2020-2021学年河南省郑州十一中高二（下）期末数学模拟练习试卷

第1页（共1页）2020-2021学年河南省郑州十一中高二（下）期末数学模拟练习试卷一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}，则A∪B等于（）A．（0，2） B．（2，+∞） C．R D．[0，+∞）2．（5分）欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，eix＝cosx+isinx（e＝2.71828…为自然对数的底数，i为虚数单位）被称为“数学中的天桥”，将复数、指数函数、三角函数联系起来了．当x＝π时，可得恒等式（）A．eπi﹣1＝0 B．eπi＝0 C．eπi+1＝0 D．eπi+i＝03．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y值为（）A． B． C． D．4．（5分）已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，则a6＝（）A．﹣2或32 B．﹣2或64 C．2或﹣32 D．2或﹣645．（5分）已知如下六个函数：y＝x，y＝x2，y＝lnx，y＝2x，y＝sinx，y＝cosx，从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝（）A．x2+cosx B．x2+sinx C．2x+cosx D．2x+sinx6．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，清代陆以活在《冷庐杂识》中写道：“近有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻．盖游戏之具，足以排闷破寂．故世俗皆喜为之．”七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC中点，若在正方形ABCD中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为16，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为（）A． B． C． D．8．（5分）若数列{Fn}满足F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）（备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61）A．31万 B．51万 C．217万 D．317万9．（5分）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（）A． B． C． D．10．（5分）设F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，F1，F2分别为左、右焦点，C1与C2在第一象限的交点为M．若△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且双曲线C2的离心率e∈[2，]，则椭圆C1离心率的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[，1]11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，AB，A1D1的中点分别是P，Q，直线PQ与正方体的外接球O相交于M，N两点，点G是球O上的动点，则△GMN面积的最大值为（）A． B． C． D．12．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，e2] B．（0，e2） C．[1，e2] D．（1，e2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若（a+x）（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，在展开式中x的偶数次幂项的系数之和为8，则a＝．14．（5分）已知曲线y＝ex+m+n的切线为y＝x﹣1，则一组满足条件的m，n的取值为．15．（5分）伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则P（B|A）＝．16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，斜率大于0的直线l经过点F2与C的右支交于A，B两点，若△AF1F2与△BF1F2的内切圆面积之比为9，则直线l的斜率为．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an}的前n项和满足2Sn＝3an﹣a1，且a2+2是a1，a3的等差中项，{bn}是等差数列，b2＝a2，b8＝a3．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．18．（12分）如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使____，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝．②AC为四面体ABDC外接球的直径．③平面ABC⊥平面BCD．（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角A﹣MN﹣B的正弦值．19．