高中总复习之二倍角公式

高考资源网（），您身边的高考专家只要付出，定有回报！！欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。【学习目标】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.【要点梳理】要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1．二倍角的正弦、余弦、正切公式要点诠释：(1)公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；(2)倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.如：；2．和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：要点二：二倍角公式的逆用及变形要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型求值题、化简题、证明题1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接.【典型例题】类型一：二倍角公式的简单应用例1．化简下列各式：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）．（2）．（3）．【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．举一反三：（2）已知，且α∈(，π)，则的值为．【答案】（1）（2）【解析】（1）原式====（2）因为，且α∈(，π)，所以，原式=．类型四：二倍角公式在三角函数式给值求值题目中的应用【高清课堂：倍角、半角公式370633例2】例5．求值：（1）已知，求．（2）已知，求．【思路点拨】观察所求的角与已知角的关系，发现它们是二倍的关系，所以用二倍角公式去求解．【答案】（1）（2）【解析】（1）===（2）===【总结升华】给值求值是求值问题中常见的题型，求解的要点是利用公式沟通已知条件和所求式子之间的联系，考查公式运用和变换的技巧．举一反三：【变式1】已知，且，求，，的值．【答案】【解析】由，得，即，∴由，得，∴．即．整理得．解得或（舍去）．∴．∴．【总结升华】解题过程中注意角的范围的判定．【变式2】已知，（1）求tan的值；（2）求的值．【解析】（1），解得．（2）．【总结升华】第（1）问中利用了方程的思想求tan的值；对于第（2）问的题型，一般需要将分式转化为含tan的式子求解，或者通过消元转化的方法求解．类型五：二倍角公式的综合应用【高清课堂：倍角、半角公式370633例3】例6．已知，求：（1）f(x)的最大值以及取得最大值的自变量的集合；（2）f(x)的单调区间．【思路点拨】用降幂公式把原式降幂，然后用辅助角公式化成的形式．【答案】（1）（2）单增区间单减区间【解析】（1）原式===则当即时，（2）f(x)的单调递增区间为：，则f(x)的单调递减区间为：，则【总结升华】本题主要考查特殊角的三角函数值、两角和的正弦、二倍角的正弦与余弦公式及的性质等知识．要记住倍角公式两类重要变形并能熟练应用：（1）缩角升幂公式，．，．（2）扩角降幂公式，．例7．已知向量，，求函数．（1）求的最大值及相应的x值；（2）若，求的值．【思路点拨】利用向量数量积公式的坐标形式，将题设条件中所涉及的向量数量积转化为三角函数中的“数量关系”，从而建立函数f(x)关系式．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，，所以．因此，当，即时，取得最大值．（2）由及得，两边平方得，即．因此，．举一反三：【变式1】已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）求函数在上的最小值.【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）所以函数的最小正周期为.由，，则.函数单调递减区间是，.(Ⅱ)由，得.则当，即时，取得最小值.【变式2】已知向量m=（sinA，cosA），，m·n=1，且A为锐角．（1）求角A的大小；（2）