2023年江苏省南通市如东县、通州区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南通市如东县、通州区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.计算(−6)÷3=(

)A.2 B.−2 C.12 D.2.下列计算的结果为a8的是(

)A.(a4)4 B.a2⋅3.清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开”.若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为(

)A.0.84×10−5 B.8.4×10−5 C.4.某几何体由若干个小正方体组成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是(

)A. B. C. D.5.一副直角三角板(∠ACB=30°,∠BED=45°)按如图所示的位置摆放，如果AC//DE，那么∠EBC的度数是(

)A.15°                              

B.20°

C.30°

6.如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD=62°，则∠AOC的度数为(

)A.100°

B.118°

C.124°

D.130°7.某人在甲、乙、丙、丁四个超市购买某品牌商品的总价和购买数量如图所示，按平均单价计算，购买该品牌商品最划算的超市是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁8.如果一个函数同时满足条件：①图象经过点(1,1)；②图象经过第四象限；③当x>1时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是(

)A.y=2x−1 B.y=1x

C.y=−x9.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=5，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为E.设AE=x，S△ADE=y，则y关于x的函数图象大致是A. B.

C. D.10.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点D′处.过AC的中点O作OE//BC交AD′于点E.若AB=8cm，BC=6cm，则OE的长为(

)A.103

B.4

C.256

二、填空题（本大题共8小题，共30分）11.因式分解：m2−mn=______．12.计算27−31313.二元一次方程组x+3y=−1,2x+y=3的解是______．14.如图，D，E两点分别在AB，AC上，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，只需添加一个条件，则这个条件可以是______．

15.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以O为圆心的一个圆，可简化为图2.若⊙O被水面所截的弦长AB=8米，⊙O的半径为5米，则筒车最低点距水面______米.

16.如图，学校有一旗杆AB.为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为45°，从与点C相距6m的E处测得旗杆顶B的仰角为60°.若CD=EF=1.5m，则旗杆AB的高度为______米.(结果保留小数点后一位，2≈1.41，

17.如图，点A是函数y=2x(x>0)图象上一点，连接AO并延长，交函数y=kx(x<0)的图象于点B，作AC⊥y轴，垂足为C，连接BC，则△OBC的面积为______(用含k

18.如图，等边三角形ABC中，P，Q两点分别在边BC，AC上，BP=CQ，D是PQ的中点.若BC=4，则CD的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题分)

(1)计算：a−ba+b−a2−2ab+b220.(本小题分)

如图是三个可以自由转动的转盘，甲、乙两人中甲转动转盘，乙记录转盘停下时指针所指的数字．当三个数字中有数字相同时，就算甲赢，否则就算乙赢．请判断这个游戏是否公平，并用概率知识说明理由．21.(本小题分)

【阅读材料】老师的问题：

已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．

求作：菱形AECD．

小明的作法：

(1)取CD的中点F；

(2)连接BF并延长到E，使FE=FB；

(3)连接AE，CE．

四边形AECD就是所求作的菱形．

【解答问题】

请根据材料中的信息，证明四边形AECD是菱形．22.(本小题分)

某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班(每个班均为40人)的学生进行测试，并对成绩进行整理(成绩为整数，满分100分)．

a.甲班成绩统计表：平均数众数中位数优秀率79847640%b.乙班良好这一组学生的成绩：

70，71，73，73，73，74，76，77，78，79．

c.乙班成绩统计图：说明：

①成绩等级分为：80分及以上为优秀，70～79分为良好，60～69分为合格，60以下为不合格；

②统计图中每小组包含最小值，不包含最大值．(1)已知甲班没有3人的成绩相同，成绩是76分的学生，在______班的名次更好些；

(2)从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．23.(本小题分)

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

(1)求证：AC平分∠BAD；

(2)若∠BAD=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．24.(本小题分)

某商场销售一种成本为20元/kg的商品，市场调研反映：在某个月的第x天(1≤x≤30)的销售价格为(40+x)元/kg，日销售量y(kg)与x的函数关系如图所示．

(1)求y与x的函数解析式；

(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？

(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于2250元？25.(本小题分)

如图，等边三角形ABC中，P是边AC上的一个动点(不与A，C点重合)，连接BP，将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，过点C作CQ//BP，交PD的延长线于点Q．

