2023年黑龙江省哈尔滨市松北区数学八年级第二学期期末综合测试试题含解析

2022-2023学年八下数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在中，，分别为，的中点，若，则的长为A．3 B．4 C．5 D．62．把边长为3的正方形绕点A顺时针旋转45°得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（）A．6 B． C． D．3．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（）A． B．2020 C．2019 D．20184．2019年6月7日是端午节，某幼儿园对全体小朋友爱吃哪种粽子做调查，以决定最终买哪种口味的粽子.下面的调查数据最值得关注的是（）A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差5．要反映台州市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（）A．条形统计图 B．扇形统计图C．折线统计图 D．频数分布统计图6．已知等腰三角形有两条边的长分别是3,7,则这个等腰三角形的周长为()A．17 B．13 C．17或13 D．107．如图是自动测温仪记录的图象，它反映了武汉的冬季某天气温随时间的变化而变化的情况，下列说法错误的是（）A．这一天凌晨4时气温最低B．这一天14时气温最高C．从4时至14时气温呈上升状态（即气温随时间增长而上升）D．这一天气温呈先上升后下降的趋势8．如果在一组数据中，23、25、28、22出现的次数依次为2、5、3、4次，并且没有其他的数据，则这组数据的众数和中位数分别是（）A．24、25 B．25、24 C．25、25 D．23、259．如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=2，BC=3，DE=l.6，则EF=（）A．2.4 B．1.8 C．2.6 D．2.810．如图所示是4×5的方格纸，请在其中选取一个白色的方格并涂黑，使图中阴影部分是一个轴对称图形，这样的涂法有()A．4种 B．3种 C．2种 D．1种11．到三角形三条边的距离相等的点是三角形（）的交点.A．三条中线 B．三条角平分线 C．三条高 D．三条边的垂直平分线12．下列二次根式中，属于最简二次根式的是A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．若直线y＝kx+b与直线y＝2x平行，且与y轴相交于点（0，﹣3），则直线的函数表达式是_________．14．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为_____________．15．如图，正方形的对角线与相交于点，正方形绕点旋转，直线与直线相交于点，若，则的值是____．16．如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式_____.17．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击12次，他们的平均成绩各为8环，12次射击成绩的方差分别是：S甲＝3，S乙＝2.5，成绩较为稳定的是__________．（填“甲”或“乙”）18．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，…，依次进行下去，则点的坐标为______，点的坐标为______.三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在中，的角平分线交于点，交的延长线于点，连接.(1)请判断的形状，并说明理由；(2)已知，，求的面积.20．（8分）为保护环境，我市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆．若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在某线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？（3）在（2）的条件下，哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少万元？21．（8分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在D'处，C'D'交AE于点M.若AB=6，22．（10分）张老师打算在小明和小白两位同学之间选一位同学参加数学竞赛，他收集了小明、小白近期10次数学考试成绩，并绘制了折线统计图(如图所示)项目众数中位数平均数方差最高分小明8585小白70，10085100(1)根据折线统计图，张老师绘制了不完整的统计表，请你补充完整统计表；(2)你认为张老师会选择哪位同学参加比赛？并说明你的理由23．（10分）如图，已知∠BAC=60°,∠B=80°,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E.(1)求∠BAD的度数；(2)若AB=10,BC=12,求△ABD的周长.24．（10分）已知：如图，过矩形的顶点作，交的延长线于点求证：若°，求的周长．25．（12分）如图，在中，点是边的一个动点，过点作，交的平分线于点，交的外角平分线于点，（1）求证：；（2）当点位于边的什么位置时四边形是矩形？并说明理由.26．（感知）如图①在等边△ABC和等边△ADE中，连接BD，CE，易证：△ABD≌△ACE；（探究）如图②△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，求证：△ABD∽△ACE；（应用）如图③，点A的坐标为（0，6），AB=BO，∠ABO=120°，点C在x轴上运动，在坐标平面内作点D，使AD=CD，∠ADC=120°，连结OD，则OD的最小值为．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【解析】

根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，把DE的值代入即可．【详解】，分别为，的中点，，故选：．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．2、B【解析】

由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．【详解】连接BC′，∵旋转角∠BAB′=45∘,∠BAD′=45°，∴B在对角线AC′上，∵B′C′=AB′=3，在Rt△AB′C′中,AC′==3，∴BC′=3−3，在等腰Rt△OBC′中,OB=BC′=3−3，在直角三角形OBC′中,OC′=(3−3)=6−3，∴OD′=3−OC′=3−3，∴四边形ABOD′的周长是：2AD′+OB+OD′=6+3−3+3−3=6.故选：B.【点睛】此题考查正方形的性质，旋转的性质，解题关键在于利用勾股定理的知识求出BC′的长3、B【解析】

对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=1．【详解】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1，所以at2+bt-1=0，而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，则x-1=2019，解得x=1，所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4、A【解析】

