2021-2022学年新疆乌鲁木齐四中高一（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年新疆乌鲁木齐四中高一（上）期末数学试卷一、单选题1．（5分）若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞﹣1且x≠2} D．{x|x＞﹣1}2．（5分）下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．A．0 B．1 C．2 D．33．（5分）函数的图象是（）A． B． C． D．4．（5分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按如表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）A．2000元 B．1500元 C．990元 D．1590元5．（5分）函数的定义域为（）A．（0，+∞） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]6．（5分）若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（﹣）+f（2）＝（）A．﹣2 B．0 C．1 D．27．（5分）函数y＝loga（2x﹣3）+4的图象恒过定点M，且点M在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝（）A．6 B．8 C． D．98．（5分）“”是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化满足关系式lnP0﹣lnp＝kh，P0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的（）（取0.000126×8848.86＝1.1）A． B． C． D．10．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点，则＝（）A． B． C． D．11．（5分）已知θ∈（，2π），cosθ＝，则＝（）A． B． C． D．212．（5分）若，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．（1，+∞）三、填空题13．（5分）cos36°cos96°+sin36°sin96°的值是．14．（5分）a＞1，则的最小值是．15．（5分）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是．16．（5分）设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是．四、解答题17．（10分）求值：（1），（2）．18．（10分）已知sin（π+α）＝﹣，且α为第二象限角．（1）求tanα的值；（2）求的值．19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．（1）若点B的横坐标为﹣，求tanα的值；（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；（3）若α∈（0，），请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．20．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象．21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），x∈R．（1）若f（x0）＝，求x0的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．22．（10分）已知函数f（x）＝ln（3+x）+ln（3﹣x）．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数y＝f（x）的奇偶性；（Ⅲ）若f（2m﹣1）＜f（m），求m的取值范围．23．（10分）已知，其中α是第三象限角．（1）化简f（α）；（2）若f（α）＝4，求sinα，cosα．

2021-2022学年新疆乌鲁木齐四中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题1．（5分）若集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∪B＝（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞﹣1且x≠2} D．{x|x＞﹣1}【分析】由已知直接利用并集运算得答案．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∪B＝{x|x＞1}∪{x|﹣1＜x＜2}＝{x|x＞﹣1}．故选：D．【点评】本题考查并集及其运算，是基础题．2．（5分）下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R，x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R，x2+2x+1≤0”；④命题“a＞b是ac2＞bc2的必要条件”是真命题．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题否定的求法，分析选项，即可得答案．【解答】解：对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题““∀x∈R，x2+1＜0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p：∃x∈R，x2+2x+1≤0，则￢p：∀x∈R，x2+2x+1＞0，故③错误；对于④：ac2＞bc2，∴c2≠0，即c2＞0，所以不等式两边同除以c2便得到a＞b，∴“a＞b”是“ac2＞bc2”的必要条件；④正确；即正确的有2个，故选：C．【点评】本题考查了对全称量词和特称量词命题的理解及否定，属于基础题．3．（5分）函数的图象是（）A． B． C． D．【分析】利用函数的奇偶性和单调性以及特殊值进行判断即可．【解答】解：因为函数是奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除A，B．当x＝1时，y＝1﹣1＝0，所以排除C，选D．故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质是解决函数图象的关键．4．