陈培武-光学膜系的最优化设计及其算法

PAGEPAGE1中山大学硕士学位论文光学膜系的最优化设计及其算法AlgorithmsforOptimalDesignofOpticalCoatings专业：计算机技术作者：陈培武导师：李磊教授论文答辩委员会（签名）主席：委员：二○○五年五月光学膜系的最优化设计及其算法计算机技术硕士生：陈培武指导教师：李磊教授摘要光学膜系不仅是现代光学仪器与光子学器件的重要组成部分，而且在光通信尤其是波分复用光通信系统中有重要应用。本论文研究光学膜系的最优化设计及其算法，主要包括以下内容与结果：1．研究了经典最优化方法中的单纯形方法在光学膜系优化设计上的应用，并计算了具有5层光学薄膜的近红外波段高反膜系以及相当于一个短波通干涉截止滤光器的具有17层光学薄膜的红膜系的优化问题。数值计算结果表明，单纯形最优化方法不仅适用于光学膜系的优化设计问题，且对初始参数的要求并不很苛刻，即使在初始膜系的光谱性质与设计目标相差颇远时仍能得到较好结果。2．在标准遗传算法的基础上提出以实数编码的整体模拟退火遗传算法，并实现了其计算机程序。该算法同时具有实数编码的简易性与整体模拟退火遗传算法的全局快速收敛性等优点，是求解全局最优化问题的一种有效方法。以该算法成功优化了在波长400～1100nm范围内高透的一个光学膜系，验证了其对于光学膜系优化设计问题的有效性。3．实现了以Needle方法自动合成设计光学膜系的计算机程序，并从简单的膜系结构出发，合成设计了在可见光波长范围内减反的一个光学膜系，证明了该方法及其程序的有效性；讨论了Needle方法的优越性与局限性及其改进方法。本论文所研究的算法与所实现的计算机程序，有助于在理论上研究和优化设计光学膜系从而为在实验上制备和应用光学膜系提供依据。关键词:最优化设计、光学膜系、单纯形方法、遗传算法、Needle方法、计算机程序、光通信、波分复用、滤光器。参考文献…………………(58)附录A单纯形方法优化光学膜系程序……………(61)附录B：实数编码整体模拟退火遗传算法优化光学膜系程序…(68)附录C：Needle方法自动合成设计光学膜系程序………………(72)致谢………………………(80)原创性声明………………(81)第1章引言1.1光通信的发展现状随着计算机技术的广泛应用与互联网的高速发展，从传统文档的存取与传递、工业自动化与CAD/CAM的推广、医用图像的检索、传媒与娱乐业的多媒体文件处理和传递、电子商务的日益普及，乃至军事信息技术的应用等等，都需要通过通用或专线通信网络来快速传输数据，特别是传输包含图像数据的多媒体文件所要求的带宽比传统的语音传输要大得多，因此对通信网络的带宽、可靠性和抗干扰性都提出了越来越高的要求，而网络通信技术的发展反过来又促使世界通信业发生了重大的变革。据统计，语音传输的发展速率大概是年增长率3％～5％，而数据传输的年增长速率则高至30％～50％。目前发展最快、应用最广的通信网络技术是光纤网络技术，它可以提供低价格、高带宽的网络服务以满足互联网数据传输的要求。现在，数据通信量的增长已超过了主干网容量的增长，许多主干网建设商的光缆利用率几乎达到100％[1]。光纤技术应用于通信已经过了近30年的发展历史，迄今已有第四代光纤通信网投入使用。与传统的电缆、无线电等通信介质或方式相比，光纤传输具有信息容量大、中继距离长、不受电磁干扰、保密性能好和使用轻便等明显的优点。可通过粗略估算单根光纤的带宽看出光通信与传统的电通信的巨大差异：当光纤去除掉波长1.385m处水中OH根离子的吸收峰后，从1.260～1.625m波长范围内共有365nm带宽的资源，按对应频率宽度10％估算，单根光纤大致有50THz的带宽，假定50THz带宽可以提供1000个波长的信道，每个波长带宽为40GB/s，则每根光纤总带宽可高达40TB/s。显然，这是传统的电通信所远远无法达到的。光纤传输为解决通信带宽瓶颈问题提供了出路。随着其制造技术的进步，光纤与其它光学器件的价格逐年下降，应用范围也不断扩展。光纤传输不仅在高速率、长距离的骨干网上得到了广泛应用，而且在终端用户接入网方面的应用也逐年扩大[2]。光纤通信产业方兴未艾，其旺盛的生命力令人振奋。但是，随着网络通信量的急速增长，连接网络的光纤的传输容量也随着急剧暴涨。面对带宽要求的不断提高，如何在一根光纤上传输更大的带宽是需要迫切解决的问题。解决办法之一是提高字节传输率。应用“时分复用(TimeDivisionMultiplex，略为TDM)技术”，目前已达到的字节传输率为2.5GB/s(OC-48)与10GB/s(OC-192)，最新的进展是40GB/s(OC-768)。但是，随着速度的提高，电子线路的复杂程度、投资费用以及维护费用也相应增长。同时，还存在光纤色散、偏振色散以及非线性效应等光学现象的限制。尽管时分复用技术是提高字节传输率的有效方法，但它也明显存在缺点：由于是分时地提取每个信道的信号，即使某一路没有信号变化也要等待，因而效率不高。虽然这已通过异步传输模式(AsynchronousTransferMode，略为ATM)得到一定程度的改进，但是ATM的速度照样也受到电子速度的限制[3]。提高光纤传输带宽的另一种效率更高的方法为“波分复用(WavelengthDivisionMultiplex，略为WDM)技术”，是通过在一根光纤内传输不同波长的信号而实现带宽的提高的。应用WDM技术后，可以提高带宽至少16～32倍。WDM技术的典型情形是在同一根光纤内传输40个不同波长(最高可达到128～160个波长)的信号[4]。1.2波分复用技术波分复用(WDM)技术的基本思路是，在一根光纤上同时传输多个光源信号，而这些信号的发送波长是适当错开的，以此达到增大光纤通信系统的信息传输容量的目的。二十世纪八十年代末期，早期的波分复用技术采用1.310m和1.550m两个波长(或0.850m和1.310m)进行波分复用(WidebandWDM)。九十年代早期实现了2～8个波长的波分复用(NarrowbandWDM)，其波长间隔现在在1.550m窗口处大概是400GHz。九十年代中期，密集波分复用(DenseWDM，即DWDM)系统可传输16～40个波长，信号间隔为100～200GHz。至九十年代末期，波长信道更增加到64～160个，信号间隔达到50GHz甚至是25GHz[4]。图1-1是骨干网中波分复用系统的简要示意图[5]。通过串置不同中心波长的单通道滤光片，可以在WDM系统的解复用端(WDMDemux)，将同一条光纤中的不同的波长从其所对应的通道中输出。根据光路可逆性原理，单通道滤光片的串置结构也可实现在复用端(WDMMux)把不同波长耦合进同一条光纤。WDM中的分波、合波过程如图1-2所示[6]。图1-1图1-1波分复用WDM系统示意图图1-2图1-2波分复用WDM的分波与合波示意图为提高信息系统的数据传输量，降低系统成本，节约光纤的铺设投资和设备，近年来新发展的波分复用技术，使光通信系统向二维的方向发展，这种新的WDM技术又称单纤多端(双向)技术，即在同一根光纤内传输不同频率的上行与下行光波。