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文档简介
重点对数平均不等式专题一
函数与导数在高考压轴题中,经常考查与导数有关的不等式问题,这些问题可以用常规方法求解,也可以转变成对数平均不等式、切线不等式进行求解,起到事半功倍的效果.考点一对数平均不等式专题强化练内容索引对数平均不等式
考点一例1不妨设a>b>0,所以f(t)在(1,+∞)上单调递减,∴φ(t)在(1,+∞)上单调递减,该类问题的特征是双变量,将双变量问题转变为单变量问题处理,即将
看成一个新对象(整体),从而进行降维打击.规律方法(1)讨论f(x)的单调性;跟踪演练1①若a≤2,则f′(x)≤0,当且仅当a=2,x=1时,f′(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.②若a>2,令f′(x)=0,得由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x2>x1>0,则x2>1.又x2>x1>0,∴x1-x2<0,lnx1-lnx2<0,即证原不等式成立.专题强化练
1.(2022·葫芦岛模拟)已知函数f(x)=x+b(1+lnx)(b∈R).(1)求f(x)的单调区间;1212若b≥0,则f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;若b<0,令f′(x)=0,得x=-b,当x∈(0,-b)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-b,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,综上,若b≥0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;若b<0,f(x)的单调递减区间为(0,-b),单调递增区间为(-b,+∞).(2)设g(x)=f(x)-
sinx,若存在0<x1<x2,使得g(x1)=g(x2),求证:①b<0;12g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上单调递增,故不存在0<x1<x2,使得g(x1)=g(x2),所以b<0.12②x1x2<4b2.12令m(x)=x-sinx(x>0),m′(x)=1-cosx≥0,当x→0时,m(x)→0,故m(x)>0,即x>sinx,因为g(x1)=g(x2),12122.(2022·抚州模拟)已知函数f(x)=x(lnx+a),a∈R.(1)求f(x)的单调区间;12因为f(x)=x(lnx+a),故可得f′(x)=lnx+a+1,x>0,又y=lnx+a+1为增函数,令f′(x)=0,解得x=e-a-1,故当0<x<e-a-1时,f′(x)<0;当x>e-a-1时,f′(x)>0,故f(x)的单调递减区间为(0,e-a-1),单调递增区间为(e-a-1,+∞).12(2)当a=1时,求证:ef(x)≤xex在(0,+∞)上恒成立.当a=1时,f(x)=x(lnx+1),要证ef(x)≤xex,即证ex(lnx+1)≤xex,又x>0,则只需证lnx+1≤ex-1,又lnx+1≤x,ex-1≥x,且等号都在x=
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