(1)探究△PCD的形状；

(2)求证：△APD≌△QDC；

(3)若延长AD交CQ于点E，CE=2EQ，求∠CAQ的正切值．26.(本小题分)

定义：若函数G1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数G2的图象上，则称函数G1，G2为关联函数，这两个点称为函数G1，G2的一对关联点.例如，函数y=2x与函数y=x−3为关联函数，点(1,2)和点(1,−2)是这两个函数的一对关联点．

(1)判断函数y=x+2与函数y=−3x是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；

(2)若对于任意实数k，函数y=2x+b与y=kx+k+5始终为关联函数，求b的值；

(3)若函数y=x答案和解析1.【答案】B

解：原式=−(6÷3)=−2，

故选：B．

根据有理数除法运算法则“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”计算即可．

本题考查有理数除法法则的运用，熟悉有理数除法法则是解题的关键．

2.【答案】C

解：A、(a4)4=a16，故此选项不符合题意；

B、a2⋅a4=a6，故此选项不符合题意；

C、a43.【答案】C

解：0.0000084=8.4×10−6．

故选：C．

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<104.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查简单组合体的三视图及由三视图判断几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据主视图的定义判断即可．

【解答】

解：主视图是从正面看得到的图形，应该是选项B，

故选：B．

5.【答案】A

解：∵∠E=45°，AC//DE，

∴∠BED=∠AGB=45°，

∵∠ACB=30°，

∴∠EBC=∠AGB−∠ACB=45°−30°=15°．

故选：A．

在Rt△BDE中，由两角互余得∠BED=45°，根据直线AC//DE得∠BED=∠AGB，再由三角形外角的性质即可求解．

本题综合考查了平行线的性质，三角形的外角的性质等相关知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，三角形的外角的性质等知识．

6.【答案】C

解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，

∵∠CBD=62°，

∴∠CPA=62°，

∴∠AOC=2∠APC=124°，

故选：C．

根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．

本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．

7.【答案】C

解：由图象知，甲超市的平均单价为20÷2=10(元/千克)，

乙超市的平均单价为40÷6≈6.67(元/千克)，

丙超市的平均单价为60÷10=6(元/千克)，

丁超市的平均单价为80÷12≈6.67(元/千克)，

∵10>6.67=6.67>6，

∴购买该品牌商品最划算的是丙超市，

故选：C．

根据图象，分别求得各超市的平均单价，比较即可得到答案．

本题考查了函数的图象，掌握坐标与图形，有理数的除法运算，有理数的大小比较是解题的关键．

8.【答案】D

解：A、y=2x−1是一次函数，k=2，y随x的增大而增大，故A不可能；

B、y=1x是反比例函数，k=1，图象经过一、三象限，故B不可能；

C、y=−x2+4x−2是二次函数，a=−1，开口向下，对称轴x=2，∴当x>2时，y随x的增大而减小，故C不可能；

D、y=−2x2+3x是二次函数，经过点(1,1)，图象经过第四象限，a=−2，开口向下，对称轴x=34，∴当x>1时，y随x的增大而减小，故D9.【答案】A

解：由题意得，AC=AB2−BC2=25，

当点D与点C重合时，DE=25×55=2，此时AE=(25)2−22=4，

当0<x≤4时，△ADE∽△ACB，

∴DEBC=AEAC，

∴DE5=x25，

∴DE=12x，

∴y=1210.【答案】C

解：如图，设CD′交AB于点F，OE交AB于点G，

∵四边形ABCD为矩形，AB=8cm，BC=6cm，

∴AB=CD=8cm，BC=AD=6cm，AB//CD，∠D=90°，

∵O为AC的中点，OG//BC，

∴OG为△ABC的中位线，∠AGO=90°，

∴AG=BG=12AB=4(cm)，OG=12BC=3(cm)，∠AGE=90°，

根据折叠的性质可得，∠ACD=∠ACD′，AD=AD′=6cm，CD=CD′=8cm，∠D=∠D′=90°，

∵AB//CD，

∴∠ACD=∠BAC，

∴∠BAC=∠ACD′，

∴AF=CF，

设AF=CF=x cm，则D′F=CD′−CF=(8−x)cm，

在△AD′F中，AD′2+D′F2=AF2，

∴62+(8−x)2=x2，

解得：x=254，

∴AF=254cm，D′F=74cm，

在Rt△AD′F中，tan∠FAD′=D′FAD′=746=724，

在Rt△AGE中，GE=AG⋅tan∠GAE=4×724=76(cm)，

∴OE=OG+GE=3+76=256(cm)11.【答案】m(m−n)