图1-3为一个单纤双向WDM系统的结构示意图[7]，其中，上行信号利用1.310m光载波，下行信号使用1.550m光载波。光通信网络的未来发展趋势是全光网络。全光网络是指用户与用户之间的信号传输和交换过程全部采用光技术，即数据从源节点至目的节点的传输过程都是在光域内进行的。在全光网络中，无需对信号进行电处理，因此允许存在各种不同的协议和编码形式，信号的传输具有透明性。全光网络还具有大带宽、高可靠性与低成本等显著优势。全光网络的核心技术是密集波分复用(DWDM)、光交叉连接(OXC)与光分插复用(OADM)技术[8]。图1-3图1-3波分单纤双向WDM系统结构示意图1.3光学薄膜型波分复用器件在WDM网络中，实现分波、合波、耦合、分路和光分插等功能的器件主要有光纤布拉格光栅(FiberBraggGrating)、阵列波导光栅(ArrayWaveGuide)以及薄膜滤光片(ThinFilmFilter)等三种[9]。其中，光纤Bragg光栅具有滤波形状良好的优点，当使用带通滤波器时具有高隔绝、低插损等良好的光学特性，而且投资成本低，但需要光环型器或马赫-曾特尔(Mach-Zehnder)干涉仪，不适合于宽频带的应用，成本上受限于频道数；阵列波导光栅具有发展高密度频道间隔的短制作时间、高频道数及大小压缩的相对低插损、整合其他功能的潜力以及成本上不受限于频道数等优点，但其滤波形状差、非相邻频道杂讯高、易受温度影响以及投资成本高等缺点；薄膜滤光片具有频道数与不规则波长的可选择弹性，具有高隔绝、低插损与良好的偏振效应等光学特性，温度稳定性好，是宽频带应用的唯一选择，但需要较长的时间发展以需要高密度频道间隔的滤波器，成本也取决于频道数。目前，在WDM网络中真正大量使用的是光学介质薄膜型器件。这主要是因为薄膜滤光片本身具有良好的光学性能、较高的稳定性以及低廉的生产成本等优点。介质薄膜滤波器型WDM器件是由介质薄膜滤光片与微光学元件以及尾纤组装在一起构成的，其核心部件是介质薄膜滤光片，后者的作用是允许一个特定通道波长的光波透过而同时反射其他波长的光波。这种器件一般具有很好的温度稳定性(温度系数<0.002nm/℃)，对偏振特性不敏感，且插入损耗低[10]。基于薄膜滤光片的光学器件的用途包括多信道复用与解复用器以及光分插复用器上的应用，导引和处理光信号，以及在增益平坦、频带分割、C通道和L通道的分离以及泵浦光的合波等方面的广泛应用。光学薄膜元器件由于可很好地解决中心波长漂移的问题，插损小、封装易、隔离度高，以及性能价格比优越，已广泛应用于光通信领域，尤其是在100GHz与200GHz密集波分复用系统市场。现在，光通信的分波、合波、光放大、色散和非线性克服技术、节点技术(即光OXC与OADM技术)、网络监测，以及控制和管理技术等均已离不开光学薄膜技术[11]。而且，利用光学薄膜技术可以极大改善用于光通信的一些光无源器件的性能，如自聚焦透镜、薄膜起偏分束器、热扩束光纤光隔离器，以及光纤尾纤、光纤耦合透镜、光隔离器、位相延迟片与用于光环形器的小尺寸偏振分光棱镜等等的镀膜。另外值得一提的是，在最近发展起来的应用于城域网的粗波分复用(CWDM,CoarseWDM)网络与应用于骨干网的密集波分复用(DWDM)网络中，薄膜滤光片技术是迄今唯一的具有实用价值的选择。1.4光学薄膜技术1.4.1光学薄膜的发展历史与研究现状光学薄膜是现代光学仪器与光学器件的重要组成部分，通过在各种光学材料的表面镀制一层或多层薄膜，利用光的干涉效应来改变透射光或反射光的光强、偏振状态和相位变化。光学薄膜可以镀制在光学塑料、光纤、光学玻璃和晶体等各种材料表面，其厚度一般为几个nm(109m)到几十甚至上百个m(106m)。光学薄膜的牢固性、光学稳定性都可达到相当好的程度，其成本又比较低廉。由于是镀制于光学材料的表面，光学薄膜几乎不增加材料的体积和重量，因此是改变光学仪器与器件的光学性质的首选方法，甚至可以说没有光学薄膜就没有现代的各种光学仪器和光学器件。在200多年的发展过程中，在光学薄膜方面已形成了一套完整的理论，即薄膜光学；同时，也发展了自成体系的膜系设计方法，设计并制造了各类光学薄膜。光学薄膜从功能上可分为减反膜、分光膜、高反膜、截止滤光片和带通滤光片等；从薄膜性质上可分为均匀介质薄膜和非均匀介质薄膜；从应用波段上可分为X射线薄膜、紫外薄膜、可见光薄膜和红外薄膜等等。光学薄膜概念最早萌芽于十七世纪“牛顿(Newton)环”的发现[12]，1801年的“杨(Young)氏干涉”实验圆满解释了光学薄膜现象。自1899年以来，法布里-珀罗(Fabry-Perot)标准具一直是带通滤光片的基本结构形式。麦克斯韦(Maxwell)出版于1873年的巨著《电磁通论[13]，从理论上和本质上证明了光是电磁波，为波动光学的发展，也为薄膜光学的发展奠定了理论基础。从二十世纪四十年代开始，薄膜光学进入全面发展时期，各种薄膜光学理论和膜系计算方法相继提出。六十年代以后，随着激光技术、光谱学技术和空间技术等的飞速发展，对光学薄膜提出了更高的要求。同时，电子计算机与计算科学的应用，使光学薄膜的计算与分析有了锐利的工具，因此推动了光学薄膜的飞速发展。进入九十年代，光通信技术的迅猛发展与产业化，对光学薄膜的发展起了很大的推动作用，对光学薄膜的设计与制备也提出了越来越高的要求。比如波分复用中的带通滤光片，通带的宽度对一个100GHz的滤光片而言仅0.4nm左右，并且矩形滤波要求颇高，同时也对通带内的群延(GroupDelay)提出了一定的要求。掺铒光纤放大器的增益补偿滤光片要求在C波段40nm左右的范围内须达到一特定的透过率曲线，这也是光学薄膜从未遇到过的要求。在数据传输率提高时，比如达到40GB/s时，色散补偿滤光片的性能显得非常关键。由于高频激光产生的超短脉冲在光学薄膜中引起的瞬态效应，需要新的光学薄膜设计方法，因为此时要求光学薄膜能够提高脉冲的矩形度甚至使得脉冲的频率更高[14]。总的说，就是要求对膜系光学特性的波长定位更为准确，比如达到1nm甚至0.1nm以下，同时也要求薄膜的厚度越来越大，比如一个50GHz的波分复用滤光片，需要做到光学厚度60m以上，而放大器增益补偿滤光片的光学厚度也可达到30～40m。在光学仪器(器件)和光电设备中，光学薄膜技术是不可缺少的关键技术。在光通信技术中，光学薄膜在改进光链路的耦合效率、补偿器件的色散、减少器件的插入损耗等方面起着重要作用，是波分复用等器件的核心技术。迅猛发展的光通信产业的技术需求，对光学薄膜的设计、制备与测试等方面提出了新挑战。1.4.2光学薄膜设计方法的发展研究与设计光学薄膜的理论基础是经典电磁场理论。为了便于计算光学薄膜的性质，通常采用特征导纳矩阵方法[15]，其具体计算过程详见本论文第2章。为使其能实现所指定的功能，光学薄膜系统一般须由折射率不同、几何厚度有严格要求的多层光介质薄膜组成。