中考数学复习精创专题-《开放探究综合压轴题》考前冲刺专题达标测评　

春九年级数学中考复习《开放探究综合压轴题》考前冲刺专题达标测评（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．⑴如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；⑵如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；⑶如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．2．【问题提出】如图①，已知△ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF试证明：AB=DB+AF【类比探究】（1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由．3．某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：(1)●操作发现：在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是（填序号即可）①AF=AG=12AB；②MD=ME；③整个图形是轴对称图形；④∠DAB=∠DMB(2)●数学思考：在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；(3)●类比探索：在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD和ME，试判断△MED的形状．答：．4．(1)操作发现：如图①，D是等边三角形ABC边BA上一动点(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF.你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．(2)类比猜想：如图②，当动点D运动至等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立？(3)深入探究：Ⅰ.如图③，当动点D在等边三角形ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)，连接DC，以DC为边在DC上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ.如图④，当动点D在等边三角形边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．5．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为2,0，BC=6，∠BCD=60°，点E在AB上，并且AE=3EB，⊙P过D、O、C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D、B（1）求抛物线的解析式.（2）求证：ED是⊙P的切线.（3）若将ΔADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E'会落在抛物线y=ax（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.6．如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是5,4，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点.（1）点A、B、C的坐标分别是A（

，

），B（

，

），C（

，

）.（2）设经过A、B两点的抛物线的关系式为y=14x−52+k，它的顶点为F，抛物线的对称轴与x轴相交于点D（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P（点P在x轴的上方），使ΔPBC是等腰三角形.如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.7．通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据，易证△AFG≌，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．8．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+13BP(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有CD又∵∠PCD＝∠△∽△∴PD∴PD＝13∴AP+13BP＝AP+∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则12AP+PC的最小值为(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．9．已知点P为∠MAN边AM上一动点，⊙P切AN于点C，与AM交于点D（点D在点P的右侧），作DF⊥AN于F，交⊙O于点E．（1）连接PE，求证：PC平分∠APE；（2）若DE＝2EF，求∠A的度数；（3）点B为射线AN上一点，且AB＝8，射线BD交⊙P于点Q，sin∠A＝1310．几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，以面积早就成为人们认识图形性质与几何证明的有效工具，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘．我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？（1）方法1：如图①，连接四边形ABCD的对角线AC，BD，分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形EFGH，易证四边形EFGH是平行四边形．请直接写出S四边形ABCD和S▱EFGH方法2：如图②，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，（2）求证：四边形EFGH是平行四边形；（3）请直接写出S四边形ABCD与S▱EFGH方法3：如图③，取四边形ABCD四边的中点E，F，G，H，连接EG，FH交于点O．先将四边形AEOH绕点H旋转180°得到四边形DJIH，易得点O，H，I在同一直线上；再将四边形OFCG绕点G旋转180°得到四边形MLDG，易得点O，G，M在同一直线上；最后将四边形OEBF沿BD方向平移，使点B与点D重合，得到四边形KJDL；（4）由旋转、平移可得∠LJD=∠_________，∠KJD=∠_________，所以∠IJD+∠KJD=180°，所以点I，J，K在同一直线上，同理，点K，L，M也在同一点线上，所以我们拼接成的图形是一个四边形．（5）求证：四边形OMKI是平行四边形．