2023届高三数学一轮基础巩固第8章第4节椭圆（含解析）新人教B版

PAGE1-【走向高考】20１６届高三数学一轮基础巩固第8章第4节椭圆新人教B版一、选择题1.（文)(20１4·长春模拟）椭圆x2+4ｙ2=1的离心率为()A.ｅq\f（\ｒ(3)，2) B．eq＼ｆ(3,４)C.eq＼f(＼r（2),2)ﻩD.ｅｑ\f(2,3)［答案］A［解析］先将x2+4y２＝1化为标准方程x2+eq＼f(ｙ2,＼f(1,４)）＝１,则a＝1，b=ｅq＼ｆ（１,2)，ｃ＝ｅｑ\r(ａ2－b2)=eq\f(\r(３）,2）.离心率e＝eq\ｆ（c,a）=eq\ｆ（\r(3),2)．（理)椭圆eq\f(ｘ2,a2）＋eq\ｆ(y2，ｂ2）＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d２,焦距为2c.若d1,２c，d2成等差数列,则椭圆的离心率为（)A．eq＼f(1,2)ﻩB．eｑ\ｆ(\r(２)，２)C.eq\f(\r(3），２） D.ｅq＼ｆ（3,4）［答案］Ａ[解析］由椭圆的定义,d１＋d2＝２a,又由题意得d1＋d2＝４c,∴２a=4c，∴e＝eq\ｆ（c，a)＝eq\ｆ(１，2）．２.(文）已知椭圆eq\f(x2,10-m)+ｅq\f(y2,m－2）＝1,长轴在ｙ轴上,若焦距为4,则m等于(）A．4ﻩB．5Ｃ．7ﻩＤ.8[答案]D[分析]方程表示椭圆时,分母都大于0，又焦点在y轴上,∴ｙ２项的分母较大，依据焦距为4列方程求解．[解析]由题意知,m-２>10－m>0，∴６<m<1０，∵焦距为４,∴c２＝4,∴(m－2）-(10-m)=4，∴ｍ＝8.(理）（2０１3·云南省名校统考)已知k＜4,则曲线eq\f（x2,9）＋eq\f(y２,４)=1和eq＼f（x2,9－k)+ｅq\f(y2,４－k)＝1有(）A.相同的准线ﻩB．相同的焦点Ｃ．相同的离心率ﻩD.相同的长轴[答案]B［解析]∵ｋ<４,∴曲线ｅq＼f(x2,9－k)＋eq＼f(ｙ2,4-ｋ）=1表示焦点在ｘ轴上的椭圆，又∵(9－k)－(４-k)=9－４=5,∴两椭圆有相同的焦点.3．(文）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为ｅq\f(1，3)，则椭圆方程为(）A.eｑ＼ｆ(x2,144）+eq＼f(y２,１28)=1ﻩB.eq\f(x2，３６）＋eq\f(y2,20)＝1C.ｅq\ｆ（ｘ2,32）+eq\f(y2，36)＝1 Ｄ.eq\f(x２,３６）＋eq\f(y2,32)＝１[答案］Ｄ[解析]2a=12,∴a=６,∵e＝ｅq\ｆ(c,a)＝ｅq＼f（1,3),∴c＝2,∴ｂ２=a２－c２=32，故选D.(理)(2014·佛山月考)设F1,F2分别是椭圆eq\f(x2,４)+y2＝１的左、右焦点,P是第一象限内该椭圆上的一点,且PF1⊥PF2,则点P的横坐标为(）A.１ﻩB.eｑ\f(8,3）C．２eq\r(３) D．ｅq\f(2\ｒ(6）,3)［答案]D［解析］由题意知，ｃ2=a2－b2＝4－1＝３,点Ｐ即为圆ｘ２+ｙ2=3与椭圆eq\f(x２,4）+ｙ2＝1在第一象限的交点,解方程组eq＼b＼ｌc\{\rc\（\a\vs4\ａｌ＼co1(x2+ｙ2＝3,,\f(x２，４）+y2=1，))得点Ｐ的横坐标为eｑ＼f(2\r（６),3).