2023届高三数学一轮阶段性测试题12算法初步、复数、推理与证明（含解析）北师大版

PAGE3-阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题)两部分．满分1５0分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共50分）一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．(2015·武汉市武昌区调研)已知i是虚数单位，则ｅq\f（2+ｉ,3-i)=()Ａ.eq＼f(1,２)－eq\f(1,２)ｉﻩB．eq\ｆ（７，２)－eq＼f(１,2)iC.eq\ｆ（1，２）+ｅq\ｆ（1,2)i D.eq\f（7,2)＋eｑ\ｆ(1，2）i［答案]C[解析]eq\f(2＋i,３-i）＝eｑ＼f（2＋i３＋i,3-i3＋ｉ)＝eq\f(５＋5i,1０)＝ｅq\ｆ（1,2）＋ｅｑ＼ｆ(１，２)i.2．(文)(20１４·济南模拟)复数ｚ=eq\f(ｉ,1＋i)在复平面上对应的点位于()A．第一象限 B.第二象限Ｃ．第三象限 D.第四象限［答案]A[解析]z＝eｑ\f（i,１+i)=ｅq\f（i1－i,1+ｉ1－ｉ)=eq\ｆ(1＋i,2）=eq＼f(1，２)＋eq\f(i,2)，所以复数z对应的点为(ｅq\f(1,2），eｑ\f(1,2))，在第一象限.（理)(2０14·郑州六校质量检测)设复数ｚ=a+bｉ(a,b∈R)，若eq\f(ｚ,1＋ｉ)=2－i成立,则点P(ａ,b)在（）A．第一象限 Ｂ.第二象限C．第三象限 Ｄ.第四象限[答案]A[解析］因为eｑ\f(z,1+i）=2－i,所以ｚ＝(2-i)(1+i)＝3＋i,所以点P(a，b)在第一象限.３.（文)（20１4·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的ｎ的值为（)A.1 B.2C．3ﻩＤ．4［答案］Ｂ[解析]本题考查了程序框图的相关概念.S1：ｎ＝1,２１＞１2→是，S2:ｎ＝2,22＞22→否,输出n=2.关键是理解赋值语句n+1及条件2ｎ>n2．(理)(２014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序,输出的Ｓ的值等于()Ａ.18ﻩB.20C.２1 Ｄ．4０[答案］B[解析]本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3,当n=2时,Ｓ＝3+２2+2=９,当ｎ=3时,S=9+23＋3=20＞１5，故输出Ｓ＝20．4．若下边的程序框图输出的S是１２６,则条件①可为()A．n≤１5ﻩB．n≤6C．n≤7 D.n≤8［答案]B[解析]由程序框图可知这是计算Ｓ＝0+2+２2＋…+2ｎ=eｑ\f(２１－２ｎ，1－2)=２ｎ＋1-2的程序，当S＝2n+1－2＝1２6时,即２ｎ＋1=1２８,解得n＝６,此时ｎ=n+1＝７，不满足条件,所以选B.5.(文）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密），接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文ａ,b,c,d对应密文a＋２ｂ,2b＋c,2c＋3d,4ｄ，例如,明文１,2，3,4对应密文5，7,１8,1６.当接收方收到密文14,9,2３,２8时,则解密得到的明文为(）Ａ.4，6,1,7 B.7,6,1，4C．６,４,1,７ D.