（注意：请考生在下面2题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分）（6）应用1：如图④，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=8cm，BD=6cm，∠AOB=60°，则S四边形ABCD=cm（7）应用2：如图⑤，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH交于点O，EG=8cm，FH=6cm，∠EOH=60°，则S四边形ABCD=___________c11．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形（1）概念理解①根据上述定义举一个等补四边形的例子：②如图1，四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C＝180°，求证：四边形ABCD是等补四边形（2）性质探究：③小明在探究时发现，由于等补四边形有一组对角互补，可得等补四边形的四个顶点共圆，如图2，等补四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，则∠ACD∠ACB（填“＞”“＜”或“＝“）；④若将两条相等的邻边叫做等补四边形的“等边”，等边所夹的角叫做“等边角”，它所对的角叫做“等边补角”连接它们顶点的对角线叫做“等补对角线”，请用语言表述③中结论：（3）问题解决在等补四边形ABCD中，AB＝BC＝2，等边角∠ABC＝120°，等补对角线BD与等边垂直，求CD的长．12．【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目：如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；提炼2：△ECD≌△FAD；提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．【问题解决】（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．可得：∠EDF＝°；AF，FE，EC三者间的数量关系是．（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明．参考答案1．①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°∵∠DAF=60°∴∠BAC=∠DAF∴∠BAD=∠CAF∵四边形ADEF是菱形，∴AD=AF∴△ABD≌△ACF∴∠ADB=∠AFC②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立．⑵结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立．∠AFC、，∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=∠ACB－∠DAC（或这个等式的正确变式）证明：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∠BAC=60°∵∠BAC=∠DAF∴∠BAD=∠CAF∵四边形ADEF是菱形∴AD=AF．∴△ABD≌△ACF∴∠ADC=∠AFC又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC，∴∠AFC=∠ACB－∠DAC⑶补全图形如下图∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）．2．证明：DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠CAF=∠BAC=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°，∵∠DBE=120°，∴∠EAF=∠DBE，又∵A，E，C，F四点共圆，∴∠AEF=∠ACF，又∵ED=DC，∴∠D=∠BCE，∠BCE=∠ACF，∴∠D=∠AEF，∴△EDB≌FEA，∴BD=AF，AB=AE+BF，∴AB=BD+AF．类比探究（1）DE=CE=CF，△BCE由旋转60°得△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，CE=CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CE，∴DE=EF，∠EFC=∠BAC=60°，∠EFC=∠FGC+∠FCG，∠BAC=∠FGC+∠FEA，∴∠FCG=∠FEA，又∠FCG=∠EAD∠D=∠EAD，∴∠D=∠FEA，由旋转知∠CBE=∠CAF=120°，∴∠DBE=∠FAE=60°∴△DEB≌△EFA，∴BD=AE，EB=AF，∴BD=FA+AB．即AB=BD-AF．（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图③，ED=EC=CF，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF=60°，BE=AF，EC=CF，BC=AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF=EC，又∵ED=EC，∴ED=EF，∵AB=AC，BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，又∵∠CBE=∠CAF，∴∠CAF=60°，∴∠EAF=180°-∠CAF-∠BAC=180°-60°-60°=60°∴∠DBE=∠EAF,∵ED=EC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC=∠EBC+∠BED，∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC，∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC，∴∠BDE=∠AEF，在△EDB和△FEA中，∠DBE∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD=AE，EB=AF，∵BE=AB+AE，∴AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD．3．（1）解：●操作发现：∵ΔADB和∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°在ΔADB和Δ{∠ADB=∠AEC∴Δ∴BD=CE，AD=AE，∵DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，∴AF=BF=DF=12AB∵AB=AC，∴AF=AG=1∵M是BC的中点，∴BM=CM．