光学薄膜系的特性计算是一个相对简单的问题，只要给定每一层膜的参数(包括折射率和几何厚度)，便可以很方便地求出薄膜系在每一特定入射角和波长条件下的透过率、反射率等性质。光学膜系的设计是上述计算的逆问题，即根据预定的光谱特性要求，反过来求取组成膜系的每一层薄膜应该选取的折射率和厚度。这一逆问题要比正问题复杂得多，其一是由于可用于光学薄膜制备的材料有限，因而对折射率参数的选择就非常有限；其二由于每一多层膜系统往往是由十多层甚至几十层薄膜所组成的，自变量的数目太多，导致计算量很大，复杂程度很高。最初采用解析法设计光学膜系，主要是应用矢量作图法、等效界面法[16]、虚设层法、车比雪夫(Chebyshev)多项式法[17]、对称膜系的等效折射率法[18]、势透射率诱导[19]和导纳图解法[20]等基本的分析手段，对传统的减反射膜、分束镜、高反射镜、干涉截止滤光片、带通滤光片等膜系进行具体的分析和试探，从而设计出符合要求的薄系。这些方法针对性强、效果也比较理想。光学膜系的设计作为一个优化问题来处理，最早是由Baumeister在1958年提出的[21]。二十世纪七十年代以后，随着计算机技术的迅猛发展以及迅速发展起来的各种数值优化方法的应用，光学薄膜的计算机辅助优化设计越来越受到重视，直至现在已成为最广泛应用的膜系设计方法。一般而言，光学薄膜的计算机辅助设计方法可以分为“精炼(Refinement)”法与“合成(Synthesis)”两大类。从一个或一组初始结构出发，运用各种优化方法进行搜索，对各膜层的折射率和厚度进行优化，从而达到最优解。这即是所谓的“精炼”法，优化问题的大多数经典方法都属于此类，在这类方法中，一般不改变膜系的层数，而只是改变每膜层的参数。相反，在所谓的“合成”法中，不需要问题的初始解，而是以某种方式逐渐增加膜层数，即对膜系进行自动“合成”，使膜系的光学性质达到预定要求。我们在第5章中将介绍的“缝衣针(Needle)”方法便是膜系设计中典型的“合成”方法。实际上，尽管各有长短之处，任何一种数值优化方法都可以应用于光学薄膜的优化设计。模式搜索(Hooke-Jeeves)法、单纯形法、Powell共轭方法、变尺度法(VariableMetrics)等各种局部优化方法[22]都曾被广泛应用于膜系设计。随着各种全局优化方法的发展，已开始有统计试验法[23]、模拟退火法[24]、遗传算法[25]、进化算法[26]、拉丁方格(LatinSquare)[27]等各种比较新颖的方法成功应用于膜系设计。光学薄膜的计算机辅助优化设计方法的发展总是与光学薄膜制备技术的发展相辅相成的，在理论上优化得到的薄系结构往往是非/4(四分之一波长)形式的不规整结构，在工艺技术上需要发展相应的监控技术才能实现制备，而在制备监控过程本身之中如何减小误差也需以优化方法进行分析。因此，今后光学膜系设计的发展趋势可能是一边制备一边优化的一种实时控制系统。1.5本论文的研究目的与内容鉴于光学膜系设计在光通信尤其是波分复用光通信网络技术中的重要意义，我们开展了光学膜系优化设计方面的研究，具体内容包括：(1)研究光学膜系设计中若干有代表性的方法的算法，包括“精练”法中典型的最优化方法，单纯形方法与整体模拟退火遗传算法，以及“合成”法中典型的Needle方法，前者属于典型的求解最优化问题的局域最优解的数值方法，后二者属于可得到全局最优解的数值方法；(2)对上述所研究的各算法实现程序化；(3)为验证所实现的计算机程序，以实际应用和制备工艺现状为背景，对若干种光学膜系进行优化设计。在本学位论文中，第2章主要介绍计算光学膜系性质的方法以及优化设计光学膜系的基本原理；第3章研究单纯形最优化方法在光学膜系优化设计中的应用；在第4章中，我们在标准的遗传算法的基础上提出一种新的遗传算法，即基于实数编码的整体模拟退火遗传算法，并应用于膜系优化设计；在第5章中，对最近新提出的设计膜系的Needle方法进行程序化，并将其应用于实际的膜系优化设计；第6章为简要的总结与展望。第2章光学膜系最优化设计的基本原理2.1膜系的光学性质及其计算方法计算光学膜系的光学性质是优化设计光学膜系的基础。光学膜系的光学性质描述了膜系中电磁波的传播特性，主要包括膜系对电磁波的反射系数(或反射率)、透射系数(或透射率)以及反射与透射电磁波的相位变化等。光本质上是电磁波，研究膜系的光学性质的物理学理论基础是经典电磁理论[15]。2.1.1介质中的电磁波在经典电磁理论中，Maxwell方程组描述电磁波在介质中的传播。在Gauss单位制下，Maxwell方程组可表达为[28]：(2-1a)(2-1b)(2-1c)(2-1d)其中，c为真空中电磁波的传播速率，E为电场强度矢量，H为磁场强度矢量，D为电感应强度(电位移)矢量，B为磁感应强度矢量，为空间自由电荷密度，J为传输电流密度矢量，Jc为位移电流密度矢量，(2-2)同时，在介质中有物质本构方程：(2-3a)(2-3b)(2-3c)其中,与分别为介质的介电常数、磁导率与电导率。在各向同性均匀介质中，,与均为常数。若假设介质为不带电荷的各向同性均匀介质(在光学薄膜中通常如此)，此时，，，，且方程(2-1c)和(2-1d)可得到电场强度E的波动方程：(2-4)上述波动方程有如下平面波解：(2-5a)同理可得到磁场强度H波动方程的平面波解：(2-5b)式(2-5a)或(2-5a)中，为电磁波圆频率(为频率)，为波矢，为波矢方向(电磁波传播方向)上的单位矢量，N为介质的复折射率(或称光学导纳)。若令，并将式(2-5a)代入方程(2-4)，可得到(2-6)对于不导电介质，，，此时N为实数，且。这时电磁波为正弦(余弦)波：(2-7)对于导电介质，，，此时电磁波为衰减的正弦(余弦)波：(2-8)2.1.2导纳方程由式(2-5a)、(2-1d)、(2-2)与(2-3a)，可得到(2-9)根据矢量旋度与矢量叉积的定义，(2-10)(2-11)同时利用式(2-9)，我们可以得到(2-12)式(2-10)与(2-11)中，()为j坐标轴方向上的单位矢量，与分别为波矢方向单位矢量与磁场强度矢量H在j轴方向上的分量。同理，可以得到(2-13)式(2-12)与(2-13)称为光学导纳方程，在计算光学膜系的光学性质很有用处[15]。2.1.3光波在介质界面上的反射与折射在光学膜系中总存在若干介质界面，膜系的光学性质与光波在各介质界面上的反射和折射规律有关。现考虑光波自复折射率为的介质入射到该介质与另一介质(复折射率为)的界面时的反射和折射过程。图2-1正入射的光波在界面反射与折射示意图N0N1首先讨论光波垂直入射于界面的情形。此时，光波的传播方向垂直于界面，而电场强度矢量E与磁场强度矢量H均平行于截面；在介质中有正向行波(,)与反向行波(,)，在介质中仅有正向行波(,)，如图2-1所示。