江苏省南京市重点高中2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷及参考答案

2022-2023学年南京市重点高中学一下期中试卷一．选择题（共8小题，每题5分，共4分）1．复数2﹣3i的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i2．已知tanα＝2，则tan（α-）＝（）A．﹣ B． C．3 D．﹣33．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，b＝3，，则c＝（）A． B． C．6 D．4．已知向量，满足||＝1，||＝，，则，＝（）A．-0.5 B． C．0 D．2.55．已知，则sinα＝（）A． B． C． D．6．在△ABC中，则cosC＝（）A． B． C．或 D．-或-7．设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b＝3，c＝5，则＝（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣68．凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，，AC⊥CD，AD＝2AC，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为()A．4 B． C． D．二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）9．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15° B．cos215°﹣sin215° C．1﹣2sin215° D．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列结论正确的是（）A．若asinA＝bsinB，则△ABC为等腰三角形 B．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 C．若B=602，b2=ac则△ABC为等边三角形 D．若A=302，b=10,a=4，则B有两解11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S＝（S为三角形的面积，a，b、c为三角形的三边）．现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，且△ABC的面积S△ABC＝6，则下列结论正确的是（）A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足A+B＝2C C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（）A． B．在向量上的投影向量为C．若则，为中点D．若在线段BC（包括端点）上，且，则x+y取值范围[1,2+]三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．已知θ是第三象限角，且cosθ＝-，则tan2α的值是．14．已知△ABC的三个内角A、B、C，向量＝（sinA，1），＝（1，﹣cosA），且⊥．则角A＝．15．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝．16．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若∠BAC＝，D为边BC上一点，且AD＝1，BD＝DC，BD：DC＝2c：b，，则tan=_____则b+2c的最小值为．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）实数m取什么值时，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18．（12分）已知向量＝（2t，t），＝（-3，2），＝（3，﹣1），t∈R．（1）求t=1时，求|+2|的值；（2）若-与共线，求,夹角19．（12分）在△ABC中，，，点D在BC上，．（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；20．（12分）已知，其中．（1）求sin2β的值；（2）求的值．21．(12分)△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，请在①1+＝；②2acosC＝2b-c；③cos2B﹣COS2C-cos2A+sinBsinC＝1，这三个条件中任选一个，完成下列问题：（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，函数，求f（B）的最大值22．（12分）在直角梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD⊥AB，CD＝1，AD＝2，AB＝3，动点E，F分别在线段BC和DC上，线段AE和BD相交于点M，且＝λ，＝（1﹣λ），λ∈R．（1）当•＝0时，求λ的值；（2）当λ＝时，求的值；（3）求|+|的取值范围．

答案解析一．选择题（共7小题）1．复数2﹣3i的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【解答】解：复数2﹣3i的虚部为﹣3．故选：C．2．已知tanα＝2，则tan（α-）＝（）A．﹣ B． C．3 D．﹣3【解答】解：∵tanα＝2，∴tan（α-）＝﹣，故选：D．3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，b＝3，，则c＝（）A． B． C．6 D．【解答】解：因为，b＝3，，所以由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（）2+32﹣2×（﹣）＝45．所以c＝．故选：B．4．已知向量，满足||＝1，||＝，，则，＝（）A．-0.5 B． C．0 D．2.5【解答】解：因为，故选：C．5．已知，则sinα＝（）A． B． C． D．【解答】解：由于，所以，故＝＝．故选：A．6．在△ABC中，则cosC＝（）A． B． C．或 D．-或-【解答】解：则,若故，A+B>π，所以，所以cosC=-cos（A+B）=故选：B．7．设O为△ABC的外心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若b＝3，c＝5，则＝（）A．8 B．﹣8 C．6 D．﹣6【解答】解：因为＝•（）＝﹣•（﹣）＝﹣＝﹣＝﹣b2＝﹣＝8，故选：A．8．凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，AB＝1，，AC⊥CD，AD＝CD，当∠ABC变化时，对角线BD的最大值为()A．4 B． C． D．