第三章-谐振腔和高斯光束课件

第三章谐振腔和高斯光束

§3.1谐振腔的结构和稳定条件

谐振腔的结构

通常用结构参数来描述谐振腔。设谐振腔两个反射镜的曲率半径分别为R1和R2，镜面间隔为d，则结构参数定义为1腔的稳定性、振荡模式、模体积、发散角、调整精度和损耗大小等都是衡量谐振腔质量的指标，它们又是互相制约的，实际应用中需根据具体要求选取不同的腔体结构。

23不同的腔有不同的结构参数456谐振腔的稳定条件

谐振腔的稳定性是衡量谐振腔的特性的首要因素。特别是对于增益系数较小的介质，总希望光束能在腔内更多来回传播，以便获得足够大的增益。光束在腔内往返次数的多少又是由腔体结构决定的，对于图3.1-2中由两面凸面镜构成的腔体而言，光束在腔内很可能只经一次反射就逸出腔外了。

7研究方法周期性透镜序列

一个曲率半径为R的球面镜反射，光束偏离轴线的情况等同于光束经焦距f=R/2

薄透镜的折射。因此，光束在谐振腔内的往返传播可以等效为经过一透镜序列的传播，如图3.1-3所示。如果激光腔是稳定的，则光线经过相应的透镜序列后不会偏离透镜的孔径，亦即具有会聚性质；反之，如果光线经过相应的透镜序列具有发散性质，则光线终究会在某处逸出腔外，对应的激光腔就是不稳定的。

89

传递矩阵10ABCD矩阵的定义11的符号规则12矩阵的性质AD－BC＝1入射处与出射处折射率相同AD－BC＝n1/n2，

其中入射处折射率为n1，出射处折射率为n2。13求矩阵元一般说来光线穿过任意光学元件后，其位移x和斜率的变换关系，可以由矩阵表示，那么相应的矩阵元为14

光线在自由空间直线传播的光线矩阵（傍轴近似）

15光线通过均匀介质1617（球面反射镜）18ReversedTransmission

反向传输矩阵19ABCDmatrixofanopticalsystem20在光学谐振腔内的一次往返矩阵平行平面腔21

n次往返的矩阵22一般双凹球面腔一次往返矩阵

23由此可得24对称球面腔（R1＝R2＝R）的往返矩阵共焦腔（R1＝R2=d)的往返矩阵25n次往返的矩阵26矩阵乘n次的Sylveester

公式其中满足cos

=1/2(A+D)

腔的稳定条件要求[M]n的各矩阵元不全等于零的实数，因此cos在[-1,1]才有意义，即须满足－11/2(A+D)1时，腔才是稳定的。27

将一般双凹球面腔中的矩阵元代入A和D代入上式，整理可得亦有0g1g21。这是腔的稳定性条件。稳定腔0g1g21。

非稳腔g1g20或g1g21。

临界腔g1g2＝0，或g1g2＝1。

28多元件腔的稳定性

表示不包括腔镜在内的单程传输矩阵。多元件腔的结构参数为29稳定图由稳定图得知，（1，1）、（-1，-1）、（0，0）是稳定图上的三个特殊点，分别对应于平行平面腔、对称共心腔和共焦腔。

30等价共焦腔及其作图求法

图3.3-8说明腔长为d、镜面分别用M1、M2表示的共振腔有唯一确定的高斯光束。在镜面上波阵面曲率半径最小，z=0的腰部位置离M1、M2的距离分别为d/2，在腔内外由a1、a2、a1‘、a2‘等许多波阵面，它们的曲率半径都比M1、M2要大。

31作图法求出任一腔体的等价共焦腔1232Sphericalwave球面波33近轴波动方程Paraxialwaveequation34Gaussianbeam高斯光束35高斯光束的参数363738高斯光束的传播

39TheABCDlawofGaussianbeam40FocusingofGaussianbeam41

共焦腔的衍射理论

横模一、

谐振腔内的衍射现象

衍射理论认为腔内模式是与腔内光束经过多次衍射后达到相对稳定的分布相对应的，即按照不同强度分布和频率特性来具体区分不同的模式，这是建立在惠更斯-菲涅耳原理基础上的理论，数学上主要归结为对腔内衍射场自洽积分方程的求解。

42衍射损耗

43共焦腔44自再现积分方程由于共焦腔是对称腔体，根据自再生场分布的概念，Es’(x’,y’)和Es(x,y)具有相同的函数形式，满足根据惠更斯原理，S面上某一点P(x,y)的场强E(x,y)可看成是以S`面上各点P’(x`,y’)为子波源所发出的球面波的叠加，如图3.2-3。数学上由菲涅耳-克希霍夫（Fresnel-Kirchoff）方程来表示：这里，dS’=dx`dy`为P`(x`,y`)处的面积元；Es’(x’,y’)为S`面上P`(x`,y`)处的场强；为P(x,y)点到P’(x’,y’)点的距离;为P’(x’,y’)处各波源所发出的球面波；称为斜射因子（n为波矢），它保证子波朝前传播；