根据导纳方程(2-13)，有图2-1正入射的光波在界面反射与折射示意图N0N1(2-14a)(2-14b)(2-14c)同时，由于在E与H在切线方向上连续，故有如下边界条件：(2-15a)(2-15b)由式(2-14a)～(2-15b)可得到(2-16)定义反射系数r为反射波振幅与入射波振幅之比，则(2-17)定义透射系数t为透射波振幅与入射波振幅之比，则(2-18)而反射率R与透射率T分别为(2-19)(2-20)其次，讨论光波斜入射于界面的情形。此时，E与H依然在切线方向上连续，但边界条件(2-15a)与(2-15b)不再适用，须考虑入射角以及E与H的极化方向。设E与H的切线分量Et与Ht仍满足如式(2-13)的导纳方程：(2-21)式中称为有效导纳，不仅与导纳N有关，还与入射角以及E与H的极化方向有关。对于E或H，总可以将其分解为入射面内的分量与垂直于入射面的分量。电场极化方向垂直于入射面(此时磁场极化方向在入射面内)的光波称为TE波(横电波)，又称S偏振波或偏振波(如图2-2a所示)；电场极化方向在入射面内(此时磁场极化方向垂直于入射面)的光波称为TM波(横磁波)，又称P偏振波或偏图2-2斜入射TE波(a图2-2斜入射TE波(a)与TM波(b)在界面反射和折射示意图N0N1(a)N0N1(b)若入射光波为TE波，则，(为切线方向上的单位矢量)，相应的导纳方程成为(2-22)其中为对TE波的有效导纳。若入射光波为TM波，则时，，相应的导纳方程成为(2-23)其中为对TM波的有效导纳。无论是TE波还是TM波，均有如下边界条件：(2-24a)(2-24b)与正入射的情形相似，可得到如下反射系数r与透射系数t的表达式：(2-25)(2-26)其中系数(对于TE波)或(对于TM波)。2.1.4光学薄膜的特征矩阵图2-3光波在薄膜中传播示意图N0N1N2现考虑光波在一层薄膜中的传播过程。此时，涉及到3种不同介质和2个介质界面。如图2-3所示，设光波自介质入射到界面S01上，在界面S01上反射与折射，透过界面S01的光波在介质膜层(几何厚度为)内传播，然后在界面图2-3光波在薄膜中传播示意图N0N1N2在入射介质内，电磁场E与H包括了正向行波和反向行波，即，。在介质内，同样有正向行波与反向行波。记在介质内且接近界面S01的正行波为与，接近界面S01的反行波为与；接近界面S12的正行波为与，接近界面S12的反行波为与。在出射介质内，仅有正行波，即，。在界面S01上，有切向分量连续性边界条件：(2-27a)(2-27b)考虑电磁场在介质膜层传播过程中的相位变化，有(2-28a)(2-28b)其中称为相位厚度，称为光学厚度，为波长，为光波在界面S01处的折射角。因此有(2-29)同时，对介质内且接近界面S01的切向波和应用导纳方程，并利用相位关系(2-28a)和(2-28b)以及边界条件(2-27b)，可得到(2-30)上式与式(2-29)可合写成如下矩阵形式：(2-31)在界面S12上，有切向分量连续性边界条件：(2-32a)(2-32b)重复以上相似的步骤，可得到(2-33)(2-34)式(2-33)与式(2-34)写成矩阵形式为(2-35)根据方程(2-31)与(2-35)，可建立入射场与出射场之间的关系：(2-36)矩阵(2-37)称为膜层的特征矩阵，其使电场强度与磁场强度的切向分量在膜层的入射端与出射端之间建立起联系，且仅包含膜层的参数。利用膜层的特征矩阵，可方便地计算膜层的反射系数与透射系数[29]。膜层对光波的反射和折射，可等价地视为一介质界面对光波的反射与折射。因此引入膜层的组合导纳Y，其满足如下导纳方程：(2-38)同时，我们有边界条件，。利用关系(2-36)并应用出射介质中电磁场的切向分量导纳方程，可得到(2-39)其中(2-40)而且(2-41)类似于式(2-25)与(2-26)，我们有膜层的反射系数与透射系数：(2-42)(2-43)其中系数(对于TE波)或(对于TM波)。2.1.5光学膜系的光学性质上述过程可推广到最一般的光学膜系。考虑由m层介质膜与基片所构成的膜系，其中第j层薄膜的复折射率与几何厚度分别为和，基片的复折射率为，图2-4光学膜系结构示意图N1N2NmNgd1d2dm图2-4光学膜系结构示意图N1N2NmNgd1d2dmN0设第j膜层的特征矩阵为，(2-44)其中，，(2-45)(2-46)为在界面的折射角，可由Snell定律求得：(2-47)与得到式(2-39)的过程相似，我们有(2-48)令(2-49)则(2-50)整个膜系的组合导纳为(2-51)反射系数与透射系数分别为(2-52)(2-53)其中系数(2-54)反射率与透射率分别为(2-55)(2-56)而反射或透射光相位变化或分别为复反射系数r与复透射系数t的相角。2.2光学膜系优化设计的基本原理光学膜系的优化设计，是寻找合适(最优)的膜系结构参数使膜系的光学性质尽可能地满足预定的性质的最优化设计过程。以光学膜系的反射光谱为例，说明光学膜系优化设计的基本原理。与其他光学性质一样，膜系的反射光谱与膜系的膜层数m，各膜层的折射率与厚度，以及环境介质和载片介质的折射率和有关，不仅是波长的函数，而且是这些参数的函数。假设环境和载片介质已确定，为使光学膜系在指定的波长范围内具有所要求的反射光谱，必须选择合适的膜系结构参数m,和，使得函数与的取值在波长区间内尽量一致。在实际计算中，对波长区间离散化，因此上述膜系优化设计问题可描述为如下非线性最小二乘问题：(2-57)其中,。在数学上，这是一个维非线性规划问题。推广至更一般的情况：优化膜系的结构，使其n个光学性质分别与n个目标光学性质尽可能地接近，即在数学上求解如下最优化问题：(2-58)其中为目标函数(或称评价函数)，为自变量，和分别为对应于的权重因子和容限。一般而言，上述问题中的目标函数为复杂的非线性函数。在最一般情况下，上述最优化问题是维的不定维问题(膜层数m可变)；若限定膜层数m，则问题成为维问题；若更进一步，指定选择各膜层的介质，则问题成为m问题。在具体的膜系优化设计中，如何定义问题(2-58)中的目标函数对于能否得到理想的结果以及能否提高数值计算的效率至关重要。定义目标函数时引入容限，是为了允许优化后的光学性质相对于目标性质存在一定的偏差。在实际的光学膜系优化设计中，通常取，则目标函数最优值时，所得到的最优光学性质与所要求的有1％的平均偏差[30]。在目标函数中引入权重因子，是因为在实际的膜系设计中对膜系的不同性质或不同波长处的性质有不同程度的精度要求；引入权重因子另一个原因是为了减少计算量、提高计算效率。例如，在设计带通滤波片时，如通带波段很窄而截止波段较宽，此时若对波长等间隔离散化，则可能因截止波段取点过多而导致通带特性的要求被忽略，而通带特性的要求却恰恰是设计的目的，在数值分析中这样得到的最优解却往往是实际上很不理想的结果；当然也可以在通带波段内更密集地取点，但却大大增加了计算量。此时，可通过提高通带波段内的权重而简单地解决问题。2.3关于最优化方法在理论上设计光学膜系的主要过程是以最优化方法求解形如(2-58)的规划问题。