４.（２014·豫东、豫北十所名校联考）已知椭圆C：ｅｑ\f(x2,a２)+ｅq\f(ｙ2,b2)＝1的左、右焦点分别为F1，F２，Ｐ为椭圆Ｃ上一点,若△F1Ｆ2P为等腰直角三角形,则椭圆Ｃ的离心率为()Ａ.eq\f(\r(2),2)ﻩB．eｑ\r（2)-1C.eq\r(2)－1或ｅq＼f(\ｒ(2),2) Ｄ．eq\ｆ(\r(２),4)[答案]Ｃ[解析］当∠F1ＰF2为直角时,P为椭圆短轴端点,∴b＝c，∴eq＼ｆ(c2,a２）＝eｑ\f(1,２）,∴e=eq\ｆ（\r(2),2);当∠Ｆ1F2P或∠F2F１P为直角时，eq\f(b2,a)＝2c,∴ｂ2＝2ac,∴a2-c2=2ac，∴ｅ２+２e－1＝０，∴e=ｅq\r(2）-1.5.(文)已知圆(x+2)2+y2＝3６的圆心为Ｍ,设A为圆上任一点,N(2,0）,线段AN的垂直平分线交ＭＡ于点P,则动点P的轨迹是()Ａ.圆ﻩＢ.椭圆Ｃ.双曲线ﻩD．抛物线［答案]Ｂ[解析]点Ｐ在线段AN的垂直平分线上,故|PA|＝｜ＰN|，又AM是圆的半径,∴|PM|＋|PN|＝|ＰM|+|PA｜＝|AM|=6＞｜MN|,由椭圆定义知，P的轨迹是椭圆.(理)P为椭圆ｅq\ｆ(ｘ2,４）+ｅｑ\f(ｙ2,3)=1上一点,Ｆ1、Ｆ2为该椭圆的两个焦点,若∠F1PＦ2＝6０°,则eq\o(ＰF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up６(→)）等于()A．3 B．eq\r(3)C．2ｅq＼r(3) D.2[答案]D[解析]由题意可得|Ｆ１F2|=2,｜PF1｜+｜PF２|＝4，|Ｆ１F2|2=|PF1|２+|PF2|２-2|PF1||PF2|·cos６０°=(|PＦ1|＋|PF2｜)2－3|PF1｜｜ＰF2|,所以４＝４２－3|ＰF1||PF2｜，|PF１｜|ＰF2|=4,eq＼o（PＦ1,＼s＼up６（→))·eq\o(PF2，\s\ｕp6(→))＝|eq\ｏ(PF1,＼ｓ＼up6(→）)｜|eq\o(PF２,\s\ｕp6（→）)|·cos60°＝４×eq＼f(1,2)＝２，故选Ｄ.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知F１(-3，0)，Ｆ2(３，0)是椭圆eq＼ｆ(x2,a2）+ｅq\f(ｙ2，b2）＝1(a＞b>0)两个焦点,Ｐ在椭圆上，∠F１PＦ2＝α,且当α=eq\f（2π,3）时，△F１ＰF２的面积最大,则椭圆的标准方程为()A.ｅq\f（x2，１２)＋eq\f(y２,3)＝1ﻩB.eq\f（ｘ2,１4)＋eq\f(ｙ２,５)＝１C.eq\f(ｘ2,15)+eq\ｆ(y2，6)=1ﻩＤ．eｑ\f（ｘ２,16)＋ｅq＼f（y2，7)＝1[答案］A[解析］∵|F1F２|为定值,∴当Ｐ在短轴端点时，S△F1ＰF2最大,∵∠Ｆ1PＦ２=eｑ\f（2π,３)，∴∠PF1F2=eｑ\f(π,6)，∴taneq\ｆ（π,6)＝ｅｑ\f(ｂ,c)，∵c＝3，∴ｂ＝eq\r（3),∴a2＝b2＋c2＝1２，椭圆方程为eq\f(ｘ2,12）+ｅｑ＼f(ｙ２,３)=1．