幼儿园最值得关注的应该是哪种粽子爱吃的人数最多，即众数．【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故幼儿园最值得关注的应该是统计调查数据的众数．故选A．【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．5、C【解析】根据题意，得要求直观反映长沙市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．故选C.6、A【解析】

分3是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为7、3、3，3+3=6＜7，不能组成三角形；②3是底边长时，三角形的三边分别为7、7、3，能组成三角形，周长=7+7+3=17，综上所述，这个等腰三角形的周长是17，故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．7、D【解析】

根据气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．【详解】解：A．这一天凌晨4时气温最低为-3℃，故本选项正确；B．这一天14时气温最高为8℃，故本选项正确；C．从4时至14时气温呈上升状态，故本选项正确；D．这一天气温呈先下降，再上升，最后下降的趋势，故本选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．8、C【解析】

中位数:一组数据按从大到小(或从小到大)的顺序排列,处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数),叫做这组数据的中位数.众数:一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.【详解】已知可知这组数据中出现次数最多的是25,次数为5,所以这组数据的众数是25.由于2+5+3+4=14,因此中位数等于将这组数据按从小到大的顺序排列后中间两数的平均数,而这组数据从小到大排列后位于第7、8位的数都是25.故这组数据的中位数为25.故选C.【点睛】此题考查中位数和众数的概念，解题关键在于掌握其概念.9、A【解析】

根据平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例性质可求出EF的长．【详解】解：∵a∥b∥c，∴，即，∴EF=2.1．故选：A．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10、B【解析】

结合图象根据轴对称图形的概念求解即可．【详解】根据轴对称图形的概念可知，一共有3种涂法，如下图所示：．故选B．【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．11、B【解析】

到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心．【详解】解：到三角形三条边距离相等的点是三角形的内心，即三个内角平分线的交点．

故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．12、A【解析】

最简二次根式满足的条件是:被开方数不含能开方的因数或因式;被开方数不能是小数或分数;分母中不能出现二次根式.【详解】根据最简二次根式满足的条件可得:是最简二次根式,故选A.【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义,解决本题的关键是要熟练掌握满足最简二次根式的条件.二、填空题（每题4分，共24分）13、y＝2x﹣1．【解析】

根据两条直线平行问题得到k＝2，然后把点（0，﹣1）代入y＝2x+b可求出b的值，从而可确定所求直线解析式．【详解】∵直线y＝kx+b与直线y＝2x平行，∴k＝2，把点（0，﹣1）代入y＝2x+b得b＝﹣1，∴所求直线解析式为y＝2x﹣1．故答案为：y＝2x﹣1．【点睛】考查了待定系数法求函数解析式以及两条直线相交或平行问题，解题时注意：若直线y＝k1x+b1与直线y＝k2x+b2平行，则k1＝k2．14、1．【解析】试题分析：在□ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD，BD的中点，所以EF是△DAB的中位线，因为EF＝3，所以AB=1，所以DC=1.考点：中位线和平行四边形的性质点评：该题较为简单，主要考查学生对三角形中位线的性质和平行四边形性质的掌握程度．15、【解析】

如图，设EF交AB于M，EH交BC于N，PF交EH于O，作PT⊥AD于T交BC于R．首先证明∠CPB＝90°，求出DT，PT即可解决问题．【详解】解：如图，设EF交AB于M，EH交BC于N，PF交EH于O，作PT⊥AD于T交BC于R．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AE＝EB，∠EAM＝∠EBN＝45°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠MEN＝∠AEB＝90°，∴∠AEM＝∠BEN，∴△AEM≌△BEN（ASA），∴AM＝BN，EM＝EN，∠AME＝∠BNE，∵AB＝BC，EF＝EH，∴FM＝NH，BM＝CN，∵∠FMB＝∠AME，∠CNH＝∠BNE，∴∠FMB＝∠CNH，∴△FMB≌△HNC（SAS），∴∠MFB＝∠NHC，∵∠EFO＋∠EOF＝90°，∠EOF＝∠POH，∴∠POH＋∠PHO＝90°，∴∠OPH＝∠BPC＝90°，∵∠DBP＝75°，∠DBC＝45°，∴∠CBP＝30°，∵BC＝AB＝2，∴PB＝BC•cos30°＝，PR＝PB＝，RC＝PR•tan30°＝，∵∠RTD＝∠TDC＝∠DCR＝90°，∴四边形TDCR是矩形，∴TD＝CR＝，TR＝CD＝AB＝2，在Rt△PDT中，PD2＝DT2＋PT2＝，故答案为.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转变换，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．16、1【解析】

由于m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，可知m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根．则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，利用它们可以化简，然后就可以求出所求的代数式的值．【详解】解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，又n2=n+3，则2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+6-mn+2m+2015=2（m+n）-mn+2021=2×1-（-3）+2021=2+3+2021=1．故答案为：1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值．17、乙【解析】