如第1章中所述，在光学膜系优化设计领域中，已成功应用或发展了各种最优化方法。由于具体问题的复杂性，迄今任何一种最优化方法都不是普遍适用的。光学膜系优化设计问题的复杂性可概括为两方面：其一，膜系的光学性质是膜系结构参数的非常复杂的非线性函数(这在本章第2.1节中已可看出)，因而最优化问题中的目标函数也是关于膜系结构参数的复杂函数，我们甚至无法写出其函数表达式；其二，在优化设计膜系时，我们通常不严格约束膜系的层数，此时最优化问题的维数以及目标函数是变化的，这可能导致在求解同一问题时同一最优化算法不能自始至终是适用的。由于膜系优化设计问题中目标函数的复杂性，最优化理论中的Newton方法、共轭梯度方法等使用目标函数偏导数的经典的最优化方法[22]并不适合于膜系优化设计问题；经典的最优化方法中，Hooke-Jeeves法、Rosenbrock法、单纯形法和Powell法等不计算目标函数偏导数的直接方法[22]才适用。依然是由于目标函数的复杂性，以经典的最优化方法所得到的结果往往是局域解而不是全局最优解；为得到更理想的优化设计结果，在膜系优化设计领域中已愈来愈多地引入全局最优化方法，近年来逐渐发展与推广应用的统计试验法[23]、模拟退火法[24]、遗传算法[25]、进化算法[26]和拉丁方格(LatinSquare)[27]等全局最优化方法已证明可成功应用于光学膜系的优化设计，尽管理论上这些方法的收敛性证明问题还不是解决得很好。传统的最优化方法一般都是“精炼”法，即从若干个初始解出发，以某种算法得到改进的解，经过有限次迭代，得到在精度范围内的近似最优解。这适用于预先确定膜层数的膜系优化设计问题，但同时也限制了许多可能的膜系设计方案。相反，在所谓的“合成”法中，不需要问题的解的雏形，而是以某种方式逐渐增加膜层数，对膜系进行自动“合成”，使膜系的光学性质达到预定要求，如同我们在第5章中将介绍的Needle方法一样。在本文的第3～5章中，我们将分别应用单纯形方法、遗传算法和Needle方法等若干种具有代表性的方法于光学膜系设计上，各具体方法的原理将分别在相应的各章中进行描述。第3章光学膜系优化设计的单纯形方法单纯形法是求解最优化问题的直接算法之一。单纯形法在原则上是一种局域方法，但具有算法简单、易于程序实现的优点，适用于膜系层数较少的膜系优化设计问题。在本章中，我们应用单纯形方法于膜系优化设计，首先介绍单纯形方法的基本原理、算法与程序流程，最后以实例介绍我们所编制的膜系优化设计的单纯形算法的程序运算结果。3.1单纯形方法的基本原理单纯形(Simplex)方法是一种无约束最优化的直接方法，其基本思想是：在n维空间中给定一单纯形后，求出其个顶点上的目标函数值，比较确定其中有最大函数值的点(最高点)和有最小函数值的点(最低点)，然后经过反射、扩展或压缩等单纯形变换求出一个较好的点以代替最高点，从而构成新的单纯形，或者通过向最低点收缩形成新的单纯形。如此反复，逐渐逼近目标函数的极小点。所谓单纯形，是指n维空间中有个顶点的凸多面体，如一维空间中的线段、二维空间中的三角形、三维空间中的四面体，等等。若单纯形的个顶点中任意二点间的距离相等，则此单纯形称为正规单纯形[22]。以二元函数极小化为例，说明上述单纯形最优化原理。此时，，在二维空间(平面)中取不共线的三点,和以构成初始的单纯形(如图3-1所示)。不失一般性，假设初始单纯形的顶点中最高点与最低点分别为与，即。为实现单纯形的转换，对初始的单纯形作反射变换，即对最高点作关于其余顶点的形心的反射变换，此处便是对点作关于线段之中点(3-1)的反射，可得到反射点(3-2)其中称为反射因子，一般取。图3-1图3-1单纯形变换示意图x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)x(8)(1)若，则方向显然对于目标函数值的减小是有利的，于是沿此方向进行扩展。令(3-3)其中称为扩展因子。此时又有两种可能：①若，则扩展成功，以点替换点，得到以点,和为顶点的新的单纯形；②若，则扩展失败，此时以点替换点，得到以点,和为顶点的新的单纯形。(2)若，即反射点的函数值介于最低点与次高点的函数值之间，则以点替换点，得到以点,和为顶点的新的单纯形。(3)若，即反射点的函数值大于次高点的函数值，则对单纯形进行压缩变换：在点和中选择函数值最小的点，即，令(3-4)其中称为压缩因子，。所得到的压缩点位于点和之间。此时又有两种可能：①若，则以点替换点，得到以点,和为顶点的新的单纯形；②若，则进行压缩，即最低点不变，其余点和均向点移动一半距离，令(3-5)(3-6)得到以点,和为顶点的新的单纯形。以上所有情形中，无论是哪一种情形，所得到的新的单纯形，其必有一个顶点的函数值小于或等于原单纯形任一顶点的函数值。每得到一个新的单纯形后，再重复以上步骤，直至满足收敛准则为止(如图3-2所示)。图3-2图3-2单纯形方法迭代示意图3.2算法与程序流程根据以上所述原理，我们有如下求解n元函数极小值的单纯形最优化方法计算步骤：①给定初始单纯形，其顶点为，反射因子，扩展因子，压缩因子()，允许误差；计算函数值；置迭代序号。②确定最高点,次高点,最低点,其中,使(3-7)(3-8)(3-9)计算除最高点外的n个顶点的形心， (3-10)计算函数值。③作反射变换，令 (3-11)计算函数值。④若，则作扩展变换，令 (3-12)计算，转⑤；若，则置，转⑦；若，则作压缩变换，令 (3-13)其中或，令 (3-14)计算，转⑥。⑤若，则置，，转⑦；否则，置，，转⑦。⑥若，则置，，转⑦；否则，作收缩变换，令, (3-15)计算，转⑦。⑦检验是否达到收敛准则。若 (3-16)则停止计算，现行最佳点可作为极小点的近似；否则，置，返回②。输出结果是开始输入初始参数(膜系层数、各层膜折射率与初始厚度、入射介质与载片折射率、目标光学性质、初始步长、输出结果是开始输入初始参数(膜系层数、各层膜折射率与初始厚度、入射介质与载片折射率、目标光学性质、初始步长、反射因子、扩展因子、压缩因子、允许误差)计算光学性质与优化模型目标函数是否达到允许精度?单纯形优化过程否图3-3单纯形方法优化光学膜系的计算流程图,(3-17)图3-4单纯形优化方法简要流程图退出是单纯形变换过程否构造初始单纯形计算目标函数值构造新单纯形是否达到允许精度?计算目标函数值图3-4单纯形优化方法简要流程图退出是单纯形变换过程否构造初始单纯形计算目标函数值构造新单纯形是否达到允许精度?计算目标函数值3.3计算实例与讨论我们以上述单纯形最优化算法优化了近红外波段(1.000～1.700m)高反膜系以及相当于一个短波通干涉截止滤光器的红膜系(要求在400～650nm波长范围内高透，在650～750nm范围内高反)。优化设计上述膜系时，确定膜系层数以及入射介质、载片介质和各层光学薄膜的折射率，此时优化自变量为各膜层的几何厚度，最优化模型为(3-18)其中，与分别为膜系在波长处的实际反射率与目标反射率，n为离散波长数。