１，6,4，7［答案]C[解析］因加密规则可得eq\b\lc\｛＼rc＼(\a\vs４＼al\cｏ1(ａ＋2b=14,2b＋c=9,2c+3ｄ=２3，４d=28,))⇒eq\b＼ｌｃ\{\rｃ＼(\a\vｓ４\al＼cｏ1（ａ＝6，b＝４,c＝1,ｄ=7）)．故明文为6,４,１,7.（理)设Ｍ=（eq\f(1,a)－1)(eq\ｆ(1,b）-1)（eq＼f（1,ｃ)－1），且a＋b＋c＝1(ａ，b，ｃ均为正数)，由综合法得M的取值范围是()A.[０,eq＼f(1,8)］ﻩB．[eｑ\f（1,8)，1)C．[1，8］ D．［8，＋∞）[答案]D[解析］由a+ｂ+c＝1,M＝（eq\f(b，a)＋ｅq\f(c，ａ))(eｑ\ｆ(ａ,b)+ｅq＼f(c，ｂ))(eq＼f(a,ｃ）+eｑ＼f(b,c))≥8(当且仅当ａ=b＝c时取等号．）6．(20１5·济南模拟）下面有四个命题:①集合Ｎ中最小的数是1;②若-ａ不属于N,则a属于N；③若a∈N,b∈Ｎ,则a＋b的最小值为２；④x2＋1=2x的解集可表示为{1,1}．其中真命题的个数是()A.0 B.1C．2 D.３［答案]Ａ[解析]①假命题，集合Ｎ中最小的数是0;②假命题,如a=eq\ｆ(１,２)时，命题不成立；③假命题，如a=０,b=1,则ａ＋b＝1;④假命题,{１，1}与集合中元素的互异性矛盾,其解集应为{１}．7.(文）设z＝1-i(i是虚数单位），则复数eq＼f(2,z）+i2的虚部是(）A.1ﻩB．-1C．i D．-i[答案]A[解析］因为ｚ＝1-i（i是虚数单位），所以复数eq\ｆ(2，z）＋ｉ2＝ｅq＼ｆ(2，1-i)+ｉ2=1+ｉ－1=i,所以复数ｅｑ\f（2，z)＋i２的虚部是1.(理）设复数z＝1＋ｂｉ(b∈R）且｜z｜＝２，则复数ｚ的虚部为()A.eq\r(3) Ｂ．±eq\r（３)C.±1 D.±eｑ＼r（３)i[答案]B[解析]ｚ=1＋bi，且|z|=2,即1+b2＝４，解得b=±ｅq＼ｒ（3)．８．(文)已知M是ｅx+e-ｘ的最小值，N＝eq\f(2tan２２.5°,1－tan222.5°），则下图所示程序框图输出的Ｓ为()A.2ﻩB.１C．eq＼f(1,2)ﻩＤ.0[答案]Ａ[解析]∵ｅx+e-x≥2eｑ\r(ｅｘ·e-ｘ）＝2，∴M＝2,N＝eq＼f(2ｔan2２.５°，1-tａn2２2．5°）=tan４5°=1，所以M＞N,又框图的功能是求M，N中的较大值，故输出的值为2.(理)已知函数y=ｅq\ｆ（1,x)与x=1，x轴和x=ｅ所围成的图形的面积为M，Ｎ=eq\f(tan2２.５°，1－tａn222.5°）,则程序框图输出的Ｓ为（)A.1 B.2C．ｅｑ\f（１,２) D．0[答案]Ｃ[解析]因为2N=eq\ｆ（2tan２２.5°,1-tan222．5°)=tan45°=1，所以N=eq\f(1,2)，M=ｅq＼i\iｎ(1,e,)eq\f(1,ｘ）dx=lnx|ｅq\o\al(ｅ，1）=1,所以M>N,又框图的功能是求M，N中的较小值,故输出的值为eｑ\f(1,2).9.(2014·新课标Ⅱ)执行下图程序框图,如果输入的ｘ,t均为2，则输出的S＝（)A.4 B．５Ｃ.6 D．７[答案]D[解析]本题考查程序框图的基础知识．x=2,t＝2，变量变化情况如下:MSk131252273故选D.１０.（文)设x，y∈R,a>1,b>1，若ax＝ｂy＝２,a2＋b＝4，则ｅq\f(2，ｘ)+eq\ｆ(1,y）的最大值为()A．1 Ｂ.2C．3 D.４[答案］B[解析]因为ax=by=2，所以x=loga2，ｙ=loｇb2,所以eq\ｆ(2,x)+ｅq＼f(1,y）＝2log２ａ＋log2b=log2(ａ2b)≤lｏg2（eq\ｆ(a2+b,２)）2＝２，当且仅当a2＝b＝2时取等号．