（12分）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B（n，p），那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N（μ，σ2）．任意正态分布都可变换为标准正态分布（μ＝0且σ＝1的正态分布），如果随机变量Y～N（μ，σ2），那么令Z＝，则可以证明Z～N（0，1）．当Z～N（0，1）时，对于任意实数a，记Φ（a）＝P（Z＜a）．已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当a＝0.16时，由于0.16＝0.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是Φ（0.16）的值．（ⅰ）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（ⅱ）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.722420．（12分）已知N为圆C1：（x+2）2+y2＝24上一动点．圆心C1关于y轴的对称点为C2．点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且•＝0，＝2．（1）求点M的轨迹方程；（2）直线l：y＝kx+m与点M的轨迹Γ只有一个公共点P．且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2＝8相交于A，B两点，求△PAB面积的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝[f（e）+e﹣1]lnx﹣x+ef'（e）+e，其中e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：xf（x）＜ex﹣2x2+x﹣1．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线E的参数方程为（a为参数），直线l的参数方程为（t为参数，0≤β＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别写出曲线E和直线l的极坐标方程；（2）直线l与曲线E交于M，N两点，若，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a，b，c，满足a+b+c＝1．（1）若a，b∈R+，c＝0，求证：（a+）2+（b+）2≥；（2）设a＞b＞c，a2+b2+c2＝1，求证：a+b＞1．

2020-2021学年河南省郑州十一中高二（下）期末数学模拟练习试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{y|y＝lg（x2+1），x∈R}，集合B＝{x|2x﹣x2＞0}，则A∪B等于（）A．（0，2） B．（2，+∞） C．R D．[0，+∞）【分析】可求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A＝{y|y≥0}，B＝{x|0＜x＜2}，∴A∪B＝[0，+∞）．故选：D．【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，对数函数的单调性，一元二次不等式的解法，并集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理领域，其中欧拉公式的诸多公式中，eix＝cosx+isinx（e＝2.71828…为自然对数的底数，i为虚数单位）被称为“数学中的天桥”，将复数、指数函数、三角函数联系起来了．当x＝π时，可得恒等式（）A．eπi﹣1＝0 B．eπi＝0 C．eπi+1＝0 D．eπi+i＝0【分析】直接利用欧拉公式，化简求解即可判断选项．【解答】解：根据欧拉公式eix＝cosx+isinx，将x＝π代入可得eiπ＝cosπ+isinπ＝﹣1，所以eπi+1＝0．故选：C．【点评】本题考查欧拉公式的应用，是基础题．3．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的y值为（）A． B． C． D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：x＝1，y＝1；执行如图所示的程序框图否，y＝，x＝2；否，y＝，x＝3；否，y＝，x＝4；否，y＝，x＝5；……否，y＝，x＝2020；否，y＝，x＝2021；否，y＝，x＝2022；是输出y，即输出y＝．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．（5分）已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6，则a6＝（）A．﹣2或32 B．﹣2或64 C．2或﹣32 D．2或﹣64【分析】设数列{an}的公比为q，根据a2a6＝﹣2a7，S3＝﹣6即可计算出a1与q的值，从而可计算出a6的值．【解答】解：由{an}是等比数列，得a2a6＝a1a7＝﹣2a7，解得a1＝﹣2，设数列{an}的公比为q，则S3＝﹣2﹣2q﹣2q2＝﹣6，解得q＝﹣2或q＝1，当q＝﹣2时，a6＝（﹣2）6＝32；当q＝1时，a6＝﹣2．故选：B．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．5．（5分）已知如下六个函数：y＝x，y＝x2，y＝lnx，y＝2x，y＝sinx，y＝cosx，从中选出两个函数记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝（）A．x2+cosx B．x2+sinx C．2x+cosx D．