此外，假设膜系无吸收，光波为正入射，以及各膜层内在光波传播方向上的折射率均匀分布。3.3.1近红外波段高反膜系的设计设计近红外波段(1.000～1.700m)高反膜系，根据光学基本原理，选择初始膜系结构为AHLHLHG，其中入射介质A为空气(1.00)，载片G为K9玻璃(1.52)，高折射率膜层介质H为碲化砷(4.10),低折射率膜层介质L为冰晶石(1.35)，膜系的初始几何厚度依顺序随意选取为(70.0,22.0,75.0,110.0,200.0)，单位为纳米(nm)。设计目标是波长1000～1700nm范围内膜系的反射率99％。权重因子取1。图3-5近红外高反膜系初始结构的反射光谱nmR图3-5近红外高反膜系初始结构的反射光谱nmR以单纯形优化方法优化上述膜系。取反射因子，压缩因子，扩展因子，控制精度。经优化后，膜系的几何厚度依顺序为(82.0,250.7,82.0,248.0,82.0)，单位为纳米(nm)；膜系的反射光谱如图3-6所示。从图3-6中可以看出，优化后的膜系在1.000～1.700m波长范围内的平均反射率基本上都高于99％，已实现了增反设计目标。nmR图3-6nmR图3-6优化后的近红外高反膜系的反射光谱3.3.2红膜的设计对于典型的红膜，要求在400～650nm波长范围内高透，在650～750nm范围内高反，实际上相当于一个短波通干涉截止滤波器。我们设计了一个结构如的高、低折射率材料相间的17层膜系，其中高折射率2.30,低折射率1.45)，入射介质与载片仍分别为空气和K9玻璃。选择中心波长750nm，初始结构为膜系，即各层膜的厚度为129.0(81.5|129.0)8，单位为nm。初始膜系的反射光谱如图3-7所示。以单纯形优化方法对上述初试膜系进行优化。取反射因子，压缩因子，扩展因子，控制精度。设计目标为，在400～650nm波nmnmR图3-8优化后红膜的反射光谱nmR图3-7优化前红膜的反射光谱长范围内反射率为0，在650～750nm波长范围内反射率为1；权重因子取1。经优化后，膜系的结构为59.820382.5274131.801484.5198131.740981.8371128.665185.3793125.102983.4841128.466283.4671129.692984.2181137.534491.8320144.3979单位为nm，其反射光谱如图3-8所示。由图3-8可以看到，优化后的膜系在400～650nm波长范围内平均反射率小于5％，在650～750nm范围内平均反射率大于97％，就实际应用而言，这已达到红膜设计的基本要求。以优化后的膜系结构作为初始膜系结构，提高控制精度至，再进行优化，所得到的结果优于第一次优化，但并不明显。3.4小结在本章中，我们介绍了单纯形最优化方法的基本原理与算法，并应用该方法于光学膜系的优化设计。我们编写了相应的C语言程序代码，并以该程序成功计算了具有5层光学薄膜的近红外波段(1.000～1.700m)高反膜系以及相当于一个短波通干涉截止滤光器的具有17层光学薄膜的红膜系(在400～650nm波长范围内高透，在650～750nm范围内高反)的优化问题。由上述两个实例的计算结果可以看出，单纯形最优化方法适用于光学膜系的优化设计问题，而且对初始条件的要求并不是很苛刻，即使在初始膜系结构的光谱性质与目标光谱性质相比相差颇远时仍能够得到比较理想的优化结果。但是，随着光学膜系的膜层数目增加，单纯形最优化方法的数值计算效率急剧下降。对于所研究的17层膜的光学膜系的优化问题，在CPU为Celeron1GHz、操作系统为WindowsXP的计算机系统上运行近3hrs。第4章以实数编码的整体模拟退火遗传算法优化设计光学膜系在上一章中,我们介绍了单纯形最优化方法在光学膜系优化设计中的应用。在原则上，单纯形最优化方法是一种局域的直接方法；当光学膜系的规模较大时，以单纯形最优化方法所得到的最优解往往只是局域最优解。在本章中，我们将介绍另一种最优化方法，即遗传算法(GeneticAlgorithm)。遗传算法也是一种直接方法；遗传算法在原则上可得到优化问题的全局最优解，而且具有很强的鲁棒性(Robustness)[31]。我们在标准遗传算法的基础上，提出基于实数编码的整体模拟退火遗传算法，并将该算法应用于光学膜系优化设计问题。4.1遗传算法的基本原理遗传算法是对生物体进化过程的抽象，通过全面模拟自然选择和遗传的机制，形成一种具有“生成＋检验”特征的搜索算法。遗传算法以编码空间代替优化问题的参数空间，以适应度函数为评价依据，以编码群体为进化基础，以对群体中个体位串的遗传操作实现选择和遗传机制，从而建立一个迭代过程。在迭代过程中，通过随机重组编码位串中重要的基因，使新一代的位串集合优于老一代的位串集合，于是群体中的个体不断进化，逐渐接近问题的最优解[31]。遗传算法作为一种通用的全局最优化方法，与传统的随机搜索方法不同的是，它不是从一个初始解出发而是从一组初始解出发进行优化的，且这些初始解好比一个生物群体，优化的过程就是该群体繁衍与竞争、遗传与变异的过程。遗传算法是一个启发式的随机搜索过程，可以保证搜索过程向更优化的方向发展。遗传算法将问题的求解表示成“染色体”(计算机编程时一般用二进制码串)，从而构成一群“染色体”；将它们置于问题的“环境”中，通过选择(Selection)、杂交(Crossover)和变异(Mutation)等基因操作，产生新的一代“染色体”群；根据适者生存的原则，通过适应度的竞争，挑选出新的子代群体。这样一代代地不断进化，最后收敛到一个最适应环境的个体上，从而求得问题的全局最优解。对于如第3章所研究的光学膜系优化设计问题而言，所有介质膜层的几何厚度的编码为一个“染色体”，而每一层的几何厚度编码则为一个基因串；问题的“环境”为如下评价函数：(4-1)其中x()。个体的适应度(适应值)与评价函数有关：越小，则个体的适应度越高。Goldberg在解决天然气管道控制优化问题时首先提出遗传算法的工作流程和结构形式，一般称之为标准遗传算法[32,33]。简单的标准遗传算法迭代过程的基本内容和步骤可叙述如下：①选择编码策略，将参数集合X和域转换为位串结构空间S；②定义适应值函数f(X)；③确定遗传策略，包括选择群体的大小，确定选择、交叉、变异方法，以及确定交叉概率、变异概率等遗传参数；④随机初始化生成群体P；⑤计算群体中个体位串解码后的适应值f(X)；⑥根据遗传策略，以选择、交叉和变异算子作用于群体，形成下一代群体；⑦判断群体性能是否满足某一指标，或者已完成预定迭代次数，若不满足则返回步骤⑥，或者修改遗传策略再返回步骤⑥。4.2基于实数编码的整体模拟退火遗传算法在传统的遗传算法中，竞争是按固定比例进行的。一般情况下，仅是具有竞争力(适应度高)的个体能够参与竞争,这样便有可能造成算法“过早收敛”，从而陷入局域极值。避免该情况发生的途径之一是允许适应度低的个体参与竞争,因为低适应度的种群也可能包含有用的基因。