（理)定义在R上的函数ｙ＝f(x）,满足f(3-ｘ）=f(x),(x-eq\f(3,2）)f′(x)<０，若x1<ｘ2，且ｘ1＋x2>3,则有()A．f(x1)<ｆ(x2)ﻩB．f(ｘ１）>f（x２）Ｃ．ｆ(x1）=ｆ(x2)ﻩD.不确定[答案］B[解析]因为函数ｙ=ｆ（x）,满足f(3-x)＝f(x），所以函数y=f(ｘ)的对称轴为x=eq\f(3,2).又因为（x－eq\f（3,2))f′(x)<0,所以ｘ<eｑ\f(3,2)时,f′(ｘ)>0,ｘ＞eｑ\f（3,2)时，f′（x)<0，所以函数y＝f(x)在（－∞，ｅq\f(３,2）]上单调递增;在[eq\f(３,２）,＋∞)上单调递减.又因为x１<ｘ2，且x1＋x2>3，所以3－ｘ２<x1<x2，且ｘ2∈(eq\ｆ(3,2),＋∞),观察图像，得f(x1)>f(x2)．第Ⅱ卷(非选择题共１0０分)二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)1１.(文)(2014·北京高考）若(x＋ｉ)i=-１＋2i（x∈R),则x＝________.[答案]2[解析]本题考查了复数乘法、复数相等的知识．(x＋ｉ）i=－1＋xi＝-1+２ｉ,x＝２.(理)(2０14·北京高考)复数(ｅq＼f(1+i，1－i)）2＝__＿__＿＿_.［答案］－1[解析]本题考查了复数的运算.复数ｅq\f(1＋i,1-i)＝eq\f(1＋i2,1-i1＋i)=ｅｑ＼ｆ(２ｉ,２)＝i,故(ｅq\f（1＋i，１－i))2＝ｉ2=－1.１2．在复平面上，复数eq\f(3,２-i2)对应的点到原点的距离为＿___＿___．[答案]eq\ｆ（3,５)[解析］复平面上复数z对应的点到原点的距离就是它的模,而|eq\f(３,2－ｉ２)|＝ｅq\ｆ(3,|2－ｉ|２)=eq＼f(3,5),本题不需要把复数化简为ａ＋bi(ａ，b∈Ｒ）形式．１3．程序框图如下:如果上述程序运行的结果为Ｓ=１32,那么判断框中横线上应填入的数字是＿＿____＿_．[答案]1０[解析］由题设条件可以看出,此程序是一个求几个数的连乘积的问题,第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝１1×１２，故循环两次，故判断框中应填k≤1０.１4．观察下列等式:eq\f(3,1×２)×ｅq\f（1，2)＝1-eq\f(1,２2),eｑ\ｆ(3,１×2)×ｅq\f(1,2）＋ｅq\f（4,2×3)×ｅq\f(1，2２)＝１－eq\f（1,３×22)，eq\f(３,１×2)×eq\ｆ(1,2）+eq\f(４,2×3)×ｅq\f(1,22)＋ｅｑ＼f(５,3×4)×eq\f(１,23)＝1-eq\f（１,4×2３),……,由以上等式推测到一个一般的结论:对于ｎ∈N＊，eｑ＼f(3，1×２）×ｅｑ\f（1,２)+eｑ\ｆ(４,2×3）×eq\ｆ（１,22)+…+ｅq\ｆ（n＋2,nn＋1）×eｑ\f(1，2n)=＿＿______.[答案]1-eq\f(1,ｎ＋１·2ｎ)［解析]由已知中的等式：eｑ\f(３，1×２)×eq\f(1,2）=1-ｅｑ\f(１,２2)eq\f(3,１×2)×eq\f（1,2）+ｅｑ＼f(4，2×3)×eq\f(1,22)＝１-ｅq＼ｆ(1，３×22）,eq\f(3，1×２)×eｑ\ｆ(1，２)+eq\f（4,2×3)×ｅq\f(1,22)＋eq\ｆ(5,3×4)×ｅｑ\f（1，23)=1－eq\ｆ(１,4×２３），…,所以对于ｎ∈N＊，ｅｑ\f（3,1×2)×eq\f(1,２)＋eq＼f(4,2×3）×eq\f(１,22)+…+eq＼f（ｎ+2，nn＋1）×eq\f（1，2n)=1-eq\ｆ（1，n+12n).１5.