二、填空题７.(文)已知eq\f(1,m)+ｅq\ｆ(２，n)=1(ｍ>0，ｎ>0),则当ｍｎ取得最小值时，椭圆eｑ\f(ｘ２,m2)＋ｅq\ｆ(y2,n2)＝1的离心率是__＿_____.[答案］ｅq\f（\ｒ（３),2)［解析]∵m＞0，n＞0∴1＝eq＼f（1,m)+ｅq＼f(2,n)≥2eq\r(\f(2，mn)）,∴mn≥8，当且仅当eq＼f（1,m）＝ｅq\f(2,n），即n=２m时等号成立，由eq\b\lｃ\{\rc＼(\a＼vs4\ａl\ｃo１(ｎ=2m,,mｎ＝８,）)解得m＝2，n＝4.即当ｍ＝2，ｎ=4时,mｎ取得最小值8，∴离心率e=eｑ\f（\r(n2-m2）,n）=eq＼f（\ｒ(3）,2）.(理)已知实数k使函数y＝ｃoｓkx的周期不小于2，则方程eq\ｆ（x２，３)+eq\ｆ(y2,ｋ）＝1表示椭圆的概率为_＿__＿___.［答案]eq\f(1,2)[解析]由条件ｅq\ｆ(2π，|k|)≥２,∴-π≤k≤π,当0<k≤π且k≠3时,方程ｅq\ｆ(x2,3）＋eq\f(y２,k)＝1表示椭圆，∴概率P=eｑ\ｆ(１,2).８.（2０１4·辽宁理,１5)已知椭圆C：eq\f（x2,9）+eq\f(y2,4）=1，点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段ＭN的中点在C上,则|ＡN｜+|BN|=_____＿＿_．[答案]12[解析］如图．设ＭN与椭圆的交点为D，由中位线定理．｜ＡN｜+|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)由椭圆的定义知｜DF1|+|DF2|=2a＝6.∴|AＮ｜+|BN|=12．９．(20１４·山东济南二模)若椭圆C1：eｑ\f(x2,a＼o\aｌ(2,１))+eq\f（ｙ２,b\o\ａl(２，1))＝1(a1>b１>0)和椭圆C２：eq＼f（x2,a\ｏ＼ａl（2,２)）＋ｅq\f(y2,b\o\al(2,2))=1(a２＞b2>0)的焦点相同且a１>a2.给出以下四个结论：①椭圆Ｃ1和椭圆C2一定没有公共点;②eq\f（a1,a２）>eｑ＼f(b1,ｂ2);③aeｑ\o＼ａｌ(２,1)-aeq\ｏ\ａl（2,２)＝beq\o\al（2,1)－beq\ｏ\ａｌ(2，2)；④a1－a2<ｂ1-b2.其中,所有正确结论的序号是_____＿_＿．[答案］①③④[解析]由于两椭圆焦点相同，且ａ1>a２，故b1>ｂ２,因此两椭圆必无公共点，即命题①为真命题;又由于两椭圆焦点相同，ａ１>a２，aeq＼ｏ\ａl(２,１)ｂeq\o\al（２,2）＝aｅq\o＼ａl(２,１)(ａeｑ\o\aｌ(2,２)－ｃ２)<aeｑ＼ｏ\al(2,2)(ａeq\ｏ\al（２，１）-c2)=aｅq\o＼aｌ(2,２)bｅq＼ｏ\al(2,1）,故eq\ｆ(a1,ａ２）<eq\ｆ(b1,b2）,即命题②为假命题；由焦点相同得aｅq\o＼al(２,1）－beq\o＼al（2,１）=aeq\o＼ａl(2，2)－bｅq\o\al（２,２),故ａeq\ｏ\al(2,1)－aeｑ\o\aｌ（２,2）=beq\o\al（２,1)－beq＼ｏ\al(2,2）,即命题③为真命题;因为ａeｑ\o＼ａl（２,1)-aｅｑ＼o＼al（２,2）＝ｂeq\o\aｌ(2,1)－beq\o\al(2,2），即(a1－a２)(ａ１＋a２）=(b１-ｂ2)(ｂ1＋b2）⇒ｅq＼f(a1-ａ2,b1－b2）＝eq＼f(b1＋b2,ａ１＋a2)<1,故有a１－ａ2<ｂ１－b2,即命题④为真命题,综上①③④为真命题.