为此，发展了一种将模拟退火算法和遗传算法结合在一起的新算法，即整体模拟退火遗传算法[34]。模拟退火(SimulatedAnnealing)算法是Kirkpatrick等将金属热加工中的退火工艺的思想应用于组合优化问题而提出的一种新的随机搜索技术，采用Metropolis接受准则，以一组冷却进度表参数控制算法进程[35]。由于采用Metropolis接受准则，在随机搜索过程中可暂时接受较差的解从而扩大了搜索邻域，这使得模拟退火算法具有跳出局域极值解而发现全局最优解的能力。整体退火遗传算法是在标准遗传算法的基础上发展而来的。标准遗传算法的迭代过程可由如下伪代码描述：；选择初始化群体；repeat{Step1：根据适应度大小从群体中随机选取父代群体；Step2：由父代群体经交配产生子代群体；Step3：变异子代群体得到中间群体；Step4：{if(父代参与竞争)then由父代群体和中间群体共同组成新的群体；else以中间群体作为新的群体；endif；}}untill停机准则满足；为了解决上述标准遗传算法的缺陷，在其生存策略中引入Boltzmann生存机制，即上述步骤Step1中引入一时变选择，即整体退火选择，构成整体退火遗传算法。该算法的生存策略为：设新产生个体的适应度为，变动的阀值为(faveragefweakest)/2，其中faverage为群体的平均适应度，fweakest为最低的适应度。若，则接受新个体；否则，以一定的概率(4-2)接受新个体，其中T为控制参数(退火温度)，相当于热力学中的温度。已经证明，引入Boltzmann生存机制的遗传算法与时齐(比例选择)遗传算法截然不同，整体退火遗传算法总是整体收敛的，能够保证群体中的任一个体以概率1收敛到全局最优解；而标准的遗传算法只能保证群体中最优的个体以概率1收敛到最优解[35]。整体退火遗传算法的另一优点是只需问题的解的编码和适应度函数,而不依赖其它辅助信息。为保证适应度函数f的值非负,且使评价函数的优化方向对应于适应度函数f的增大方向，可定义适应度函数f如下：(4-3)其中，为评价函数阀值，可以是一个输入值或是评价函数在理论上的最大值，或者是至当前所有代或最近K代中评价函数值的最大值(此时随代数而变化)。最近曾有研究者将上述整体退火遗传算法应用于光学膜系优化设计问题，其采用的编码策略是对各膜层的几何厚度以若干位二进制码串进行染色体编码，同时对搜索边界作一定约束，即使任一膜层的几何厚度搜索区间为，如此优化得到的膜层厚度适应于工艺实际而易于制备[34]。但是，二进制编码对于光学膜系优化设计问题而言不能直接反映问题的固有结构，而且精度不高，个体长度大，占用计算机内存多；此外，需要频繁地编码和解码，计算量大，且只能产生有限的离散点阵，有时还可能产生额外的伪最优点。二进制编码的这些缺点限制了遗传算法的效率和有效性。在遗传算法中，采用实数编码是克服二进制编码的缺点的有效办法。实数编码采用浮点数组表示个体，可克服诸如海明悬崖、精度须预先确定、对于大规模问题位串长度太长等二进制编码的缺点，且更易融入所应用领域的知识[36,37]。结合实数编码与整体退火遗传算法的优点，我们提出基于实数编码的整体模拟退火遗传算法，并应用于光学膜系的优化设计问题。该算法概述如下：①编码：以线性变换(4-4)映射优化变量至，m为优化变量的数目。在遗传算法中称为基因；优化问题中所有变量所对应的基因依次连在一起构成问题解的编码形式，称为染色体或个体。下面的基因操作都是对优化变量的基因形式进行的。②初始化群体：设初始群体规模为，在区间上生成s组均匀随机数，每组有m个(膜系层数)。③选取父代群体：根据编码规则(4-4)将逆转换为优化变量值，并计算相应的评价函数值；根据式(4-3)由评价函数值集合得到适应值集合，从而根据式(4-2)得到选择概率集合；在群体中选出对应于最小值的前t个个体作为父代群体。④由父代群体杂交产生子代群体：从群体中依次选取一对父代个体进行杂交，每一对双亲产生两个子代个体。具体过程是，根据③中所得到的父代群体的适应性，选取一对父代个体和,作线性组合(4-5)即可得到子代个体,其中,和均为区间上的随机数，如此共产生t个子代个体。⑤变异子代群体产生中间群体：对群体，计算其中各个体的变异概率：(4-6)根据个体的变异概率随机决定其是否变异：在区间上产生随机数r，若，则个体进行变异，否则不发生变异。由此得到中间群体：(4-7)⑥产生新种群：判断是否满足停机准则。若是，则跳出；否则，由父代群体和中间群体共同作为新的种群，转②。4.3程序实现根据以上所描述的基于实数编码的整体模拟退火遗传算法，我们以MatLab实现了相应的计算程序(程序的主要源代码见附录B)。以MatLab作为编程语言的主要原因之一是，MatLab可提供并行的矩阵运算，而群体的信息可统一地以矩阵存储，当进行基因操作时，可以相应地对其进行矩阵操作。如此可大大减少运算时间，尤其是当群体的规模比较大时，以其他编程语言进行嵌套循环将增加算法的复杂度，导致运算时间大幅度地增长。程序的流程如图4-1所示。4.4计算实例与讨论以所编写的实数编码整体模拟退火遗传算法的计算机程序，优化设计一在波长400～1100nm范围内高透的光学膜系。膜系的结构为A|LHLH…LHLHL|G，取膜层数为，其中入射介质与载片的折射率分别为1.00(空气)和1.52(玻璃)，高、低折射率膜层介质的折射率分别为2.35(TiO2)和1.45(SiO2)。假设光波垂直入射于膜系，且各膜层介质无吸收。设计目标为优化上述膜系各膜层的几何厚度，使该膜系在400～1100nm波长范围内的反射率为0。在遗传优化算法中,以膜系的各膜层的几何厚度为优化变量，其搜索区间设定为；评价函数取如式(4-1)的形式，在400～图4-1图4-1基于实数编码的整体模拟退火遗传算法流程图结束是开始是否满足停机准则?随机产生初始群体X0输入初始结构参数否是否进化?根据模拟退火机制选择父代群体Fk由父代群体Fk杂交产生子代群体Ck由子代群体Ck变异产生中间群体Mk由父代群体Fk和中间群体Mk组成新的种群X0变异若干个优秀个体构成部分的X0是否1100nm范围内等间距选取29个波长点，其中各离散波长处的权重因子均为1。图4-2图4-2优化膜系的反射光谱Air/104.52L/19.80H/19.60L/12.74H/3.08L/75.32H/1.66L/24.54H/16.54L/17.70H/21.86L/10.56H/100.57L/Glass其反射光谱如图4-2所示，相应的评价函数为。由图4-2可以看出，优化后膜系结构的反射光谱在400～1100nm波长范围内已基本上达到高透的要求，但在某些波段内反射率仍偏离目标值较大，这主要是在控制评价函数值(预设终止迭代准则)时条件设置得较宽，只要将评价函数值控制在更小的范围内，则可得出更优的结果。在程序运行过程中，可观察到开始时程序收敛得很快，而越到以后则收敛越慢，但趋势总是收敛的。