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，即∠DBM=∠ECM．在ΔDBM和Δ{∴Δ∴MD=ME．故②正确；连接AM，根据前面的证明可以得出将图形1，沿AM对折左右两部分能完全重合，∴整个图形是轴对称图形，故③正确．∵AB=AC，BM=CM，∴AM⊥BC，∴∠AMB=∠AMC=90°，∵∠ADB=90°，∴A，D，B，M四点共圆，∴∠ADM=∠ABM，∵∠AHD=∠BHM，∴∠DAB=∠DMB，故④正确，故答案为：①②③④；（2）解：数学思考：解法一：如图2−1，延长EM至N，使MN=EM，连接BN，DN，DE，∵BM=CM，∠BMN=∠CME，∴Δ∴BN=CE，∠NBM=∠ECM，∵ΔABD和∴∠DBA=∠ECA=∠DAB=∠EAC=45°，BD=DA，AE=EC=BN，∵∠DBN=∠DBM+∠NBM=∠DBM+∠ECM=90°+∠ABC+∠ACB=90°+180°−∠BAC=270°−∠BAC，∠DAE=360°−90°−∠BAC=270°−∠BAC，∴∠DBN=∠DAE，∴Δ∴∠BDN=∠ADE，DN=DE，∴∠NDE=∠BDA=90°，∴Δ∴DM=ME，MD⊥ME；解法二：MD=ME，MD⊥ME．理由：如图2，作AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，∴AF=12AB∵ΔABD和∴DF⊥AB，DF=12AB，EG⊥AC∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．∵M是BC的中点，∴MF//AC，MG//AB，∴四边形AFMG是平行四边形，∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，∴∠DFM=∠MGE．在ΔDFM和Δ{FM=GE∴Δ∴DM=ME，∠FDM=∠GME．∵MG//AB，∴∠GMH=∠BHM．∵∠BHM=90°+∠FDM，∴∠BHM=90°+∠GME，∵∠BHM=∠DME+∠GME，∴∠DME+∠GME=90°+∠GME，即∠DME=90°，∴MD⊥ME．∴DM=ME，MD⊥ME；（3）●类比探究：解法一：如图3−1，延长EM至N，使EM=MN，连接BN，DN，则BD=AD，EC=BN=AE，∠ECM=∠NBM，∴∠DAC=45°−∠EAD，∠ACB=45°+∠ECM，∴∠DAC+∠ACB=90°−∠EAD+∠ECM，∵∠DBC+∠BDA=∠DAC+∠ACB，∴∠DBC+90°=90°−∠EAD+∠ECM，∴∠NBM−∠NBD=∠ECM−∠EAD，∴∠NBD=∠EAD，∴Δ∴∠BDN=∠ADE，DN=ED，∴∠NDE=90°，∴Δ解法二：如图3，取AB的中点F，AC的中点G，连接FM，DF，EG，MG，∵点M、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴MF//AC，MF=12AC，MG//AB∴四边形MFAG是平行四边形，∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM，∵ΔADB和∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°∴MF=EG，DF=MG，∠AFM−∠AFD=∠AGM−∠AGE，即∠DFM=∠MGE．在ΔDFM和Δ{FM=GE∴Δ∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．∵MG//AB，∴∠MHD=∠BFD=90°，∴∠HMD+∠MDF=90°，∴∠HMD+∠EMG=90°，即∠DME=90°，∴Δ4．解：（1）AF=BD．证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知），∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）．∵△DCF是等边三角形，∴DC=CF，∠DCF=60°．∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA，即∠BCD=∠ACF．在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，∴△BCD≌△ACF（SAS）．∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）．（2）AF=BD仍然成立．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠BCA=60°．∵△DCF是等边三角形，∴DC=CF，∠DCF=60°．∴∠BCD=∠ACF．在△BCD和△ACF中，∵BC=AC，∠BCD=∠ACF，DC=CF，∴△BCD≌△ACF（SAS）．∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）．（3）Ⅰ．AF+BF′=AB．证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF．同理△BCF′≌△ACD（SAS），则BF′=AD．∴AF+BF′=BD+AD=AB．Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′．证明如下：在△BCF′和△ACD中，∵BC=AC，∠BCF′=∠ACD，F′C=DC，∴△BCF′≌△ACD（SAS）．∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）．又由（2）知，AF=BD，∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′．5．解（1）∵C2,0，BC=6，∴B−4,0，在RtΔOCD中，∵tan∠OCD=ODOC，∴OD=2tan60°=23，∴D0,23，设抛物线的解析式为（2）在RtΔOCD中，CD=2OC=4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，∵AE=3BE，∴AE=3，∴AEOC=32，ADCD=64=32，∴AECO=ADCD，又∵∠DAE=∠DCO，∴ΔAED∼ΔCOD，∴∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°（3）点E的对应点E'不会落在抛物线y=ax方法一：如图2，ΔAED∼ΔCOD，∴DEDO=AECO，即DE23=32，解得DE=33，∵∠CDE=90°，DE>DC，∴ΔADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E'在射线DC上，而点C、方法二：请大家自行探究.提示：先求出点E的坐标为−92,32，再求出点E'（4）存在.