2x+sinx【分析】观察图象可以得到，函数F（x）由图象可知，函数F（x）过定点（0，1），当x＞0时，F（x）＞1，为增函数，当x＜0时，F（x）＞0或，F（x）＜0交替出现，再思考所给的函数的图象和性质，即可得到答案．【解答】解：由图象可知，函数F（x）过定点（0，1），当x＞0时，F（x）＞1，为增函数，当x＜0时，F（x）＞0或，F（x）＜0交替出现，因为y＝2x的图象经过点（0，1），且当x＞0时，y＞1，当x＜0时，0＜y＜1，若为y＝cosx，当x＝0时，y＝1，2x+cosx不满足过点（0，1），所以只有当F（x）＝2x+sinx才满足条件，故选：D．【点评】本题考查了函数图象和识别，初等函数的图象和性质，属于中档题．6．（5分）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，清代陆以活在《冷庐杂识》中写道：“近有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻．盖游戏之具，足以排闷破寂．故世俗皆喜为之．”七巧板是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个七巧板拼成的正方形ABCD，E是AC中点，若在正方形ABCD中随机取一点，则此点落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积，即可得到结论．【解答】解：如图，设正方形EFGH的边长为1，则等腰直角△EFM的直角边长为1，斜边MF＝，∵等腰直角△GHC的直角边长为1，∴等腰直角△EBC的直角边长为2，BC＝2，∴正方形的边长为2，AC＝4，∴AM＝1，∵S阴影＝S△EBC+S四边形AMFN＝×2×2+×1××sin×2＝3，S正方形＝＝8，∴此点落在阴影部分的概率为．故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的应用，根据图形，求出对应区域的面积是解决本题的关键，属于中档题．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为16，点P在面A1B1C1D1上，且A1，C到P的距离分别为2，2，则直线CP与平面BDD1B1所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【分析】根据勾股定理计算C1P，结合A1P得出P为A1C1的中点，再构造直角三角形计算线面角即可．【解答】解：设正方体的棱长为a，则a3＝16，故a＝2，即AB＝2，∴A1C1＝a＝4，连接C1P，C1P＝＝＝2，∴A1P＝2，则点P在A1C1上且为中点，连接AC与BD交于O，连接OP，可知AC⊥平面BDD1B1，则∠CPO为直线CP与平面BDD1B1所成角，在直角三角形CPO中，∴sin∠CPO＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查了空间距离与线面角的计算，判断P点位置是关键，属于中档题．8．（5分）若数列{Fn}满足F1＝1，F2＝1，Fn＝Fn﹣1+Fn﹣2（n≥3），则{Fn}称为斐波那契数列，它是由中世纪意大利数学家斐波那契最先发现．它有很多美妙的特征，如当n≥2时，前n项之和等于第n+2项减去第2项；随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618．若第30项是832040，请估计这个数列的前30项之和最接近（）（备注：0.6182≈0.38，1.6182≈2.61）A．31万 B．51万 C．217万 D．317万【分析】先根据题中条件求出S28，再求出F29，最后求出S30即可．【解答】解：根据题意得，F30＝832040，假设{F30}的前n项和为Sn，则S28＝F30﹣F2＝832039，又因为随着n的增大，相邻两项之比越来越接近0.618，所以F29＝832040×0.618≈514200，故S30＝S28+F29+F30≈2178279，故选：C．【点评】本题主要考查数列的基本概念及前n项和的求法，属于简单题．9．（5分）我国古代入民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，E为BF的中点，则＝（）A． B． C． D．【分析】如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．利用勾股定理可得x，通过RT△ABE的边角关系，可得E的坐标，设＝m+n，路坐标运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．不妨设AB＝1，BE＝x，则AE＝2x．∴x2+4x2＝1，解得x＝．设∠BAE＝θ，则sinθ＝，cosθ＝．∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．设＝m+n，则（，）＝m（1，0）+n（0，1）．∴m＝，n＝．∴＝+，另解：过E分别作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分别为M，N．通过三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．即可得出结论．故选：A．【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数求值、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）设F1，F2为椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，F1，F2分别为左、右焦点，C1与C2在第一象限的交点为M．