解：m2−mn=m(m−n)．

故答案为：m(m−n)．

提取公因式m，即可将此多项式因式分解．

12.【答案】2【解析】【分析】

本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并是解答此题的关键．

先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．

【解答】

解：原式=33−3

=213.【答案】x=2y=−1解：x+3y=−1①2x+y=3②，

①×2−②，得5y=−5，

解得：y=−1，

把y=−1代入①，得x−3=−1，

解得：x=2，

所以方程组的解是x=2y=−1．

故答案为：x=2y=−1．

①×2−②得出5y=−5，求出y，把y=−1代入①求出14.【答案】∠B=∠C(答案不唯一)

解：添加的条件为∠B=∠C，

理由：在△ABE与△ACD中，

∠A=∠AAB=AC∠B=∠C，

∴△ABE≌△ACD(SAS)．

故答案为：∠B=∠C(答案不唯一)．

根据全等三角形的判定定理即可得到结论．

本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA15.【答案】2

解：过点O作OC⊥AB于点C，并延长OC与⊙O相交于点D，连接OA，

∴点D为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为CD的长，

∵AB=8米，OC⊥AB，

∴AC=BC=12AB=4(米)，

又∵⊙O的半径为5米，即OA=5米，

∴OC=OA2−AC2=52−42=3(米)，

又∵OD=5米，

∴CD=OD−OC=5−3=2(米)，

∴筒车最低点距水面2米．

故答案为：2．

过点O作OC⊥AB于点C，并延长OC与16.【答案】12.1

解：延长CE，交AB于点G.如图所示：

则∠BGC=90°.AG=CD=EF=1.5m，

设BG=x m．

在Rt△BGC中，∠BCG=45°，

∴△BCG是等腰直角三角形，

∴CG=BG=x m，

∵CE=6m，

∴GE=(x−6)m．

在Rt△BGE中，∠BEG=60°，tan∠BEG=BGEG=tan60°=3，

∴xx−6=3，

解得：x=9+33，

∴AB=BG+GA=9+33+1.5≈12.1(m)，

故答案为：12.1．

延长CE，交AB于点17.【答案】2k解：作BD⊥y轴于点D，

∵AC⊥y轴，

∴AC//BD，

∴△AOC∽△BOD，

∴S△BODS△AOC=(BDAC)2，即12|k|12×2=(BDAC)2，

∴BD=|k|2⋅AC，

∴S18.【答案】3解：当P和Q分别为BC，AC的中点时，PQ最短，

∵BC=4，△ABC是等边三角形，

∴PQ=12AB=12BC=2，PQ//AB，

∴△PQC是等边三角形，

∵D是PQ的中点，当CD⊥PQ时，CD最短，

∴CD=3，

故答案为：3．

当P和Q分别为BC，AC的中点时，19.【答案】解：(1)a−ba+b−a2−2ab+b2a2−b2÷a−ba

=a−ba+b−(a−b)2(a+b)(a−b)⋅aa−b

=a−ba+b【解析】(1)先计算分式的除法，再算分式的减法，即可解答；

(2)按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．

本题考查了分式的混合运算，解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】解：不公平，理由如下：

画树状图如下：

由图可知：共有8种结果，且是等可能的，其中含有相同数字的结果有6种．

则甲获胜的概率=68=34，乙获胜的概率=28=1【解析】画出树状图，计算出各种情况的概率，然后比较即可．相等则公平，否则不公平．

本题考查的是游戏公平性的判断、列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】证明：由作法得CF=DF，EF=BF，

在△CEF和△DBF中，

FE=FB∠CFE=∠DFBFC=FD，

∴△CEF≌△DBF(SAS)，

∴CE=DB，∠CEF=∠DBF，

∴CE//BD，

∵CD为斜边AB上的中线，

∴CD=AD=BD，

∴AD=CE，

∵AD=CE，AD//CE，

∴四边形AECD为平行四边形，

∵AD=CD，

∴四边形AECD【解析】由作法得CF=DF，EF=BF，则可判断△CEF≌△DBF，所以CE=DB，∠CEF=∠DBF，则CE//BD，在根据斜边上的中线性质得到CD=AD=BD，则AD=CD=CE，然后根据菱形的判定方法可得到四边形AECD是菱形．