三、解答题10.(文)(２013·福建四地联考)已知椭圆C:ｅｑ＼f（x2,a2)＋eq＼f(y2,ｂ２)＝1(a>ｂ＞0)的焦距为2ｅｑ\r（6),椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆Ｃ的方程；(2)设直线l：y＝kｘ-2与椭圆Ｃ交于A、Ｂ两点，点P(0,1),且｜PＡ|=｜ＰB|，求直线ｌ的方程.[解析](1）由已知得２a＝6,2c=2eq\r(6）,解得a＝3，c＝eq\r(６)，∴b2＝a2-c2=3,∴椭圆C的方程为eｑ\ｆ(x2,9)+eq\ｆ(y2,3)＝1.(2)由eq\b＼lc\{\rc\(\a\vs４\al\co１（\f(ｘ２,9)＋\f(y2,3)=1，,y＝ｋｘ－2，))消去y得(1+3ｋ2)x２-1２kx+３=0，∵直线与椭圆有两个不同的交点,∴Δ＝1４4k2-１２（1+3k２)>0,解得k２>eｑ＼ｆ（１,9）．设Ａ(x1,ｙ1)，Ｂ(x2,ｙ2),则x1+x2＝ｅq\f(12k,1+3k２),x1x2=eq＼f(3,1+3ｋ２)，∴ｙ1+ｙ2＝k(x1＋x2）-4＝k·eq＼f(1２k，１＋３ｋ2)－4＝-eｑ\f(４,1+3k2）,∴ＡＢ中点坐标E（ｅq\f(6k,１＋3k2)，-eq\f(2,1＋３k2)),∵|PA|＝|ＰB|,∴PE⊥AＢ，kＰE·ｋAB=-1,∴eq＼ｆ(-＼f(2，１＋3k2)－1,＼f(6ｋ,1+3k2）)·ｋ＝－１，解得k＝±1.经检验，符合题意，所以直线l的方程为x-y－２＝0或ｘ+y＋2＝0．(理)已知椭圆G:eq\f(x2，ａ2)＋eq\f(ｙ2，b2)=1(a>b＞0)的离心率为eq\f(\ｒ(６),3),右焦点为(2ｅq\r(2)，0）,斜率为１的直线l与椭圆G交于Ａ,Ｂ两点，以AＢ为底边作等腰三角形,顶点为P(-3，2).(1)求椭圆G的方程;(2）求△PAB的面积．[解析］(1）由已知得，c=2eq\ｒ(２),ｅq\f(c,a)=eq\ｆ（\ｒ(6）,3),解得ａ=2ｅｑ\r(３）,又b2＝a２－ｃ2＝4，所以椭圆Ｇ的方程为ｅq＼ｆ（x2,12)+eq\f(y2，4)＝1.(2)设直线l的方程为ｙ＝x＋m，由eｑ\b\lc＼｛\ｒｃ\(\a\ｖｓ4\ａｌ\ｃo1（y＝x+m，,\f(x2，1２）+\f(y2,4)＝１,))得4x２＋6mx＋3m２－１２=0．①设A、B的坐标分别为(x１,ｙ１),（x2,ｙ2)(ｘ１<x2)，AB中点为E(x0，y0),则x0＝ｅｑ＼f(x1+x2,2）=－ｅq\f（３ｍ,４),y0=ｘ0＋m＝ｅｑ\ｆ(m，４).因为AB是等腰△ＰAＢ的底边，所以PE⊥AB，所以PＥ的斜率k=eq\f(２－\f(m,４),－3+\f(3m,4))＝-1．