若△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且双曲线C2的离心率e∈[2，]，则椭圆C1离心率的取值范围是（）A．[，] B．[0，] C．[，] D．[，1]【分析】分别设椭圆和双曲线的方程，以及半焦距为c，设|MF1|＝s，|MF2|＝t，由题意可得t＝2c，再由椭圆和双曲线的定义，结合离心率公式，设椭圆的离心率为e'，可得﹣＝2，再由e的范围，可得所求范围．【解答】解：设椭圆的方程为+＝1（a＞b＞0），双曲线的方程为﹣＝1（m＞0，n＞0），椭圆和双曲线的半焦距为c，设|MF1|＝s，|MF2|＝t，由题意可得t＝|F1F2|＝2c，由椭圆的定义，可得s+t＝2a，由双曲线的定义，可得s﹣t＝2m，解得t＝a﹣m，设椭圆的离心率为e'，由e'＝，e＝，所以a﹣m＝2c，即有﹣＝2，由e∈[2，]，可得e'∈[，]．故选：C．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，AB，A1D1的中点分别是P，Q，直线PQ与正方体的外接球O相交于M，N两点，点G是球O上的动点，则△GMN面积的最大值为（）A． B． C． D．【分析】△GMN的外接圆为球的大圆，利用圆的弦长公式求出MN的值，则△GMN的高为圆上一点到直线的距离，最大值为圆心到直线的距离加半径，即当OG⊥MN时，面积最大．【解答】解：如图，设正方体外接球球O的半径为r，过球心O作OH⊥PQ，垂足为H，知H为PQ的中点．因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，所以，，所以，，所以．因为点G是球O上的动点，所以点G到MN的最大距离为，故△GMN面积的最大值为．故选：C．【点评】本题考查正方体和球的性质，圆上一点到直线距离的应用，考查直观想象能力，属于中档题．12．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a（a＞0），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（0，e2] B．（0，e2） C．[1，e2] D．（1，e2）【分析】根据f（x）＞0恒成立可得ex﹣lna+x﹣lna＞eln（x﹣1）+ln（x﹣1），构造函数g（x）＝ex+x，由g（x）的单调性可得x﹣lna＞ln（x﹣1），用放缩法求出ln（x﹣1）﹣x的最大值，从而得到a的取值范围．【解答】解：∵f（x）＝ex﹣aln（ax﹣a）+a＞0（a＞0）恒成立，∴，∴ex﹣lna+x﹣lna＞ln（x﹣1）+x﹣1，∴ex﹣lna+x﹣lna＞eln（x﹣1）+ln（x﹣1）．令g（x）＝ex+x，易得g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴x﹣lna＞ln（x﹣1），∴﹣lna＞ln（x﹣1）﹣x．∵ln（x﹣1）﹣x≤x﹣2﹣x＝﹣2，∴﹣lna＞﹣2，∴0＜a＜e2，∴实数a的取值范围为（0，e2）．故选：B．【点评】本题考查了函数恒成立问题和放缩法的应用，考查了转化思想和计算能力，属难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若（a+x）（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，在展开式中x的偶数次幂项的系数之和为8，则a＝﹣．【分析】利用赋值法分别令x＝1和x＝﹣1，建立方程进行求解即可．【解答】解：∵设（a+x）（1+x）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6＝32（a+1），①令x＝﹣1，则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝0，②①+②得，2（a0+a2+a4+a6）＝32（a+1），∵展开式中x的偶数次幂项的系数之和为8，∴2×8＝32（a+1），即a+1＝，解得a＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用赋值法建立方程是解决本题的关键，是基础题．14．（5分）已知曲线y＝ex+m+n的切线为y＝x﹣1，则一组满足条件的m，n的取值为m＝0，n＝﹣2．【分析】求得y＝ex+m+n的导数，设出切点，可得切线的斜率，由已知切线方程，可得m，n的关系式，即可得到满足条件的一组值．【解答】解：y＝ex+m+n的导数为y′＝ex+m，设切点为（x0，y0），可得切线的斜率为ex0+m，则ex0+m＝1，y0＝x0﹣1＝ex0+m+n，化为x0＝﹣m＝2+n，即有m+n＝﹣2，可取m＝0，n＝﹣2．故答案为：m＝0，n＝﹣2．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．（5分）伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则P（B|A）＝．【分析】设事件A为“抽到的2名队长性别相同”，事件B为“抽到的2名队长都是男生”，由已知得，P（AB）＝，再结合条件概率公式，即可求解．【解答】解：设事件A为“抽到的2名队长性别相同”，事件B为“抽到的2名队长都是男生”，由已知得，P（AB）＝，则P（B|A）＝．故答案为：．【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题．16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，斜率大于0的直线l经过点F2与C的右支交于A，B两点，若△AF1F2与△BF1F2的内切圆面积之比为9，则直线l的斜率为．