本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和菱形的判定与性质．

22.【答案】乙

解：(1)成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些．理由如下：

甲班成绩的中位数是76分，而且没有3人的成绩相同，所以成绩是76分的学生在甲班位于第20或第21名；

乙班优秀学生有3+9=12(人)，根据乙班良好学生的成绩可知成绩是76分的学生在乙班位于第16名，

所以成绩是76分的学生，在乙班的名次更好些．

故答案为：乙；

(2)甲班的整体成绩更好．理由如下：

甲班成绩的中位数是76分，乙班成绩的中位数是71+732=72(分)，

甲班成绩的优秀率是40%，乙班成绩的优秀率是1240×100%=30%，

甲班成绩的中位数、优秀率均高于乙班，所以甲班的整体成绩更好．

(1)根据中位数的定义求解即可；

(3)根据中位数与优秀率的意义进行解答即可(答案不唯一)23.【答案】(1)证明：连接OC，

∵CD与⊙O相切，

∴∠OCD=90°，

∵∠ADC=90°，

∴OC//AD，

∴∠ACO=∠DAC，

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

∴AC平分∠BAD；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠B=60°，OC=OB，

∴△BOC是等边三角形，

∴∠BOC=60°，

∴∠CAO=30°，

AC=AB2−BC2=42−22=23，

作OF⊥AC交AC于点C，

【解析】(1)连接OC，由切线的性质可知：∠OCD=90°，从而可知OC//AD，由于OC=OA，从而可证明AC平分∠DAB；

(2)由于∠B=60°，所以∠CAB=30°，所以∠DAC=30°，从而可求出AD的长度．

本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，角平分线的判定，圆周角定理，锐角三角函数等知识，综合程度较高，属于中等题型．

24.【答案】解：(1)设y=kx+b(k≠0)，

把(5,90)，(10,80)代入上式得，

5k+b=9010k+b=80，

解得，k=−2b=100，

∴y与x的函数解析式为：y=−2x+100．

(2)设日销售利润为w元，

由题意得：w=(40+x−20)(−2x+100)

=−2x²+60x+2000

=−2(x−15)²+2450，

∵−2<0，1≤x≤30，

∴当x=15时，w最大，

答：销售该商品第15天时，日销售利润最大．

(3)令w=2250，

则−2(x−15)²+2450=2250，

解得，x1=5，x2=25，

结合二次函数图象可知，

当5<x<25时，w>2250，

∴有【解析】(1)设y=kx+b(k≠0)，根据图象取两个点坐标代入，求出k，b的值即可．

(2)设日销售利润为w元，列出w关于x的函数关系式，求最大值即可．

(3)令w=2250，求出一元二次方程的两个解，结合二次函数的草图求出x的范围，从而得到结果．

本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键．

25.【答案】(1)解：△PCD是等边三角形．

理由：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，

∴∠BCP=∠ACD=60°，CP=CD，

∴△PCD是等边三角形；

(2)证明：∵△PCD是等边三角形，

∴PD=CD，∠PDC=∠CPD=60°，

∴∠PAD=∠CDQ=120°，

又∵CQ//BP，

∴∠CBP+∠QCB=180°，

∵∠PCD=60°，

∴∠CBP+∠DCQ=60°，

∵将△BCP绕点C顺时针旋转至△ACD，

∴∠CBP=∠CAD，

∴∠CAD+∠DCQ=60°，

又∵∠DCQ+∠DQC=60°，

∴∠CAD=∠DQC，

在△APD和△DQC中，

∠PAD=∠DQC∠APD=∠CDQPD=CD，

∴△APD≌△QDC(AAS)；

(3)解：过点P作PM⊥AB于M，

设QE=x，

∵CE=2EQ，

∴CE=2x，CQ=BP=3x，

∵△APD≌△QDC，

∴∠ADP=∠QCD，

∵∠DQE=∠CQD，

∴△DQE∽△CQD，

∴DQCQ=EQDQ，

∴DQ2=CQ⋅EQ，

∴DQ=3x，

∴AP=DQ=3x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠APM=30°，

∴PM=A