解得m＝２，此时方程①为4x2＋1２ｘ=0,解得x１=-３,ｘ2＝0,所以y1=-1,ｙ２＝2,所以|ＡＢ|＝3ｅｑ\r(２）,此时，点P(-３,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d＝eｑ\ｆ（|-3－2+2|，\ｒ(2))＝eq\f(3\r(2),2）,所以△PAＢ的面积S＝eｑ\f(１,2）｜AB|·d＝ｅｑ\f(9,2)．一、选择题11.若直线mx＋ny＝４和圆x２＋y2＝4没有交点,则过点（m,n)的直线与椭圆ｅq＼f（x2,9)+eq\f(y2，4)＝1的交点个数为（）A．至多一个ﻩB．2个C.1个 D.0个[答案］B[解析]∵直线与圆无交点，∴ｅq＼ｆ（4,\ｒ(m2+n2)）>２,∴ｍ2+n2<4，∴点(m,n）在圆内，又圆在椭圆内,∴点(m,n)在椭圆内，故过点(m，ｎ）的直线与椭圆有两个交点.12．椭圆eq\ｆ(x2,ａ２）＋eｑ\f(y2,b2)=1(ａ＞b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F１、Ｆ2,D是它短轴上的一个顶点，若2eq＼o(ＤF１,＼s＼uｐ６(→）)=ｅｑ\ｏ(DA，\s＼up6(→))+eq＼ｏ（ＤF2,\s\up6(→）),则该椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2） Ｂ.eq\ｆ（１,3)Ｃ．eq\f(1,４） Ｄ.eｑ\ｆ(１,5)[答案]B[解析］由２ｅq\o(DＦ1,\s\ｕp6(→))＝eq\ｏ(ＤA,\ｓ\up6（→))＋ｅq＼o（DF2,\s\up6（→）)知F1是AF2的中点，∴a-c=2c,∴ａ=3c，e＝eq＼f（1,３).13.（2014·湖南六校联考）已知F1,F2分别是椭圆ｅq\ｆ(ｘ2,４）＋ｅq\ｆ(y2,３)=１的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1Ａ的延长线、Ｆ1F2的延长线以及线段ＡＦ２相切，若M(t,0)为一个切点，则()A.t=２B．t>2C.t<２D．t与2的大小关系不确定[答案］A[解析]如图,P，Q分别是圆Ｃ与F1A的延长线、线段AＦ2相切的切点，|ＭＦ2|=|Ｆ２Ｑ|=2a-(｜Ｆ1A|+|AQ|)=2ａ－｜F1Ｐ|=２ａ－|F1Ｍ｜，即|F1M|+|MF2|＝2a，所以t=a＝2．故选A.１4.(文）(201４·陕西西工大附中适应性训练)已知椭圆Ｃ:eq\f(x２，a２)＋eｑ＼f(ｙ２,b2)=1（a>b>０)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点,连线ＡF，BF,若|AB|=10，|AF｜＝６,ｃos∠ABF＝eq\f(4,5)，则椭圆C的离心率e为()Ａ.eq\f(5，７)ﻩB．ｅq\f(4，5)C．eq\f(４，7)ﻩＤ.eq\f(5,6)［答案]A[解析］在△AＢF中，由|ＡＢ|＝10，|ＡF|=6，ｃos∠ABF＝ｅq\ｆ(4,5),得|BＦ｜＝８,设椭圆的右焦点为Ｅ，由对称性知，|ＡＥ｜=8，且△AEF为直角三角形，|EF|＝１0,∴２a＝｜AF|+｜AE|=14.∴ｅ=eq＼f(2c,2a)=eq\ｆ(10,14)=eq＼f(5，7)．