2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套练习13平均值不等式Word版含

§3均匀值不等式课时过关·能力提高1.已知x>0,y>0,且x+2y=1,则的最小值是( )A.2+2B.3+2C.2+3D.7+2分析:∵x,y∈(0,+∞),x+2y=1,∴=1++2≥3+2.当且仅当,即x=y,也就是当y=1-,x=-1时取“=”号,故的最小值为3+2.答案:B2.设0<a<b,a+b=1,则以下不等式正确的选项是( )A.b<2ab<<a2+b2B.2ab<b<a2+b2<C.2ab<a2+b2<b<D.2ab<a2+b2<<b分析:∵0<a<b,且a+b=1,∴0<a<b<1,∴a2+b2>2ab,b>a2+b2,且>b.故2ab<a2+b2<b<.答案:C3.当x>0时,y=3x+的最小值为( )A.B.3C.D.4分析:y=3x+≥3=3.当且仅当x=,即x=时取“=”号.答案:A4.设正实数22获得最大值时,的最大值为( )x,y,z知足x-3xy+4y-z=0,则当A.0B.1C.D.3分析:由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.∵x,y,z都是正实数,∴=1,当且仅当x=2y时取“=”号.此时将x=2y代入x2-3xy+4y2-z=0,得z=2y2,∴=-=-+1,当=1,即y=1时,获得最大值为1,应选B.答案:B5.某产品此后四年的市场需求量挨次组成数列{an},n=1,2,3,4,并展望年需求量第二年比第一年增加的百分率为P1,第三年比第二年增加的百分率为P2,第四年比第三年增加的百分率为P3,且P1+P2+P3=1,给出以下数据:①,②,③,④,⑤.则此中可能会成为这四年市场需求量的年均匀增加率的是( )A.①②B.①③C.②③④D.②⑤分析:设这四年间市场年需求量的均匀增加率为x(x>0),则a4=a1(1+x)3=a1(1+P1)(1+P2)(1+P3),∴(1+x)3=(1+P1)(1+P2)(1+P3)≤,∴1+x≤,即x≤.对照所给数据,只有①③知足条件.答案:B6.函数y=4sin2xcosx的最小值为,最大值为.2222分析:∵y=16sinxsinxcosx=8(sin2xsin2x·2cos2x)≤8,y2≤,当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=±时取“=”号.∴ymax=,ymin=-.答案:-7.设x,y为正实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是.分析:∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2=3xy+1=×2xy+1≤+1,∴(2x+y)2≤,即(2x+y)max=,当且仅当2x=y,即x=,y=时取“=”号.答案:ab的最小值为.8.已知log2a+log2b≥1,则3+9分析:由已知得a>0,b>0.由log2a+log2b≥1,得log2(ab)≥1,ab≥2,∴3a+9b=3a+32b≥2≥2≥18.当且仅当a=2,b=1时取“=”号.答案:189.求证:x2+≥3-1.证明设t=,则t≥1,∴x2+=t2-1+=t2+-1≥3-1=3-1.当且仅当t2=,即t=,x=±时取“=”号.∴x2+≥3-1.★10.在△ABC中,∠C=90°,AC+BC=1(定值),将图形沿AB的中垂线折叠,使点B落在点A上,求图形未被掩盖部分面积的最大值.剖析依据题意先列出分析式,利用分析式中的关系及均匀值不等式的定理求解.解如图,将图形沿AB的中垂线DE折叠,使点B落在点A上,未被掩盖部分是Rt△ACD.设BC=a,AC=b,b<a,则a+b=1,tanB=,∠ADC=2∠B,DC=b·.Rt△ACD的面积:2·2S=bb·==(3-2).当且仅当2a=,即a=时取“=”号,所以,当a=时,Smax=(3-2).故图形未被掩盖部分面积的最大值是(3-2).★11.如图①,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器(如图②).当这个正六棱柱容器的底面边长为多少时,容积最大?并求出最大容积.解如图,设正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的边长为x(0<x<1),则OB1=B1B2=x.由正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为1,得OA1=A1A2=1,所以A1B1=OA1-OB1=1-x.作B1C1⊥A1A2于点C1.在Rt△A1B1C1中,∠B1A1C1=60°,则容器的高B1C1=A1B1sin60°=(1-x).于是容器的容积为V=f(x)=S·h=(1