为n与P`(x`,y`)处法线的夹角。

45求解方程1、方形反射镜Es’(x’,y’)和Es(x,y)可用分离变量法分解为两个单元函数的积分方程，即46实际的激光谐振腔满足条件

d>>a>>，这时，0，cos

1。反射镜曲率半径为R，由简单的的几何分析得知：对于共焦腔，d=R，并略去高阶小量得：

47于是1d48作变量代换：相应地，方程就变为

49把两个变量分离，即得

和叫做积分方程的核，xm,xn叫积分方程的本征值，和叫做积分方程的本征函数。对于实际的激光器C40，在傍轴近似条件下可以认为C。

则方程的解为50为高斯函数，称为厄密多项式（Hermitian），即本征函数为厄密-高斯函数：m=0,1,2,3具体函数形式为：

51横模

52Transversemodes横模5354Higher-orderGaussianmodes55FundamentalmodesTEM00RadialdistributionofaTEM00mode56

振幅光强振幅下降到腔轴处的1/e,光强下降至腔轴处的1/e2.我们把这个距离定义为镜面上的光斑半径ws57圆形镜共焦腔

d58方程的解596061

二、一般稳定腔的光学参数利用高斯光束的传播规律，可以计算任意稳定谐振腔的光束参数。

高斯光束是腔内场的分布形式，它应满足腔内来回振荡一个周期而自再现。q1=q5

62利用ABCD定理及自再现条件q1=q5，得到自洽方程

63腔内一次往返的矩阵

64将ABCD矩阵元代入，可分别得到镜面1和镜面2上的光斑尺寸和波前曲率半径65束腰的位置和尺寸利用移动参考面(l表示参考面到腔镜1的距离）66

67束腰处z=0,R0，实部68

69举例，平凹腔

从结果可以看出，2＝0,即束腰在平面镜表面。7071薄透镜的聚焦

72实部与实部相等，虚部与虚部相等，则

其中解方程可得：73讨论：（1）l1<f，随l1的减小，

20也减小，当l1＝0时，

当74（２）l1>f，随着l1的增加，w20将减少；亦即为了使w20有较小值，l1必须足够大。在l1>>f时，当l1→∞时，其中w(l1)为透镜上的光斑大小，表示为这说明在透镜表面的光斑越大，聚焦越小。（3）l1=f，这时w20达极大，则75高斯光束的准直

为了改善光束的发散角，常将激光器和望远镜联合使用

76发散角的压缩比

光束发散角压缩比不仅与望远镜结构（M）有关，且与高斯光束的结构参数（10,l1）也有关。

77模匹配

在另一些场合，比如说考察激光束频率特性，就需把激光束注入到球面F-P干涉仪中；在光通信中，要求将激光束馈送到光导纤维中去等待，这都是将高斯光束从一个腔体耦合到另一个腔体的问题。通常，当一定模式的高斯光束从一系统注入到另一系统时，这两个系统的模式参数必须互相匹配，否则，可能导致模式的破坏。通过薄透镜来实现高斯光束的变换是其中最简单的方法。

78

模匹配即在两腔体间，通过某些光学元件的变换，使两个腔体的高斯光束互为物象共扼光束，使两个腔体所决定的高斯光束的光学参数完全一样。模匹配问题实质上仍是一个薄透镜变换问题。

79

为了实现模匹配，已知两个腔体的腰部尺寸10和20，计算所需透镜的焦距

f和透镜离两腰部的距离l1

和l2。薄透镜公式可以有其中80§3.5谐振频率和纵模

光束在谐振腔内往复传播达到稳定分布，不但在横截面上构成一定横模分布，而且在腔轴方向也构成一定的纵模分布。这种轴向分布，实际上是两个相向而行的行波叠加而形成的驻波。由于光波波长甚短，因而驻波波节的数目极大，由波节数目决定了光波的谐振频率，因此讨论纵模问题，也就是讨论谐振频率问题。

81任意谐振腔的谐振频率

TEMmn的表达式其中相角为两镜面间总的位相变化应为的整数倍，考察在腔轴上r=0，即有关系这里

q为任意正整数，z1,z2为两镜面位置。82

谐振频率83谐振频率主要由纵模序数决定，横模序数也有影响。平行平面腔g1=g2=1,共焦腔

g1=g2=0,

共心腔

g1=g2=-1,

对同一横模的相邻纵模，如TEMm,n,q和TEMm,n,q+1，其频率差即模距为对同一纵模的相邻横模，如TEMm,n,q和TEMm,n+1,q（TEMm+1,n,q）之间的模距为84模式简并不同模式具有相同频率的现象称为模式简并。具有相同频率的条件为

则模式简并的条件模式简并对输出功率不利。85激光频谱分析

实验上常用Ｆ－Ｐ扫描仪观察激光振荡的纵模及纵模间隔。

86

纵模选择短腔法复合腔F-P标准具法其中

87

衍射损耗

两镜面的场分布具有相同的规律并满足

其中腔内单程衍射损耗为

88横模选择倾斜反射法

减少光腔的菲涅耳数N

小孔光阑法

谐振腔参数g、N选择法

非稳定腔选模

高斯反射率镜89

模体积和调整精度

模体积

基模模体积对高阶模（m,n）,模体积

90多镜腔

折叠腔

特点1、可以在增加有效腔长而不增加腔的几何长度。2、在腔内可以加光学元件和其他装置。处理方法光束矩阵和ABCD定理

91实际的折叠腔92环形腔

93§3.9非稳定腔

满足非稳定腔条件g1g2<0

或g1g2>1的腔体为非稳定腔．相应于g1g2>1

的情况称为正支谐振腔;g1g2<0

相应的情况称为负支谐振腔．94缺点：非稳腔损耗大。优点：1、模体积大2、抑制高阶模的能力强．