(理)(２0１4·包头三十三中期末)已知椭圆eq\f(x2，a２)＋eq\f（y２,b2）=１(a>b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0），F2(c,0)，若椭圆上存在点P使eq\f(a，sｉｎ∠PF1F2)=eq\ｆ(ｃ,siｎ∠PF2F１),则该椭圆的离心率的取值范围为()A．（０，eｑ\ｒ(2）-1) B.(ｅｑ\ｆ(\r(２),2),1)C．(0,eq＼f(＼r(2),２)） D.(ｅq\r(２)-1,1）[答案]D[解析］根据正弦定理得eq\f(｜PF2|，ｓiｎ∠PF1F2)=eq\f(|PF１｜,sin∠PF2Ｆ1），所以由ｅｑ\f(a，sin∠PF1F2)=ｅq\f(c,siｎ∠ＰF2F1)可得eq\f（a，|PF2｜)=ｅｑ\f（ｃ，|ＰF1|)，即eq\f(｜PF1|,|PF2|)＝eq＼ｆ（c,a)=e，所以|ＰF1|=e|ＰF2|.又|PF1|＋｜PF2｜＝e｜PF2|+｜ＰF２｜=|ＰF2|·(e＋1)=2a，即｜PＦ2｜=eq\f(2ａ,e＋１）.因为a-c<|PF２|<a+ｃ(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0,无意义)，所以ａ-ｃ<eq＼ｆ(2a，ｅ+1)＜a+ｃ,即1－ｅq\f(c，a)<eq\f(2,e+1）<1＋eｑ\f(c,a)，所以1-e<eq\ｆ(2,e+1)<１+e,即ｅq\ｂ\lｃ\{\ｒc\（\ａ＼vｓ4\al\co1(1－e１＋e<２,,2<１＋ｅ２,))所以eq\ｂ\lc\{\rc＼(\a\vs4\al\co１(1－ｅ２<2,,\r（２）<1+e，）)解得e>eq\r(2）-1.又因为ｅ<1,所以eq\r（2)－１<e<１,即ｅ∈(eｑ\r(2)-１,１),选D.二、填空题15.(２013·兰州名校检测)已知椭圆C:ｅq\f(x２，a2)+eq＼f(y2，ｂ2)＝１（ａ>b>0）的左、右焦点分别为F１、Ｆ2，离心率为e.直线l:ｙ＝ex+a与ｘ轴、y轴分别交于点A、Ｂ,Ｍ是直线l与椭圆C的一个公共点，设eq\ｏ(ＡM,\ｓ\ｕｐ６(→))=eｅq＼o(AB，\s\ｕp6(→))，则该椭圆的离心率e＝＿＿_____＿.［答案］ｅq\ｆ(＼r(5)-1,2）[解析］因为点A、B分别是直线ｌ：y＝eｘ+a与x轴、ｙ轴的交点，所以点A、B的坐标分别是(－eq＼f(a,e),０)、(0，ａ).设点M的坐标是(x０,ｙ０),由|ＡM｜＝e|AB｜，得eq\ｂ\ｌc＼{\rｃ＼(＼ａ＼vs4\aｌ\cｏ1（x0＝\f（a,e)e-1，,y０=ea.）)因为点M在椭圆上,所以eq\f(x＼o\ａl(2,0)，ａ２)＋ｅq\f(ｙ＼o\al(2,0）,ｂ２）＝１，将(*)式代入，得eｑ\f（e-12,e２）+ｅｑ\f(e２ａ2,b2)=１，整理得，ｅ2+e-１＝0,解得e＝eq＼f(\r（5)－1，2).16．直线l:x-y＝0与椭圆eq\ｆ（x2,2）+ｙ2=1相交Ａ、B两点，点C是椭圆上的动点,则△ＡＢＣ面积的最大值为_＿＿_____.