流体动力学单流体

流体动力学单流体第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日流体动力学研究的是在外力的作用下流体的运动规律以及流体与固体壁面之间的相互作用关系。1.3.1两种研究方法1.3.1.1拉格朗日方法拉格朗日方法是从分析流体各个质点的运动着手，来研究整个流体的运动。1.3.1.2欧拉方法欧拉方法是从分析空间某点上流体运动的物理量随时间的变化，以及由一点到另一点时这些量的变化来研究整个流体的运动。第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日(1)流场：对于任一空间区域，其中每一空间点都对应着一个确定的标量或矢量的值，这些标量或矢量的集合就组成了标量场或矢量场。(2)稳定场和非稳定场1)稳定场：当流体内一切物理量都不随时间变化时，也即所有的物理量对时间的偏导数为零，这样的流场为稳定场。2)非稳定场：对于非稳定流场，其中至少有一个物理量对时间的偏导数不等于零，那么这样的流场称为非稳定场。第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

流体的运动参数应当是空间坐标（x,y,z）和时间t的函数。速度表示为：

第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日加速度为：式中：等式右边第一项偏导数称流体运动时变加速度；等式右边其余三项之和称流体运动位变加速度。第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日同理对于流体的密度也有方程：那么可以用通式表示为：式中：左边一项称随体导数，右边第一项称局部导数，其余称迁移导数。第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.2

基本概念

1.3.2.1迹线和流线（1）迹线1)定义：流体中某一质点经过一段时间所运动的轨迹线称为迹线。2）迹线方程由则称迹线方程，dt称独立变数。第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

(2)

流线

1)流线定义：在流场中某一瞬时存在的一条空间曲线，在曲线上每一个流体质点的速度方向均与该点的切线方向重合，则称该曲线为流线。

2）流线的性质：①通过流场内的任何空间点，都有一条流线。在整个空间中就有一组曲线族，亦称流线族。②流线不能相交。③在不稳定流动的情况下，流线与迹线不重合，在稳定的情况下，流线与迹线重合。第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

3）流线方程根据速度与各坐标轴的夹角：而切线与坐标轴的夹角为：由于这两个夹角相等，所以：

因此称流线微分方程，t是给定值第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

(3)流线与迹线的区别1）迹线是对某一质点而言的，它表示某一段时间内某一特定的流体质点在空间所经过的路线；而流线则是对接连分布的许多质点而言的，它表示某一特定时刻这些质点的运动方向。2）在稳定流动中，各点上流体的速度不随时间而变化，因而在不同的时刻，流体质点是沿着不变的流线前进的，所以流线与迹线重合；在不稳定流动中，流线和迹线一般是不重合的。第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.2.2流管、流束及流量（1）流管：在流场中取一封闭曲线，过曲线上的各点做流线，所围成的空间区域称为流管。（2）流束（微细流）：围在微小流管内的流体称为流束。

流管微小流束、总流第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日（3）流量：单位时间内通过截面流体的数量称为流量。

数量用体积来表示——称为体积流量

数量用质量来表示——称为质量流量

数量用重量来表示——称为重量流量对于微细流管有：通过整个管道的流量：平均流速：第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.3连续性方程1.3.3.1三维空间的连续性方程

连续性方程是质量守恒定律在流体运动中的数学表达式。在空间任意一点m作一正微元六面空间体，如图。边长分别为dx，dy，dz。通过m点的速度分量为ux，uy，uz，密度为ρ。微元六面空间体上质量守恒的文字描述为：

单位时间流入的质量减去单位时间流出的质量

等于单位时间质量的增量第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

在x轴方向，单位时间内流入ABCD面的质量是ρuxdydz，而流出EFGH面的质量是：

从x轴方向净流入的质量为：第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日同理，从y轴，z轴方向净流入的质量为：和单位时间内净流入微元六面空间体的总质量为：

另一方面，由于dt时间内流体质量的净流入使得微元六面空间体内流体的密度由变为，所以其在单位时间内质量的增量为：第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日根据质量守恒定律有：对于稳定流动：则上式变为：得(1)(2)第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.3.2一元稳定流动的连续性方程

在流动的管道中取1-1，2-2截面，由管壁和两截面组成了容积，截面上有微元面积；由质量守恒：若用平均流速v1，v2

分别表示1-1，2-2截面的平均流速，则有：对于不可压缩流体，则有：或对于圆管有：

即第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.4理想流体的运动微分方程(欧拉方程)1.3.4.1理想流体运动微分方程推导原理：牛顿第二定律：