根据方差的意义，比较所给的两个方差的大小即可得出结论.【详解】∵，乙的方差小，∴本题中成绩较为稳定的是乙，故填乙.【点睛】本题考查方差在实际中的应用.方差反应一组数据的稳定程度，方差越大这组数据越不稳定，方差越小，说明这组数据越稳定.18、(16,32)(−21009,−21010).【解析】

根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合2019=504×4+3即可找出点A2019的坐标．【详解】当x=1时，y=2，∴点A1的坐标为(1,2)；当y=−x=2时，x=−2，∴点A2的坐标为(−2,2)；同理可得：A3(−2,−4),A4(4,−4),A5(4,8),A6(−8,8),A7(−8,−16),A8(16,−16),A9(16,32)，…，∴A4n+1(22n,22n+1),A4n+2(−22n+1,22n+1)，A4n+3(−22n+1,−22n+2),A4n+4(22n+2,−22n+2)(n为自然数).∵2019=504×4+3，∴点A2019的坐标为(−2504×2+1,−2504×2+2),即(−21009,−21010).故答案为(16,32),(−21009,−21010).【点睛】此题主要考查一次函数与几何规律探索，解题的关键是根据题意得到坐标的变化规律.三、解答题（共78分）19、(1)是等腰三角形，理由见解析；(2)．【解析】

（1）根据平行四边形的性质证得∠F=∠DAF，从而得到结论；

（2）利用S平行四边形ABCD=2S△ADE求解即可．【详解】(1)是等腰三角形，利用如下：∵四边形为平行四边形，∴．∴．∵平分，∴．∴．∴．即是等腰三角形(2)∵在等腰中，，∴．∴在中，∴∴∴．【点睛】考查了平行四边形的性质及解直角三角形的知识，体现了转化的数学思想．20、（1）购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆；（3）购买A型公交车8辆，B型公交车2辆费用最少，最少费用为1100万元．【解析】

详解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得x+2y＝解得x＝答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10-a）辆，由题意得100a+15010-a解得：6≤a≤8，因为a是整数，所以a=6，7，8；则（10-a）=4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，B型公交车4辆；②购买A型公交车7辆，B型公交车3辆；③购买A型公交车8辆，B型公交车2辆．（3）①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4=1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3=1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2=1100万元；故购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点睛】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．21、AM=9【解析】

先根据勾股定理求出BF，再根据△AMC′∽△BC′F求出AM即可．【详解】解：根据折叠的性质可知，FC=FC′，∠C=∠FC′M=90°，设BF=x，则FC=FC′=9-x，∵BF2+BC′2=FC′2，∴x2+32=（9-x）2，解得：x=4，即BF=4，∵∠FC′M=90°，∴∠AC′M+∠BC′F=90°，又∵∠BFC′+BC′F=90°，∴∠AC′M=∠BFC′，∵∠A=∠B=90°，∴△AMC′∽△BC′F，∴A∵BC′=AC′=3，∴AM=94【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，能够发现△AMC′∽△BC′F是解决问题的关键．22、(1)90,90,100;85,145;(2)选择小明同学,理由见解析.【解析】

（1）先根据折线统计图得出两人的成绩，再根据众数、中位数、平均数和方差的定义计算可得；（2）根据众数、中位数、平均数和方差的意义解答，合理即可得．【详解】.解：（1）小明同学的成绩为：70、70、80、80、90、90、90、90、90、100，所以小明成绩的众数为90、中位数为90、最高分为100；小白同学的成绩为：70、70、70、80、80、90、90、100、100、100，所以小白同学成绩的平均数为＝85，则方差为×[3×（70﹣85）2+2×（80﹣85）2+2×（90﹣85）2+3×（100﹣85）2]＝145，补全表格如下：项目众数中位数平均数方差最高分小明90908585100小白70，1008585145100（2）选择小明同学，∵小明、小白的平均成绩相同，而小明成绩的方差较小，发挥比较稳定，∴选择小明同学参加比赛．【点睛】此题主要考查了方差的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．23、（1）20°；（2）22.【解析】试题分析：（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可；（2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算．解：(1)∵∠BAC=60°,∠B=80°,∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°,∵DE垂直平分AC,∴DA=DC.∴∠DAC=∠C=40°,∴∠BAD=60°-40°=20°.（2）∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22，∴△ABD的周长为22.24、（1）详见解析；（2）【解析】

（1）根据矩形的性质可证明四边形为平行四边形，继而得出，即可证明结论；（2）根据直角三角形的性质计算得出AB、AC的值，即可得出的周长．【详解】解：证明：四边形为矩形．四边形为平行四边形由得又，，．【点睛】本题考查的知识点是矩形的性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解此题的关键是灵活运用矩形的性质、平行四边形的性质．25、（1）见解析；（2）当点位于的中点时，四边形是矩形，见解析.【解析】

（1）由于CE平分∠ACB，MN∥BC，故∠BCE=∠OEC=∠OCE，OE=OC，同理可得OC=OF，故0C=;（2）根据平行四边形的判定定理可知，当OA=OC时，四边形AECF是平行四边形．由于CE、CF分别是∠ECO