[答案]eｑ\r（２)[解析］设与l平行的直线方程为x－y+a=0，当此直线与椭圆的切点为C时,△ABC的面积最大,将y＝x+a代入eq\ｆ(x2，2)＋y2＝１中整理得，3x2+４aｘ+２(ａ２-1)＝0,由Δ=16a2-24(a2-1)＝0得，ａ=±eｑ\r(3)，两平行直线x－ｙ=0与ｘ－y+ｅq\r(3)=０的距离ｄ＝eq\f(\r(6),2),将ｙ＝x代入ｅｑ\ｆ(ｘ2,2)+y2＝１中得,x１=-eq\f(\r（6）,３),x2＝eq\f(\ｒ(6)，3)，∴|ＡB|＝eｑ\ｒ(１＋１)|eq＼f(\ｒ(6),3)－(－ｅq＼ｆ（\ｒ(６)，3)）｜=eq＼ｆ(4\ｒ(3),3），∴S△ABＣ＝eq\ｆ(１,２)｜AB|·d＝eｑ\f(1,2)×eq\f(4\r（３),3)×eｑ\ｆ（\r(６),2)=eq＼ｒ(2).三、解答题17．(文)(2０1４·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为eｑ\ｆ(\r(2),2)，且椭圆经过圆Ｃ：x2+y２－４x＋2ｅｑ\ｒ（2）y＝0的圆心C．(1）求椭圆C的方程;(2)设直线ｌ过椭圆的焦点且与圆C相切,求直线l的方程.［解析](1)圆Ｃ方程化为(x-2）２+（y＋eｑ\r(2）)2＝６，圆心C(２，－eq\r(2）)，半径r＝ｅq＼r(６).设椭圆的方程为eｑ＼f（x2,a2)+eq＼ｆ(y２,b2)=1(a>b>0),则eq\b\lc\{\rc\(\a\ｖs4\ａｌ\co1(\ｆ（4，a2)+\ｆ(２,b2)＝１,,1－＼f(b,a)2＝＼ｆ(＼r(2),2)2,）)所以eq\b\lｃ＼{＼rc\(＼a\vs４\aｌ\co1(a2=8，,b2＝4.)）所以所求椭圆的方程是ｅq\f(x2,８)＋eq\f(ｙ2,４)＝１.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F１(-2,0)，F２(２,0),∵｜F2C|=eｑ＼r(２－22＋０+＼r(2）2）=eq\r（2)<eq\ｒ(6).∴F2在圆C内，故过F2没有圆C的切线．设ｌ的方程为y＝ｋ（x+2),即ｋｘ-y+2k＝0，点C(2，－eq\r（2）)到直线l的距离为d=eq\ｆ（|２ｋ＋\ｒ(2)＋2k|,＼r(1＋k2））=eq\r(６），化简得5k2＋4eｑ\r（2)k－２=0，解得k＝ｅｑ\ｆ(\r(2)，5)或k＝-eｑ＼ｒ(２).故ｌ的方程为ｅｑ\r(２)x－5eq\r(y）＋2ｅｑ\r(2)=０或eq＼ｒ(2)x+y＋２eｑ＼r（2）=0.(理)(2014·安徽“江南十校”联考)已知椭圆Γ:eｑ＼f(ｘ2，a2)＋eq\f(y２,b２)＝1(ａ>b>０)的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为eｑ\r（3).(１）求椭圆Γ的标准方程；(2）若直线l：x＝my+ｑ(m≠0)与椭圆Γ交于不同的两点Ａ，B,设点Ａ关于椭圆长轴的对称点为A１，试求A1，F，Ｂ三点共线的充要条件．［解析]（1)设椭圆Γ的标准方程是eq\f(x2,a2）＋ｅｑ\ｆ(y2,b2)=1(a>ｂ＞0)．由题意知a=2c,bｃ=eq\ｒ(3)，所以a＝２,ｂ=ｅｑ\r（３）,椭圆Γ的标准方程是ｅq＼f（x2,4）＋ｅq\f(ｙ2，3)=1.