（5分）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按如表分段累计计算：全月应纳税所得额税率不超过3000元的部分3%超过3000元至12000元的部分10%超过12000元至25000元的部分20%有一职工八月份收入20000元，该职工八月份应缴纳个税为（）A．2000元 B．1500元 C．990元 D．1590元【分析】根据已知条件，分别计算应纳税额15000元中每部分的纳税额，并对所求结果求和，即可求解．【解答】解：20000﹣5000＝15000，其中3000元应纳税3%，9000元应纳税10%，3000元应纳税20%，故一共纳税3000×3%+9000×10%+3000×20%＝1590元．故选：D．【点评】本题主要考查分段函数的应用，考查计算能力，属于基础题．5．（5分）函数的定义域为（）A．（0，+∞） B．[0，1） C．（0，1] D．[0，1]【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：由题意可知，即，解得0≤x＜1，∴函数的定义域为[0，1），故选：B．【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．6．（5分）若函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（﹣）+f（2）＝（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】根据题意，由函数的奇偶性与周期性可得f（2）＝f（0）＝0，f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），结合函数的解析式可得f（）的值，即可得f（﹣）的值，相加即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，则f（2）＝f（0）＝0，f（﹣）＝f（﹣）＝﹣f（），又由当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（）＝4＝2，则f（﹣）＝﹣f（）＝﹣2，故f（﹣）+f（2）＝（﹣2）+0＝﹣2，故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题．7．（5分）函数y＝loga（2x﹣3）+4的图象恒过定点M，且点M在幂函数f（x）的图象上，则f（3）＝（）A．6 B．8 C． D．9【分析】由loga1＝0得2x﹣3＝1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标；设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可．【解答】解：令loga1＝0，得2x﹣3＝1，即x＝2时，y＝4，∴点M的坐标是P（2，4）；幂函数f（x）＝xα的图象过点M（2，4），所以4＝2α，解得α＝2；所以幂函数为f（x）＝x2；则f（3）＝9．故选：D．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1＝0，考查求幂函数的解析式与应用问题，属于基础题．8．（5分）“”是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】⇒，反之不成立，例如取α＝﹣2π．即可判断出结论．【解答】解：⇒，反之不成立，例如取α＝﹣2π．∴“”是的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数求值、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（5分）2020年12月8日，中尼两国联合对外宣布，经过两国团队的扎实工作，珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米．已知大气压强p（Pa）随高度h（m）的变化满足关系式lnP0﹣lnp＝kh，P0是海平面大气压强，k＝0.000126m﹣1，则珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的（）（取0.000126×8848.86＝1.1）A． B． C． D．【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．【解答】解：∵珠穆朗玛峰的最新高程为8848.86米，k＝0.000126m﹣1，∴0.000126×8848.86＝1.1，∴lnP0﹣lnp＝，∴，即，故珠穆朗玛峰峰顶的大气压强是海平面大气压强的．故选：C．【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．10．（5分）已知角α的终边与单位圆交于点，则＝（）A． B． C． D．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得α的正弦值和余弦值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式，计算求得要求式子的值．【解答】解：∵角α的终边与单位圆交于点，∴cosα＝，sinα＝﹣，则＝cosα﹣cos2α＝cosα﹣2cos2α+1＝﹣2×+1＝，故选：D．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式，属于基础题．11．（5分）已知θ∈（，2π），cosθ＝，则＝（）A． B． C． D．2【分析】根据条件先求得sinθ，tanθ，再利用两角和的正切公式即可求解．【解答】解：因为θ∈（，2π），cosθ＝，所以sinθ＝﹣＝﹣＝﹣，则tanθ＝＝﹣，所以＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查三角函数的求值，涉及同角三角函数的求值，两角和的正切公式的应用，属于基础题．12．（5分）若，那么a的取值范围是（）A．（0，1） B． C． D．（1，+∞）【分析】由题意利用对数函数的性质，分类讨论，解对数不等式，求得a的取值范围．【解答】解：若，当a＞1时，则有a2+1＞2a＞1，求得a＞1；当0＜a＜1时，则有0＜a2+1＜2a＜1，求得a∈∅，综上，a的取值范围是（1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查对数函数的性质，解对数不等式，属于基础题．三、填空题13．（5分）cos36°cos96°+sin36°sin96°的值是．【分析】根据两角差的余弦公式，即可得解．【解答】解：原式＝cos36°cos96°+sin36°sin96°＝cos（96°﹣36°）＝cos60°＝．故答案为：．【点评】本题考查两角差的余弦公式，考查运算求解能力，属于基础题．14．（5分）a＞1，则的最小值是3．