【分析】利用平面几何图形的性质及双曲线定义可得△AF1F2的内切圆圆心为G与△BF1F2的内切圆圆心为H的横坐标相等则直线GH的方程为x＝a；在△GEF2，△HEF2中，运用解直角三角形知识及正切函数的定义和二倍角公式化简即可得到直线的斜率．【解答】解：设△AF1F2与△BF1F2的内切圆圆心分别为G，H，连接HG，HF2，GF2，△AF1F2的内切圆与三边分别切于点D，E，F，如图，则|AF1|﹣|AF2|＝|AD|+|DF1|﹣（|AE|+|EF2|）＝|DF1|﹣|EF2|＝|FF1|﹣|FF2|，所以2a＝c+xG﹣（c﹣xG），即xG＝a，同理xH＝a，所以HG⊥F1F2．设直线AB的倾斜角为θ，则θ∈（0，），在Rt△F2FG中中，|FG|＝|FF2|tan＝（c﹣a）cot，在Rt△F2FH中，|FH|＝|FF2|tan＝（c﹣a）tan，由题得|FG|＝3|FH|，所以（c﹣a）tan（﹣）＝3（c﹣a）tan，解得tan＝，所以tanθ＝＝．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的内心的概念，考查三角函数的化简和求值，考查直线斜率的求法，属于中档题．三、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{an}的前n项和满足2Sn＝3an﹣a1，且a2+2是a1，a3的等差中项，{bn}是等差数列，b2＝a2，b8＝a3．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用和等差数列的性质的应用求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．【解答】解：（1）由题意知，当n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣a1，又因为2Sn＝3an﹣a1，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝3an﹣1，故，所以a2＝3a1，由于a2+2是a1，a8的等差中项，所以2（a2+2）＝a1+a8，整理得：2（3a1+2）＝a1+a8，解得a1＝1．所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，故．设数列{bn}是等差数列，公差为d，则b1+d＝3，b1+7d＝9，解得：d＝1，b1＝2，所以bn＝2+（n﹣1）＝n+1．（2）由（1）得，所以，①，②①﹣②得：，整理得：．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．18．（12分）如图（1），平面四边形ABDC中，∠ABC＝∠D＝90°，AB＝BC＝2，CD＝1，将△ABC沿BC边折起如图（2），使____，点M，N分别为AC，AD中点．在题目横线上选择下述其中一个条件，然后解答此题．①AD＝．②AC为四面体ABDC外接球的直径．③平面ABC⊥平面BCD．（1）判断直线MN与平面ABD的位置关系，并说明理由；（2）求二面角A﹣MN﹣B的正弦值．【分析】（1）选①，求解三角形证明AB⊥BD，进一步正AB⊥平面CBD，得AB⊥CD，再由CD⊥BD，可得CD⊥平面ABD，再证明MN∥CD，可得MN⊥平面ABD；选②，得CD⊥AD，进一步得CD⊥平面ABD，再证明MN∥CD，可得MN⊥平面ABD；选③，由平面与平面垂直的性质可得AB⊥平面CBD，则AB⊥CD，进一步得到CD⊥平面ABD，再证明MN∥CD，可得MN⊥平面ABD；（2）由（1）知，MN⊥平面ABD，则MN⊥AN，MN⊥BN，可得∠ANB为二面角A﹣MN﹣B的平面角，求解三角形可得cos∠DAB＝，进一步求得二面角A﹣MN﹣B的正弦值．【解答】解：（1）选①，AD＝，在Rt△BCD中，BC＝2，CD＝1，则BD＝，又AB＝2，∴AB2+BD2＝AD2，则AB⊥BD，又AB⊥BC，BC∩BD＝B，∴AB⊥平面CBD，∴AB⊥CD，又CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；选②，AC为四面体ABDC外接球的直径，则∠ADC＝90°，CD⊥AD，又CD⊥BD，AD∩BD＝D，∴CD⊥平面ABD，而M、N分别为AC、AD的中点，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；选③，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，又AB⊥BC，∴AB⊥平面CBD，则AB⊥CD，又CD⊥BD，AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD，M、N分别为AC、AD的中点，∴MN∥CD，∴MN⊥平面ABD；（2）由（1）知，MN⊥平面ABD，则MN⊥AN，MN⊥BN，∴∠ANB为二面角A﹣MN﹣B的平面角，∵△ABD为直角三角形，且AD＝，BD＝，∴cos∠DAB＝，在△ABN中，AN＝，BN＝，∴cos∠ANB＝．故二面角A﹣MN﹣B的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了二面角的平面角的求法，是中档题．19．（12分）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X，求X的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B（n，p），那么当n比较大时，可视为X服从正态分布N（μ，σ2）．