解答如下：∵y=−3∴M−1,934，而如图3，当BM为平行四边形BDMN的对角线时，将点D向左平移4个单位，再向下平移23个单位得到点B，则将点M−1,934当DM为平行四边形BDNM的对角线时，将点B向右平移3个单位，再向上平移934个单位得到点M，则将点D0,23向右平移3个单位，再向上平移当BD为平行四边形BNDM的对角线时，将点M向左平移3个单位，再向下平移934个单位得到点B，则将点D0,23向左平移3个单位，再向下平移综上所述，点N的坐标为−5,34、3,176．解：（1）A2,0，B8,0，提示：连结MC，则MC垂直于y轴.∵点M的坐标是5,4，∴MA=MC=5，MD=4.在RtΔAMD中，AD=AM2−MD2=3，同理在RtΔBMD中，BD=3（2）把A2,0代入y=14x−52+k，解得连结MA，则MF=4+94=∵MA=5，∴FA2+M即MA⊥AF，∴FA与⊙M相切.（3）∵B8,0，C0,4，∴OC=4，OB=8.在RtΔOBC中，BC2=O①当CP=CB时，在RtΔCMP1中，CP12=25+y−42，∴25+y−4②当BP=BC时，在RtΔBDP2中，BP22=9+y2，∴9+y③当PB=PC时，P和M重合，P3综上当P5,4+55、5,71或5,47．解：（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图1，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，则∠DAG=∠BAE，AE=AG，BE=DG，∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG，在△EAF和△GAF中，{AE∴△AFG≌△AEF（SAS）．∴EF=FG=DG+DF=BE+DF；故答案为：SAS；△AFG；（2）类比引申∠B+∠ADC=180°时，EF=BE+DF；理由如下：∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，如图2所示：∴∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，在△AFE和△AFG中，,∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=BE+DF，故答案为：∠B+∠ADC=180°；（3）联想拓展猜想：DE2=BD2+EC2．理由如下：把△ACE绕点A逆时针旋转90°到ABF的位置，连接DF，如图3所示：则△ABF≌△ACE，∠FAE=90°，∴∠FAB=∠CAE．BF=CE，∠ABF=∠C，∴∠FAE=∠BAC=90°，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△ADF和△ADE中，AF=AE∴△ADF≌△ADE（SAS），∴DF=DE，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°，∴∠C=∠ABF=45°，∴∠DBF=∠ABF+∠ABC=90°，∴△BDF是直角三角形，∴BD2+BF2=DF2，∴BD2+EC2=DE2．8．解：(1)如图1，连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+13BP＝AP+PD，要使AP+13∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+13BP最小值为AD∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝93∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝AF∴AP+13BP的最小值为259故答案为：2592(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，∴BPAB=12=∴△ABP∽△PBF，∴FPAP∴PF＝12AP∴12AP+PC＝PF+PC∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝BF∴12AP+PC的值最小值为210故答案为：210；(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴OAOP=12∴△AOP∽△POF∴APPF∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝43，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝FM∴2PA+PB的最小值为97．9．解：（1）证明：∵AN切⊙O于点C∴PC⊥AN∵DF⊥AN∴PC//DF∴∠APC＝∠PDE，∠EPC＝∠PED∵PD＝PE∴∠PED＝∠PDE∴∠APC＝∠EPC，即PC平分∠APE（2）作PH⊥DE于H，如图：∵PD＝PE，DE＝2EF∴DH＝HE＝EF＝12HF＝12PC＝∴∠DPH＝30°∵PH//AF∴∠PAC＝∠DPH＝30°（3）①当DQ＝QE时，如图1连接PQ，可证得PQ//AB∴∠PDQ＝∠DQP＝∠DBA∴AD＝AB＝8∵设PC＝r，AP＝3r∴AD＝4r∴4r＝8∴r＝2∴AP＝3r＝6②当DE＝QE时，记⊙P与AD的另一交点为K，连接KE，如图：则∠QDE＝∠EQD＝∠DKE＝∠DAF在Rt△ADF中，DF＝13AD＝4AF＝22DF＝8在Rt△DBF中，BF＝122DF＝AB＝AF－BF＝72r＝1227③当DQ＝DE时，连接QK连接QE交AD于I，作QG⊥KE于点G，如图：则∠GQE＝∠IKE＝∠A在Rt△QGE中，设GE＝2x，则QE＝3GE＝6x，IE＝3xQG＝22GE＝4则KG＝KE－EG＝7xtan∠QKG＝QGKG＝4∵∠BDF＝∠QKE∴tan∠BDF＝tan∠QKE，BF＝427AB＝AF＋BF＝82r＝21216故答案是：（1）证明；（2）∠PAC＝30°；（3）存在，AP的长为6或362710．解：方法一：如图，∵EF∥AC∥HD,EH∥DB∥FG,∴四边形AEBO,四边形BFCO,四边形CGDO,四边形DHAO都是平行四边形,∴S△ABO=12S四边形AEBO,S△BCO=12S四边形BFCO,S△CDO=12S四边形CGDO,SADO=1∴S四边形ABCD故答案为S四边形ABCD方法二：如图，连接BD．（1）∵E，H分别为AB，AD中点∴EH//BD．EH=1∵F，G分别为BC，CD中点∴FG//BD．FG=∴EH//FG，EH=FG∴四边形EFGH为平行四边形（2）∵E，H分别为AB，AD中点∴EH//BD．EH=1∴S四边形MNHE=12S△ABD,S四边形MNGF=12S△∴S故答案为S四边形ABCD方法3．（1）有旋转可知∠IJD=∠AEO；∠KJD=∠OEB．故答案为∠AEO;∠OEB.（2）证明：有旋转知．∠1=∠I．∵∠1+∠IOM=180°∴∠I+∠IOM=180°∴IK//OM∵旋转．∴∠2=∠M∵∠1=∠2∴∠M=∠1∴IO//KM∵IK//OM∴四边形IOMK为平行四边形应用1：如图，应用方法1，过点H作HM⊥EF与点M,∵∠AOB=60°，∴∠AEM=60°,∠EHM=30°,∵AC