出现此现象的原因主要是，迭代次数越大，群体中优秀个体的适应度相对于其他个体而言已相差比较大，因此再进化出更优秀的个体的概率已变得越来越小；但是，原则上更加优秀的个体必定会出现的，只不过是需要等待得越来越久而已。此外，程序的性能还与退火温度T有很大的关系。由于退火温度T决定子代个体的选取，若T选取得不恰当，则可能导致一些有竞争力的个体因其选择概率过小而被淘汰，竞争力较小的另外一些个体却被保留。在附录B所列的程序中，T的值是固定的，因此，优秀个体的选择仅在某段参数区间内有效。解决此问题的办法之一是，使算法通过自适应过程来改变T的值,从而使算法更加有效。这便是所谓自适应遗传算法的思想[38]。4.5小结在本章中，我们在标准遗传算法的基础上提出基于实数编码的整体模拟退火遗传算法，并编写了相应的MatLab程序。该算法综合了实数编码的简易性与整体模拟退火遗传算法的全局快速收敛性等优点，是解决全局最优化问题的一种有效方法。应用该算法于光学膜系的优化设计问题，优化设计了在波长400～1100nm范围内高透的一个光学膜系，得到了较好的结果，证明了该算法的有效性。第5章光学膜系自动合成设计的Needle方法在第3和第4章中,我们分别介绍了单纯形最优化方法和整体模拟退火遗传算法在光学膜系优化设计中的应用。这两种方法都是属于所谓的膜系“精炼”优化方法。1982年俄罗斯莫斯科大学的Tikhonravov提出了一种“合成”设计光学膜系的新方法，即Needle方法[39-41]。在本章中，我们将介绍该方法的基本原理，对其实现计算机程序，并应用于具体的光学膜系优化设计；此外，还对该方法的局限性及其改进方向进行讨论5.1Needle方法的基本原理在Needle方法中，从简单的膜系出发，通过不断地在膜系结构中插入新的介质薄层，使膜系优化设计的评价函数值下降，从而达到自动合成设计膜系的目的。数学上，Needle方法是通过不断增加优化变量的维数而形成一个连续地寻找最优解过程的。在Needle方法中，膜系结构的变化对评价函数的影响是通过膜系的有效导纳以泛函方法进行分析的。设光学膜系沿z轴方向生长，以载片与其最邻近膜层之间的界面为坐标原点，则膜系的折射率和有效导纳为坐标z的函数，其中为关于z的分段连续函数，Y同时也与波长有关。如图5-1所示，膜系结构变化时，膜系的有效导纳将发生变化。根据第2章中所述的计算膜系光学性质的方法，由下式可计算膜系的导纳：(5-1)其中B和C由如下关系式得到：(5-2)此处所有量的物理意义与第2章中的完全一致。导纳函数在膜系与入射介质之间界面处的取值可直接表达出膜系在波长上的反射系数和反射率：(5-3)(5-4)其中为入射介质的折射率，为膜系的总厚度。在同一膜系中，导纳函数有如下递推公式：(5-5)根据式(5-2)，可得到B和C的微分方程。对于TE波，有(5-6a)(5-6b)图5-1膜系结构变化对有效导纳的影响示意图z'zzn(z)Y(z)0z'z其中，图5-1膜系结构变化对有效导纳的影响示意图z'zzn(z)Y(z)0z'z(5-7)对于TM波，B和C以及Y的微分方程分别为(5-8a)(5-8b)(5-9)微分方程(5-7)与(5-9)有边界条件。现分析在处插入厚度为、折射率为的一层薄介质后，膜系的导纳、反射率以及评价函数的变化。为简便计，假设所涉及的各介质无吸收，且光波正入射于膜系。于是，入射角(折射角)，即，而介电函数。插入介质薄层后，膜系的折射率函数成为(5-10)记插入介质薄层后膜系的导纳函数为，根据方程(5-7)或(5-9)，有关于的微分方程：(5-11)其边界条件为；插入介质薄层前，膜系的导纳函数仍记为，其有如下微分方程：(5-12)边界条件为。如图5-1所示，在不同坐标区间，与之间有不同的关系。①在区间内，，故。②在内，，。分别考虑在此区间内和的增量和。若假设足够小，则可仅考虑的一次项而忽略其高次项。于是在此区间内，插入介质薄层前后导纳函数的变化量为(5-13)③在内，，但，因与在处的初值不同。在此区间内，。利用方程(5-11)和(5-12)，并忽略的二次或更高次项，可得到如下关于的微分方程：(5-14)其初始条件为。若将微分方程(5-14)的初始点由移至，所产生的误差至多仅是的二次项，可忽略。因此，将方程(5-14)的初始条件改为(5-15)原则上，积分求解方程(5-14)即可得到区间内的函数。但在膜系优化问题中，我们实际上并无须对方程(5-14)进行积分求解。现分析插入介质薄层前后膜系反射系数、反射率与膜系优化评价函数的变化量，和。根据式(5-3)与(5-4)，可得到(5-16)(5-17)根据反射率对膜系进行优化时，有如下评价函数：(5-18)其中L为波长离散点数目。根据上式，我们有(5-19)为简化上式，引入如下共轭方程：(5-20)为该方程设置L个边界条件：(5-21)由式(5-19)与(5-21)，有(5-22)在区间内，对求导，并利用式(5-14)和(5-20)，知即在区间内函数与坐标z无关，因此(5-23)根据上式以及式(5-22)和(5-15)，有(5-24)其中为函数(5-25)在坐标处的取值。因此，在膜系结构中的处插入一折射率为、厚度为的介质薄层引起膜系优化评价函数的变化，其变化量的计算可归结为计算函数在处的取值。从其定义式(5-25)可看出，函数仅与原膜系结构的折射率函数有关，而与所插入薄膜层的折射率无关。求解函数的过程是：先求解方程(5-12)得到在波长处的导纳函数，再求解方程(5-20)得到相应的共轭函数，最后根据定义(5-25)得到函数。在以Needle方法优化设计膜系的过程中，通过计算函数的最大或最小值确定折射率作针状变化(插入极薄介质膜层)的位置以及折射率变化的趋势，膜系结构变化后使评价函数得到尽可能最大的改善。假设函数在坐标处有最大的绝对值。若，根据式(5-24)，在处使介质折射率针状增大(插入高折射率的薄膜层)时，则，即新的膜系使评价函数值下降；若，则在处使介质折射率针状减小(插入低折射率的薄膜层)时，可使。5.2程序实现根据以上所述原理，可归纳出以Needle方法自动合成优化设计光学膜系的具体步骤如下：①设定简单的初始膜系结构；②根据导纳迭代公式(5-5)计算在各评价波长上每一边界处的导纳；③求共轭函数与P函数；④在高(低)折射率膜层中求P函数的最大(小)值；⑤从步骤④中所得到的P函数值中选取绝对值最大的值，以其所对应的点作为最佳插入点；⑥在最佳插入点处，若P函数值大于零则插入低折射率薄层，若P函数值小于零则插入高折射率薄层；⑦计算新膜系的导纳以及评价函数，若满足收敛准则则退出，否则转③。根据以上原理和步骤，我们实现了以Needle方法自动合成优化设计光学膜系的MatLab计算程序(程序的主要源代码见附录C)。5.3计算实例与讨论作为实例，以自动合成优化设计光学膜系的Needle方法，设计在400～800nm波长范围内减反的光学膜系。采用分别具有高、低折射率的两种材料作为膜系介质，高、低折射率分别为2.35和1.38，入射