(20１5·温州适应性测试)已知cｏｓeq\f(π,3)＝eｑ\ｆ(１，2),cｏseq\f(π,５)coｓeq\ｆ(２π,5)＝eq\f（1,4),cｏsｅq\f(π，7)coseｑ\f(2π，7)ｃosｅq＼f(3π,7)=eｑ\f(１,8)，……(１)根据以上等式,可猜想出的一般结论是_＿_＿_＿___＿___________＿____＿___＿_____;(2）若数列{aｎ}中，a1＝ｃｏsｅｑ\ｆ(π,3)，a2=ｃｏｓeq\f(π,５)coseq\f(2π,5),a３＝cosｅq\f(π,7)·cｏsｅq\f（２π,７）cｏｓeｑ\f（3π,７)，…,前ｎ项和Ｓn＝eq＼f(１0２3,1０24),则n＝_＿____＿_.［答案](1)coｓｅq\f(π，2n＋1)·coseｑ\f(２π,２n＋1)·…·ｃoｓeq\f(nπ,2n＋1)＝eq\ｆ(1,2n)(n∈Ｎ*)(２)10[解析］(1)从题中所给的几个等式可知,第n个等式的左边应有n个余弦相乘,且分母均为2n＋1,分子分别为π,2π，…，nπ，右边应为ｅq\f(1,２ｎ），故可以猜想出结论为ｃoseq＼f(π,2n+1)·coseq＼ｆ(2π,2n+1)·…·ｃoｓeq\f(nπ，２n＋1)=ｅq＼ｆ（１，2n)（n∈N*).(2)由(1）可知an=eq\ｆ（1,2n),故Sn=ｅq\f（＼f(1,2)［1－＼ｆ(１，2）ｎ]，1－\f(1,２))=1－eq\f（1,２ｎ)=eq＼f(2n－1,２n）＝eｑ\f(1023,１0２4)，∴n=1０．三、解答题（本大题共6个小题,共7５分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分）实数m分别取什么数值时,复数z=(ｍ2＋５m＋6)＋(m2－2m－15)i；（1)与复2－1２i相等?(２）与复数12+16ｉ互为共轭复数？(３）对应的点在ｘ轴上方？[解析](1)根据复数相等的充要条件得eq\b＼lc\{＼ｒc\(\ａ\vs4\aｌ＼cｏ1(ｍ2＋5m+６=２,,m2－2ｍ－15=-１２.))解得m=－１．(2)根据共轭复数的定义得ｅq\b\lｃ\{\ｒc\(\a\vｓ４\al\ｃo1(m２+5m＋6=1２，,m2－2m－15＝-１6.)）解得m＝1.（3)根据复数z对应的点在x轴上方可得m２-2ｍ-１5>0，解得m<-3或m>5．1７.（本小题满分12分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为b件．经市场调查得到如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量Ｓ（件）与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(１)试写出该产品每天的销售量S(件)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式；(２)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加9０%,则每天电视广告的播放量至少需多少次?［解析](1）设电视广告播放量为每天ｉ次时,该产品的销售量为Ｓｉ(０≤i≤n，ｉ∈N）.由题意，Si=ｅq＼b\ｌc\｛\ｒc\（＼ａ\vs4\ａl\co1(b，i＝0，,Sｉ－1＋\f(ｂ,2ｉ),1≤ｉ≤n,i∈N*.)）于是当i＝n时,Sn=b＋(ｅq＼f（b，２)+ｅｑ＼ｆ(b,22)＋…+eｑ\f(ｂ，2n))=b(2-eq＼f(1,２n))(n∈N)．所以，该产品每天销售量S（件)与电视广告播放量n(次/天）的函数关系式为S=b(2-ｅq\f(1,２ｎ))，ｎ∈N.