在微元六面体的中心有一点，该点流体的密度为，压力为，微元六面体的边长为对微元六面体进行受力分析。面上中心点的压强为；面上中心点的压强为；

第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

在x轴方向上进行受力分析：（1）表面力：则x方向的净表面力第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日(2)在x轴方向上的质量力为：式中X为单位质量力在x轴方向上的分量。(3)在x方向的合外力代数和应为质量与分加速度乘积：同理在y，z轴方向上也有：得或即和所以有：第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

这就是理想流体运动微分方程，即欧拉运动微分方程。因此，得到：第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日欧拉运动微分方程写成：第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.4.2欧拉运动微分方程的求解欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速度之间的关系，它是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩及不可压缩理想流体的稳定流动都是适用的。一般情况下，作用在流体上的单位质量力X、Y、Z是已知的，对理想不可压缩流体密度为常数，三个微分方程中未知数有四个，即ux、uy、uz和p，因此需要加上连续性方程，方程是可解的。对于可压缩流体，密度是变量，需要再加上气体状态方程式，方程组理论上也是可以求解的。

然而，要具体确定方程组的解，还要给出起始条件和边界条件。第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.5理想流体的柏努利方程式（导出条件1）（导出条件2）1.3.5.1理想流体稳定流动沿流线（微细流）的积分条件：稳定流动：理想流体：将欧拉运动微分方程写成：第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

因为只考虑稳定流动，所以上式中的p，ux，uy，uz都只是坐标x，y，z的函数，而与时间无关。将上面的三式分别乘以，累次相加。首先分析x方向的动能：由流线方程：

有：第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日同理：设存在这样一个函数（力函数），满足：那么：

……柏努利积分式则积分：和第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

不可压缩：只有重力的作用：

由柏努利积分式：得或对于流线上任意两个质点1和2来说，有：式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能，()。（导出条件3）（导出条件4）第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.5.2理想流体稳定流动总流的柏努利方程任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理参数不一定相同。（1）均匀流与缓变流均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为平行直线这样的稳定流称为均匀流。非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变，但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。急变流：不符合缓变流条件的流动为急变流。第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

对于管道流动，取如图基准面，列出1－1和2－2截面的总流柏努利方程：式中：为截面的平均流速；为动能的修正系数。在层流时；在紊流时。通常工程上取（2）理想流体稳定流动总流的柏努利方程第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

—单位重量流体具有的位能，m流体柱；

—单位重量流体具有的静压能，m流体柱；

—单位重量流体具有的动能，m流体柱。（1）（2）（3）对于式（3）：第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.5.3柏努利方程式的解释

柏努利方程式中各项分别表示微细流中某一截面上单位重量流体所具有的的静压能、位能、动能。

它们的和是一常数。柏努利方程是机械能守恒定律在流体力学中的具体体现。(1)物理意义第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

(2)几何意义图示能量分布图：

为单位重量流体所具有的动能，又称速度压头或动压头，是单位重量流体的动能所产生的流体柱的高度。其中：z为单位重量流体所具有的位能，又称几何压头或位压头；为单位重量流体所具有的静压能，又称静压头，是单位重量流体的压力能产生的流体柱的高度；第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

(3)柏努利方程还说明机械能是可以相互转化的。1-1截面→2-2截面z2<z1则第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期日柏努利方程的应用条件：1）单流体，z轴的方向向上为正；2）截面选择在缓变截面上；3）流体为理想流体；4）流体为稳定流动；5）流体为不压缩性流体；6）流体只受到重力作用。第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期日1.3.6实际流体（粘性流体）的柏努利方程式

实际流体都具有粘性，使得流体流动时需要消耗一部分机械能，以克服由于粘性而产生的切向阻力。因而在各截面上单位重量流体的能量便不能保持一定，所以对于粘性流体的微细流：第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

式中的hw是为克服截面1－1与2－2之间的阻力，单位重量的流体所消耗的机械能，称为压头损失。

对于不可压缩的粘性流体的微细流，作稳定流动时其柏努利方程式应改写成为：1.3.6.1微细流第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：1.3.6.2总流

对于圆形管道中的稳定缓变流：

层流时＝2；湍流时＝1.05～1.10；通常工程上取=1为截面的平均流速；为动能修正系数，通常由实验确定。

式中：所以：第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期日

如果管道中装设有对流体作功的机械，能够使管道中的流体的机械能增加。如果单位重量的流体所获得的外加有效机械能为HeJ/m或m，则柏努利方程式可写为：第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期日柏努利方程的三种形式：——以单位重量流体为基准，单位为m流体柱或J/N。——以单位质量流体为基准，单位为m2/s2或J/kg。——以单位体积流体为基准，单位为Pa或J/m3。第四十页，共四十五页，编辑于20