任意正态分布都可变换为标准正态分布（μ＝0且σ＝1的正态分布），如果随机变量Y～N（μ，σ2），那么令Z＝，则可以证明Z～N（0，1）．当Z～N（0，1）时，对于任意实数a，记Φ（a）＝P（Z＜a）．已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值．例如当a＝0.16时，由于0.16＝0.1+0.06，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是Φ（0.16）的值．（ⅰ）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（ⅱ）若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224【分析】（1）由随机变量X服从二项分布B（n，p），利用数学期望和方差的计算公式求解即可；（2）（i）随机变量X服从正态分布，可得X～N（1000，900），则～N（0，1），然后由标准正态分布的性质进行分析求解即可；（ii）查表可得Φ（0.53）＝0.7019，转化为P（X＜1015.9）＝0.7019，利用P（X＜1015）＝P（＜0.5）＝Φ（0.5）＝0.6915＜0.7，确定阅览室的座位数，从而得到答案．【解答】解：（1）由题意可得，随机变量X服从二项分布B（n，p），则E（X）＝np＝10000×0.1＝1000，D（X）＝np（1﹣p）＝10000×0.1×0.9＝900；（2）（i）由于（1）中二项分布的n值较大，故可以认为随机变量X服从正态分布，由（1）可得，μ＝1000，σ＝30，由题意，可得X～N（1000，900），则～N（0，1），则P（X＜994）＝P（＜﹣0.2）＝Φ（﹣0.2），由标准正态分布性质可得，Φ（﹣0.2）＝1﹣Φ（0.2），故P（X＜994）＝1﹣Φ（0.2），则P（X≥994）＝1﹣P（X＜994）＝Φ（0.2）＝0.5793，故阅览室晚上座位不够用的概率为0.5793；（ii）查表可得，Φ（0.53）＝0.7019，则P（＜0.53）＝0.7019，即P（X＜1015.9）＝0.7019，又P（X＜1015）＝P（＜0.5）＝Φ（0.5）＝0.6915＜0.7，故座位数至少要1016个，由于1016﹣994＝22，所以阅览室至少还需要增加22个座位．【点评】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查了概率问题的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20．（12分）已知N为圆C1：（x+2）2+y2＝24上一动点．圆心C1关于y轴的对称点为C2．点M，P分别是线段C1N，C2N上的点，且•＝0，＝2．（1）求点M的轨迹方程；（2）直线l：y＝kx+m与点M的轨迹Γ只有一个公共点P．且点P在第二象限，过坐标原点O且与l垂直的直线l′与圆x2+y2＝8相交于A，B两点，求△PAB面积的取值范围．【分析】（1）由题意画出图形，数形结合可得，知M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，求出a，b的值，则椭圆方程可求；（2）设出P的坐标，利用导数可得曲线在P点处切线的斜率，可得过坐标原点O且与l垂直的直线l′的方程，求出P到直线l′的距离，代入三角形面积公式，换元后利用基本不等式求最值．【解答】解：（1）C1（﹣2，0），C2（2，0），如图，由•＝0，＝2，可知MP为C2N的垂直平分线，则，∴M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且a＝，c＝2，则b2＝a2﹣c2＝2，∴M的轨迹方程是；（2）设P的坐标为（x0，y0），则（＜x0＜0），由，y′＝﹣，则＝﹣，∴过坐标原点O且与l垂直的直线l′的方程为，即．点（x0，）到直线的距离d＝＝．∴＝，令y＝，再令（0＜t＜6），则y＝＝．当且仅当9﹣t＝，即t＝9﹣时等号成立．∴△PAB面积的取值范围是（0，]．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用导数求最值，属难题．21．（12分）已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝[f（e）+e﹣1]lnx﹣x+ef'（e）+e，其中e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的最大值；（2）证明：xf（x）＜ex﹣2x2+x﹣1．【分析】（1）依题意，可求得f（x）＝lnx﹣x+1，f′（x）＝⇒f（x）max＝f（1）＝0；（2）要证xlnx﹣x2＜ex﹣2x2+x﹣1，只需证ex﹣x2﹣1＞x（x﹣1），即证ex﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）成立，令h（x）＝ex﹣2x2+x﹣1（x≥0），利用导数，可求得h（x）的最小值是h（0）＝0，或h（x2）．由h′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，进一步分析可得h（x2）＞0，从而结论成立．【解答】解：（1）因为f（x）＝[f（e）+e﹣1]lnx﹣x+ef'（e）+e，所以f′（x）＝﹣1，，解得，则f（x）＝lnx﹣x+1，所以f′（x）＝，令f′（x）＞0，得0＜x＜1；令f′（x）＜0，得x＞1．所以当x＝1时，f（x）max＝f（1）＝0．（2）证明：由（1）得f（x）的最大值为0，所以lnx﹣x+1≤0，即lnx≤x﹣1，从而xlnx≤x（x﹣1），要证xlnx﹣x2＜ex﹣2x2+x﹣1，即xlnx＜ex﹣x2﹣1，故只需证