库,故每个仓库放2种,由图知下图中对应为安全的。不妨设先将编号为1、2、3、4的物品入仓，则有A44种放法,然后从有1的开始。A：若有1的仓库放5，则有2的放6且8只能在含4的仓库中,那么7只能放在含3的仓库中。B:若有1的仓库放8，同理可知也只有一种放法，故放法有2种。∴为2A44=2×24=48(种）。答案：B2.(2005北京东城教学目标检测）如果一个三位数的十位数字既大于百位数字也大于个位数字，则这样的三位数一共有（）A.240个B.285个C.231个D。243个解析：分情况类推，当十位数字是9时,百位数字有8种取法，个位数字有9种取法,此时取法种数为8×9;当十位数字是8时，百位数字有7种取法,个位数字有8种取法,此时取法种数为7×8.依此类推，直到当十位数字是2时,百位数字有1种取法,个位数字有2种取法,此时取法种数为1×2.所以，总的个数为1×2+2×3+3×4＋…+8×9=240.故选A.答案:A3.(2005北京宣武质量检测)某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2.元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注，则这个人把这种特殊要求的号买全，至少要(）A.3360元B。6720元C。4320元D。8640元解析:考查分步计算原理,从01至10的三连号的个数有8种；从11至20的两连号的个数有9种；从21至30的单选号的个数有10种;从31至36的单选号的个数有6种，故总的选法有8×9×10×6=4320种,可得需钱数为8640元,答案为D。答案：D4。72的正约数（包括1和72）共有_______________个。解析：72=23×32.∴2m·3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m、n∈N）都是72的正约数.m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×4个.答案：125。（2005北京春季高考）从-1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，共可组成不同的二次函数__________个,其中不同的偶函数共有___________个。(用数字作答）解析：一个二次函数对应着a、b、c（a≠0)的一组取值,a的取法有3种，b的取法有3种,c的取法有2种,由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个。若二次函数为偶函数,则b=0。同上共有3×2=6个。答案:186诱思·实例点拨【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果？解:分两类：(1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×29×20=17400种结果；（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果。讲评：在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步,一般情况是先分类再分步。链接·提示本题为什么要先分类？由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立。【例2】有一个圆被两相交弦分成四块,现在用5种不同颜料给4块涂色，要求共边两块颜色互异，每块只涂一色,共有多少种涂色方法?剖析:如图所示，分别用a、b、c、d记这四块.a与c可同色，也可不同色,先可考虑给a、c两块涂色,分两类.解:(1）给a、c涂同种颜色共C15种涂法,再给b涂色有4种涂法,最后给d涂色也有4种涂法，由乘法原理知,此时共有C15×4×4种涂法。(2)给a、c涂不同颜色共有A25种涂法，再给b涂色有3种方法,最后给d涂色也有3种，此时共有A25×3×3种方法.故由分类计数原理知，共有C15×4×4+A25×3×3=260种涂法.讲评：按元素性质分类,按事件发生过程分步是处理排列、组合问题的基本思想方法.在应用分类计数原理时,要注意“类”与“类”间的独立性与并列性；在应用分步计数原理时,要注意“步”与“步”的连续性。链接·聚焦两个基本原理与排列组合是历年高考必考内容，题型多以小题为主，主要考查对概念的理解和知识的综合应用。【例3】现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2）每班选一名组长,有多少种不同的选法?(3)推选两人作中心发言,这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？剖析：这是个分类和分步计数原理的综合问题,（1）是分类计数原理，(2）是分步计数原理,（3）是分类与分步的综合.解：(1）分四类，第一类，从一班学生中选1人,有7种选法；第二类，从二班学生中选1人,有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类,从四班学生中选1人,有10种选法,所以共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）。(2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5040（种）.（3)分六类,每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班学生中各选1人,有7×9种不同的选法；从一、四班学生