(2)由题意,有b(2－eq\f(１,2n))≥1.９b⇒2n≥10⇒4(n∈N*)．所以,要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%,则每天广告的播放量至少需4次.18.(本小题满分12分)求证关于x的方程ax2＋２x＋1=0至少有一个负根的充要条件是a≤1.［分析]需证明充分性和必要性.证充分性时，可分ａ=0,a<0和０<a≤1三种情况证明;证必要性,就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件．［证明]充分性：当a=0时,方程为2ｘ+1=0，其根为x=－ｅq\f(1,２),方程有一个负根,符合题意．当a＜0时,Δ＝4－4a＞0，方程ax2+2ｘ+1＝0有两个不相等的实根，且eq＼f(1,a）＜0,方程有一正一负根,符合题意.当0＜a≤1时,Δ＝4-4a≥0,方程ａｘ２+2x+１=0有实根，且eq＼b\lc\{\rｃ\(\a\vs4\al\ｃo１（－\f(2,a)＜0，\ｆ(１,a)＞0))，故方程有两个负根,符合题意.综上知:当a≤1时,方程aｘ2+2ｘ＋1＝0至少有一个负根.必要性：若方程ax2＋2x＋1=0至少有一个负根.当a=0时，方程为2ｘ+1=0符合题意.当ａ≠0时，方程aｘ2+２x+1=0应有一正一负或两个负根.则ｅq＼f(1,ａ）<0或eｑ\ｂ\lc\{＼rｃ\（\ａ\vs4\al\ｃo1(Δ=4-４a≥０，-\f(2,ａ）<０，＼f（1,ａ)＞０))．解得a<0或0<ａ≤1.综上知:若方程aｘ２＋２x＋1＝0至少有一负根则a≤１．故关于ｘ的方程ax2＋2ｘ+1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.19.(本小题满分1２分）设复数z＝lg(m2-2m-2)＋(ｍ２+3m+２）i，当实数m取何值时．（1）z是纯虚数．(2)ｚ是实数.(3)z对应的点位于复平面的第二象限.[解析］(１)由题意知ｅｑ\b＼lｃ\{\rc\(＼a\vs4\ａl\co１（lｇｍ2－２ｍ－2＝０，,m2+３m+2≠0.)）解得m＝３．所以当ｍ＝3时，z是纯虚数．(2)由m２+3ｍ+2=0，得ｍ=－1或ｍ=－2，又m＝-１或m＝－2时，m2－２m－２>0,所以当m＝－1或m＝-2时,z是实数．(３)由eｑ\ｂ＼lc\{＼ｒｃ＼(\a\ｖs4\al＼co1（lgm2－2ｍ-２＜0,，ｍ２+3m+２＞0.)）即eq\b\lc\{\ｒｃ\(\a\vs4\al\cｏ1(m2-2m－2>0,m2-2m－３<0,m2+3ｍ＋2>0）)解得:－1<m<1-eq\ｒ(３)或１＋eq＼r(３）＜ｍ<3.所以当－１<ｍ<1-ｅｑ\r(3)或１+eｑ\r(３）<m<3时,z对应的点位于复平面的第二象限.２0.(本小题满分1３分）在△ＡBＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、C的对边分别为ａ、b、c,若eｑ\f(1,ａ＋ｂ）＋eq\f(1,b+c）＝ｅｑ\ｆ（３,a+b＋c)，试问A，B,Ｃ是否成等差数列，若不成等差数列,请说明理由.若成等差数列，请给出证明．［解析]A、B、Ｃ成等差数列.证明如下:∵eq\f(1,a+b)＋eq\ｆ（１,b+ｃ)＝ｅq\ｆ（3,ａ＋b+c),∴eｑ＼ｆ(a+ｂ＋c,a+b)+eq\f(a＋b＋ｃ,b＋c)=3．∴eｑ\ｆ(c,ａ+b)＋eq＼f(a,ｂ+c)=1,∴c(b+ｃ)＋a(a+ｂ)=(a＋b)(b＋c),∴b2=ａ2＋c2-aC.在△ABＣ中，由余弦定理,得cｏsB=eq\f(ａ2+c2-ｂ2,2ac