【解答】解：设∠ABC＝α，∠ACB＝β，在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcosα＝4﹣2cosα，由正弦定理，得，∴sinβ＝．∵AC⊥CD，AD＝2AC，∴CD＝AC＝•，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CDcos（β+）∴BD2＝3+3（4﹣2cosα）+2×וsinβ＝15﹣6cosα+6••＝15﹣6cosα+6sinα＝15+12sin（α﹣），当α﹣＝，即α＝时，BD2取得最大值，为，即BD的最大值为．故答案为：C．二．多选题（共4小题）9．下列各式中，值为的是（）A．2sin15°cos15° B．cos215°﹣sin215° C．1﹣2sin215° D．【解答】解：对于A，2sin15°cos15°＝sin30°＝，故A错误；对于B，cos215°﹣sin215°＝cos30°＝，故B正确，对于C，1﹣2sin215°＝cos30°＝，故C正确；对于D，＝＝＝＝，故D正确．故选：BCD．10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列结论正确的是（）A．若asinA＝bsinB，则△ABC为等腰三角形 B．若acosA＝bcosB，则△ABC为等腰三角形 C．若B=602，b2=ac则△ABC为等边三角形 D．若A=302，b=10,a=4，则B有两解【解答】解：对B，若acosA＝bcosB，由正弦定理可得sinAcosA＝sinBcosB，故sin2A＝sin2B，故2A＝2B或2A＝π﹣2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对A，若asinA＝bsinB，由正弦定理可得sin2A＝sin2B，故cos2A＝cos2B，故2A＝2B，则△ABC为等腰三角形，故B正确；对C，由余弦定理可得，则△ABC为等边三角形，故C正确；对D，因为，故则B无解，故D错误；故选：BC．11．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S＝（S为三角形的面积，a，b、c为三角形的三边）．现有△ABC满足sinA：sinB：sinC＝2：3：，且△ABC的面积S△ABC＝6，则下列结论正确的是（）A．△ABC的最短边长为4 B．△ABC的三个内角满足A+B＝2C C．△ABC的外接圆半径为 D．△ABC的中线CD的长为【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝2：3：，所以由正弦定理可得a：b：c＝2：3：，设a＝2t，b＝3t，c＝t，t＞0，因为△ABC的面积S△ABC＝6，所以，解得t＝2，则a＝4，b＝6，c＝2，所以△ABC的最短边长为4，故A正确；因为cosC＝＝＝，所以C＝，可得A+B＝π﹣＝＝2C，所以△ABC的三个内角满足A+B＝2C，故B正确；因为C＝，所以，由正弦定理得，解得，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；因为，所以，故CD＝，故D错误．故选：AB．12．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（）A． B．在向量上的投影向量为C．若则，为中点D．若在线段BC（包括端点）上，且，则x+y取值范围[1,2+]【解答】解：以AB所在直线为x轴，AF所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则，，A错误,即投影向量为，B正确∴∴，因为，则整理可得，与八边形有两个交点，C错误，，可得，D正确故选：BD．三．填空题（共4小题）13．已知θ是第三象限角，且cosθ＝-，则tan2α的值是．【解答】解：∵θ是第一象限角，且cosθ＝-，∴sinθ＝＝-，∴tanθ＝＝-3；∴tan2α=故答案为：．14．已知△ABC的三个内角A、B、C，向量＝（sinA，1），＝（1，﹣cosA），且⊥．则角A＝．【解答】解：由＝（sinA，1），＝（1，﹣cosA），且⊥，则＝0，即有sinA﹣cosA＝0，即tanA＝＝，由于A为三角形的内角，则A＝．故答案为：．15．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比还可以表示成2sin18°，则＝．【解答】解：∵t＝2sin18°，则＝＝＝＝＝，故答案为：．16．已知△ABC的三个角A，B，C所对的边为a，b，c，若∠BAC＝，D为边BC上一点，且AD＝1，BD：DC＝2c：b，，则tan=_____则2b+c的最小值为．【解答】解：（1）设，则，由题意得，，由于BD：DC＝2c：b，AD＝1，所以（2）设，则，∵AD＝1，BD：DC＝2c：b，∴，即，化简得，即，故，又S△ABC＝S△ABD+S△ACD所以，即，∴，当且仅当b＝c时取等号，即2b+c的最小值为．故答案为：．四．解答题（共6小题，共70分）17．实数m取什么值时，复数z＝（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【解答】解：（1）若复数是实数，则m2﹣3m＝0，得m＝0或m＝3．（2）若复数是虚数，则m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠3，（3）若复数是纯虚数，则，即，得m＝2．18．（12分）已知向量＝（2t，t），＝（-3，2），＝（3，﹣1），t∈R．（1）求t=1时，求|+2|的值；（2）若-与共线，求,夹角【解答】解：（1）∵＝（2，1），＝（2，1），＝（3，﹣1），∴+2＝（6，3），∴|+2|＝（2）-=（-3-2t,2-t）,且与共线∴（﹣3﹣2t）×（﹣1）＝3×（2﹣t），解得t＝．所以cos<,>=,所以,夹角为45°19．在△ABC中，，，点D在BC上，．（1）求AD的长；（2）若△ABD的面积为，求AB的长；【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，且0＜∠ADC＜π，∴，…（2分）正弦定理有，得；…（5分）（2）∵，…（6分）∵，∴，得BD＝2，…（8分）又∵，…（9分）由余弦定理得，∴AB＝3．…（12分）20．已知，其中．（1）求sin2β的值；（2）求的值．【解答】解：（1）∵，∴，即，，得；（2）∵，，其中，，∴，∴＝＝．21．△ABC的三个内角A，B，C所对边分别为a，b，c，请在①1+＝；②2acosC＝2b-c；③cos2B﹣COS2C-cos2A+sinBsinC＝1，这三个条件中任选一个，完成下列问题：（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，函数，求f（B）的最大值【解答】解：（Ⅰ）若选①：1+＝1+＝＝＝，则cosA＝，所以A＝；若选②：由正弦定理可得2sinAcosC＝2sinB-sinC，即sinC=2cosAsinC，则cosA＝，所以A＝；若选③：cos2B﹣COS2C-cos2A+sinBsinC＝1.则b2+c2-a2＝ba，则cosA＝，