(２）联立eq＼b＼lc\{\ｒc\(\ａ\vs4\al\co１（x=ｍｙ＋q,,\ｆ(x2，４)+\f(ｙ2，3)＝1）)⇒(3m2+4)y2+６mqｙ+(３q2－１2)＝0，由Δ＝1２[３m2q2－(３m２＋4）(ｑ2-4）]＝48(３m２＋4－ｑ2)>0，得３m２+4-q2>0.①记A(x1,y１)，B(ｘ2,ｙ2)，则A1(x1，－y１)，y1＋y２＝eｑ\f(-6ｍq,３m2+4）,y1ｙ2=ｅｑ\f(3q2－12，3m2+4）,因为F(1,0)，所以eq\o(FA1,\s\up6(→))＝(x1－1，－y１),eq\o(FB，＼s＼uｐ６(→))＝(x2-1,y２）,故Ａ1，F，B三点共线,∴ｅq\o(FA1,\s\uｐ６(→)）∥ｅq\o（FＢ，\ｓ\ｕｐ6（→)）,∴（x１-1）y2－(ｘ2－1)(-ｙ１）＝(my１+q-1)ｙ2＋(my２＋q-1)y1=2my1y2＋(q－１)(y1+y2)=2ｍ·eq\ｆ(3q2-12，3ｍ２＋4)+(q－１)·eq\f(－6mq,3ｍ２+4）＝eq\f（６mq-4,3m２＋4)=0⇔q=４(m≠0)，②由①②知A１,F,B三点共线的充要条件是｜m|>２，且ｑ=４.18.（文)（２015·石家庄五校联考)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－ｅｑ\r(２)，0),(eq＼r(2)，０)，并且经过点(eq\f(\ｒ(2)，２)，eq\ｆ(\r(3０),6)）．（1)求椭圆的标准方程；(2)若斜率为k的直线l经过点(0,-２),且与椭圆交于不同的两点A,Ｂ,求△OAB面积的最大值．[解析](１)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a２）+eｑ\f（y2,b2）=1（a>b>0)，由椭圆的定义可得,2a=eq\r(\ｆ(\r(2）,2）+\r(2)2＋\ｆ(＼r(30),6)２)＋eq\r（\f(\ｒ(2),2)-\r(2）2＋\f(\ｒ(30）,6）2)＝2eq\r(3).∴a=eq＼r（3）.又ｃ＝eｑ\ｒ（２）,∴ｂ＝1,故椭圆的标准方程为eq\f(ｘ２,3)＋ｙ2＝1.(２)设直线l的方程为y＝kｘ－２，由eq＼b\lc＼｛\rｃ＼(\a\vs４\al\ｃo1(\f(x２,3）＋ｙ2=1，，y＝kx-2,))消去y得，(1＋3k２)x2-1２kx+9=０，依题意Δ=36k２-３6>0，∴k２＞1,(*）设A(x１，ｙ1),Ｂ(x2，ｙ2),则ｘ１＋x2＝ｅq\ｆ(12k,1+３k2），x１ｘ2＝ｅｑ\f（9,1＋３k２)，∴|AＢ|=eq\r(1+ｋ2)|x1－x2|＝ｅq＼r(1＋k2)·eｑ\r（\f(１2k，１＋３ｋ2）2-\ｆ(3６,1+3k２)）=eq＼r(1＋k２)×eq\f（6\ｒ(k2－1），1＋３k2),由点到直线的距离公式得d=ｅq＼ｆ（２，\r(１＋ｋ2）),∴S△OＡB=eq\f（1,２)×ｅq＼ｒ（1＋k2)×eq\f(6＼r（k２－1),1+３k2)×eq＼f(２,\r(1+ｋ2））＝ｅq\f(6\r（k２－1），１＋3k２).设ｅq＼r（k2－１)=t(t>0），则ｋ２=t2+1,∴S△OAＢ=6