重庆云阳双江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析

重庆云阳双江中学2022-2023学年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体中，，分别为棱、上的点；已知下列判断：①平面；②在侧面上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面内总存在与平面平行的直线；④平面与平面所成的二面角（锐角）的大小与点的位置有关，与点的位置无关；其中正确判断的个数有

(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个参考答案：B略2.如果，则有A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知函数是R上的减函数，则a的取值范围是参考答案：B由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得，化简得．4.已知点是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，若，则线段的中点的横坐标为A．

B． C．

D．参考答案：A5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13

B．35

C．49

D．63参考答案：C略6.已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x﹣y的最大值是（）A．6 B．0 C．2 D．2参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为4的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图，由图可得A（a，﹣a），B（a，a），由，得a=2．∴A（2，﹣2），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6．故选：A．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.直线与圆的公共点的个数（

）A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定参考答案：C【分析】表示圆的标准方程，进而表示圆心和半径，再由圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系，即可得答案.【详解】因为圆，圆心为则圆心到直线的距离为所以公共点有2个故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.8.已知向量，，，若，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A9.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足，则点P一定为三角形的

（

）A．AB边中线的中点

B。AB边中线的三等分点（非重心）

C．重心

D。AB边的中点参考答案：B略10.已知A，B，P是双曲线上不同的三点，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，且是关于x的方程的两个实数根，若，则双曲线C的离心率是（

）A.2 B. C. D.参考答案：B【分析】设P，A点坐标，确定B点坐标，利用韦达定理有，利用斜率公式及P,A在双曲线上建立方程组，即可得出结果.【详解】设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以点的坐标为，因为，所以，即，又，在双曲线:上，所以，，两式相减得，即，又因为，所以，所以，所以，，选B．【点睛】本题考查求双曲线的离心率，列方程消元得到a,b,c的关系式是关键，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，那么不等式f（x）≥1的解集为

．参考答案：（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】利用特殊函数的单调性，分步讨论【解答】解：∵函数在x＞0时为增函数，且故当[3，+∞）时，f（x）≥1∵函数在x≤0时为减函数，又知=1，故当（﹣∞，0]时，f（x）≥1故答案为（﹣∞，0]∪[3，+∞）12.已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是

．①若，，则；

②若，，则；③若，，则；

④若，，则．参考答案：①13.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．参考答案：3略14.为中边的中点，若，则=_________。参考答案：2略15.已知，则=

。参考答案：416.设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.

参考答案：π17.设重心为G，的对边分别为a,b,c,若,则

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，对任何正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数的图象上，且过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：解析：（1）∵点的图象上，∴

…………2分当n=1时，；当

（1）当n=1时，也满足（1）式.∴数列{an}的通项公式为

…………4分（2）由∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为Kn，∴Kn=2n+2又∵

…………6分∴Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）·4n

①由①×④得：4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+2）·4n+1

②由①－②：得

……8分=4×∴

…………12分19.如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到如图2所示的几何体D﹣ABC（Ⅰ）求证：AD⊥平面BCD；（Ⅱ）求点C到平面ABD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由题意可得：AC=BC=2，又AB2=AC2+BC2，可得AC⊥CB，由面面垂直的性质定理可得：BC⊥平面ADC，可得BC⊥AD．又AD⊥DC，即可证明结论．（II）由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．过点C作CH⊥BD，垂足为H．可得CH⊥平面ABD．利用CH=即可得出．【解答】（I）证明：由题意可得：AC=BC=2，∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥CB，又平面ADC⊥平面ABC，∴BC⊥平面ADC，∴BC⊥AD．又AD⊥DC，DC∩BC=C，∴AD⊥平面BCD．（II）解：由（I）可知：平面ABD⊥平面BCD．过点C作CH⊥BD，垂足为H．则CH⊥平面ABD．CH为点C到平面ABD的距离．∵BC⊥平面ADC，∴BC⊥CD．在Rt△BCD中，BC=2，CD=2，∴BD==2．∴CH===．∴点C到平面ABD的距离是．20.本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）已知函数.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）当时，，此时：，于是：切线方程为（Ⅱ）令得：当即时，，函数在上单调递增，于是满足条件当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，于是不满足条件当即时，函数在上单调递减，此时不满足条件综上所述：实数的取值范围是21.（12分）设椭圆方程为=1，求点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.参考答案：解析：设P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l的方程为y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx－3=0，x1+x2=－y1+y2=，由

得：（x，y）=（x1+x2，y1+y2），即：消去k得：4x2+y2－y=0当斜率不存在时，AB的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P的轨迹方程为：4x2+y2-－y=0．22.（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，割线PBC经过圆心O，且PB=BC．（Ⅰ）求证：PA=AC；（Ⅱ）若点D是弧AC的中点，PD与⊙O交于另一点E，PB=1，求PE的长．参考答案：考点： 与圆有关的比例线段．专题： 几何证明．分析： （I）利用切割线定理可得PA2=PB?PC，即可得出；（II）连接OD，CD，利用D为的中点，可得，PB=1，PC=3，CD=1．由余弦定理得PD2=PC2+CD2﹣2PC?CDcos60°可得PD=，再由切割线定理可得PA2=PE?PD，即可得出．解答： （Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，∵PA为切线，由切割线定理得，PA2=PB?PC=3R2，∴PA=R．连接OA，PA⊥OA，∴∠POA=60°．∠AOC=120°