【分析】根据a＞1可将a﹣1看成一整体，然后利用均值不等式进行求解，求出最值，注意等号成立的条件即可．【解答】解：∵a＞1，∴a﹣1＞0＝a﹣1++1≥2+1＝3当a＝2时取到等号，故答案为3【点评】本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及均值不等式的应用，属于基础题．15．（5分）若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（0，1]．【分析】由已知结合分段函数单调性及一次函数与对数函数的单调性，得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围即可．【解答】解：因为数在R上单调递增，所以，解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为（0，1]．故答案为：（0，1]．【点评】本题主要考查了分段函数的单调性，属于基础题．16．（5分）设函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【分析】画出函数f（x）的图象，问题转化为y＝f（x）和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象可得结论．【解答】解：画出函数f（x）在[0，2π]的图象，如图所示：若函数g（x）＝f（x）﹣m在[0，2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f（x）和y＝m在[0，2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，0＜m＜1，故答案为（0，1）．【点评】本题考查了函数图象的交点问题，考查数形结合思想，是一道中档题．四、解答题17．（10分）求值：（1），（2）．【分析】利用指数，对数的性质与运算法则求解即可．【解答】解：（1）＝5﹣9×+1＝6﹣9×＝6﹣4＝2．（2）＝log66+lg10﹣3+eln8＝1﹣3+8＝6．【点评】本题考查指数，对数的性质与运算法则，属于基础题．18．（10分）已知sin（π+α）＝﹣，且α为第二象限角．（1）求tanα的值；（2）求的值．【分析】（1）由已知利用诱导公式可得sinα的值，进而根据同角三角函数基本关系式即可求解．（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．【解答】解：（1）由sin（π+α）＝﹣sinα＝﹣，可得sinα＝，因为α为第二象限角，所以cosα＝﹣＝﹣＝﹣，故tanα＝＝﹣2．（2）＝＝＝＝．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（10分）如图在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．（1）若点B的横坐标为﹣，求tanα的值；（2）若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；（3）若α∈（0，），请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．【分析】（1）若点B的横坐标为﹣，根据题意求出B的纵坐标，从而求得tanα的值．（2）若△AOB为等边三角形，根据tan∠AOB的值，写出与角α终边相同的角β的集合．（3）若α∈（0，），根据弓形AB的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB，计算求得结果．【解答】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动，若点B的横坐标为﹣，可得B的坐标为（﹣，），∴tanα＝＝＝﹣，（2）若△AOB为等边三角形，则B（，），∴tan∠AOB＝＝，∴∠AOB＝2kπ+，k∈Z，∴与角α终边相同的角β的集合为{β|β＝2kπ+，k∈Z}．（3）弓形AB的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝•α•12﹣•1•1•sinα＝（α﹣sinα），α∈（0，）．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，终边相同的角，扇形的面积，属于基础题．20．（10分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的周期求出ω的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的增区间求得函数f（x）的单调增区间．（Ⅲ）用五点法作出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为＝π，∴ω＝2．再根据函数的图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈z，即φ＝kπ﹣，∴φ＝﹣，故f（x）＝sin（2x﹣）．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．（Ⅲ）用五点法作函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象：列表：2x﹣﹣0πx0πy﹣010﹣1﹣作图：【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的周期性、单调性，用五点法作出正弦函数在一个周期上的简图，属于中档题．21．（10分）已知函数f（x）＝2sin（2x﹣），x∈R．（1）若f（x0）＝，求x0的值；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）代值计算，根据特殊角的三角函数值即可求出；（2）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得即可；（3）根据函数的单调性即可求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x0）＝，∴2sin（2x0﹣）＝，即sin（2x0﹣）＝，∴2x0﹣＝+2kπ或2x0﹣＝+2kπ，k∈Z，∴x0＝+kπ或x0＝+kπ，k∈Z；（2）由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（3）由（2）可得函数f（x）在[，]上单调递增，在[，]上单调递减，∴f（x）max＝f（）＝2sin＝2，∵f（）＝1，f（）＝，∴f（x）min＝1．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和值域