“中国”“新加坡”“英国”教材中分数除法学习路径的比较研究

“中国”“新加坡”“英国”教材中分数除法学习

路径的比较研究摘要：以中国人教版小学数学教材、英国SMP版小数数学教材和新加坡MC版小学数学教材为研究对象，比较了3国教材中分数除法的学习路径.结果表明：3国均按照“分数除以整数t整数除以分数t分数除以分数”的顺序来安排学习任务；分数除以整数的任务均采用了等分除的模型，整数除以分数、分数除以分数（国内统称为一个数除以分数）的任务大都采用了包含除模型；任务的表征方式既有直观表征，也有抽象表征.新加坡教材中的学习路径所包含的任务最详细，其推进过程可谓小坡度、慢步走；中国教材的学习路径所包含的任务最简略，其推进过程可谓大跨度、快步跑；英国教材的学习任务最为抽象.最后基于分析，重构了分数除法的学习路径.关键词：分数除法；学习路径；教材比较；除法模型；表征1问题提出Behr曾指出，分数学习是学生数学发展上最大的障碍：对于分数概念而言，涉及到作为量的分数与作为比率的分数，涉及到分数与除法的关系等；对于分数的有关运算而言，学生往往只记住了运算法则，不理解分数除法为什么要颠倒相乘，有的甚至不知道应该颠倒被除数还是除数⑴.《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础；在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理⑵.马立平博士的研究表明：在23位美国教师中，有21人计算了1兰：1，只有9人完成了计2算并得到了正确答案，其中只有1人能够正确计算并正确地用语言来说明运算结果的合理性；而参与调查的72名中国教师全部给出了正确的计算，但是，仍有10%的教师未能正确地编写可以用该算式求解的文字题［3］.可见对部分教师而言，对分数除法运算的理解也是一个难点.从以往的调查中也可以看出：大部分学生’都知道怎样算，但是，对于为什么这样算的道理却知之甚少”［4-7］.为了让学生真正理解分数除法运算的算理，必须探索有利于学生理解的分数除法学习路径，以帮助学生更好地理解和掌握分数除法的意义和运算法则．假想学习路径HLT（hypotheticallearningtrajectory）首先由Simon在1995年提出［8］.Clements与Sarama在Simon的基础上，提出了学习路径的概念：学习路径就是对学生学习某一具体数学知识时思维与学习过程的描述，以及一个相关的、设想的路径，这个路径就是一系列的学习任务［9］.设计（创设）这些教学任务的目的是激发学生心理活动的过程或者行动，促进学生思维水平的发展与提升，达成学习目标.教材是教与学的重要载体，对教学起着重要的指导作用.研究表明：课程与学生学习成就有正向关系［10］；学习机会绝大部分取决于教师在课堂教学过程中所使用的教材［11］.教材的编写能否提供最有利于学生理解的学习路径至关重要.这里试图从比较研究的视角分析中国、英国、新加坡小学数学教材中呈现的分数除法学习路径.基于比较分析，提出较为完善的有利于学生理解分数除法算理的学习路径.2研究对象与研究方法2.1研究对象基于影响力与使用范围的广泛程度，研究者选取了人民教育出版社发行的小学《义务教育课程标准实验教科书•数学》［12］（以下简称人教版）教材、新加坡MarshallCavendish出版的MyPalsAreHere!Maths［13］（以下简称MC版）教材、英国CambridgeUniversity出版的TheSchoolMathematicsProject［14］（以下简称SMP版）教材作为研究对象.这些教材都是中国、新加坡和英国所广泛使用的教材.2.2研究方法学习路径就是为了达成教学目标而设计的任务序列，这些任务之间具有一定的逻辑递进关系，这些任务是指向教学目标的回.教材中设计的活动或者例子序列，呈现的就是一个学习路径.因此，这里只对教材中的正文部分呈现的学习路径进行分析和比较，不涉及后面所附的练习和习题部分.主要从仟祭系列.橙型.表彳IF以及情境汶4个维度讲行分析一

2.2.1任务系列 1分数除法的表征类型2.2.1任务系列 1分数除法的表征类型2.2.2模型文中的模型是指教材引入分数除法的模型，包括等分除模型和包含除模型.所谓“等分除”，即在总数一定的前提下，平均分成若干份，求每份是多少.如：把一张纸的4平均分成2份，每份是多少？所谓“包含除”，在总数一定的前提下，已知每份是多少，求分成了多少份.如：将12块饼干分给一些人，每人4块，能分给几人？以及相对于等分除与包含除的混合模型，如中国教材呈现的例子“小华-2小时走了2千米，小明-小时走了2千米，小红-小时走3 4了I5千米.他们平均每小时各走几千米？” [15]82.2.3表征通过对3国教材中分数除法部分的分析，归纳出教材所呈现的分数除法学习路径（表3、表4、表5通过对3国教材中分数除法部分的分析，归纳出教材所呈现的分数除法学习路径（表3、表4、表5）.种表征方式的含义如表1[4].表征类型概述程序表征直接说明分数除法的运算过程并举例说明如何使用分数除法的运算法则；或者使用方程来帮助列出算式.直观表征通过直观图像来说明运算结果的合理性.抽象表征用语言或算式来说明运算结果的合理性，比如通过比例推理来解释算理.形式化表征用分数的基本性质、商不变的规律、分数除法的意义并通过推理来说明运算结果的合理性.2.2.4情境世界经济合作与发展组织（OECD表征类型概述程序表征直接说明分数除法的运算过程并举例说明如何使用分数除法的运算法则；或者使用方程来帮助列出算式.直观表征通过直观图像来说明运算结果的合理性.抽象表征用语言或算式来说明运算结果的合理性，比如通过比例推理来解释算理.形式化表征用分数的基本性质、商不变的规律、分数除法的意义并通过推理来说明运算结果的合理性.2.2.4情境表2情境含义情境类型含义无情境指只包含数学自身世界，不涉及现实生活的情境.个人情境实际背景是与个人生活经历相关的实际情境.社会情境含有与学生熟悉的生活或公共常识相关的情境或背景，且这些情境或背景包含用于解答问题的信息（学生能直接感知）.科学情境含有科学（地理、物理、生物、化学、信息技术等）实验的情境或背景知识，且背景知识中包含需进行数学化并用于问题解答的内容（学生不能直接感知）.3结果与分析3.1教材中学习路径呈现表3中国人教版教材呈现的分数除法学习路径任务序列模型表征方式分数除以整数4任务1：把一张纸的S平均分成2份，每份是这张纸的几分之几？pn n p——m m等分除程序表征：除以2等于乘以-.直观表征：|4 1 1 2抽象表征:①把-平均分成2份，就是把4个-平均分成2份，每份就是2个-，就是|；4 4 1 4 1②把4平均分成2份，每份就是4的1，也就是4x1.4任务2：把一张纸的-平均分成3份，每份是这张纸的几分之几？n n—+p=—m mp等分除直观表征：抽象表征：与任务1类似.整数除以分数2任务3：小明-小时走了2千米，小明平均每小时走几千米？p+—-mm混合型p 1小时走了？km直观表征：，还」人， [身小时是了2km2 1 2 1 1抽象表征：-小时走了2千米；-小时是-小时的一半，所以，-小时走了2x-千米；1小时包含了3个1小时，1小时走的路程是1小时走的路程的3倍，即2x1x3千米.3 3 22 3程序表征：除以§等于乘以-.分数除以分数任务4:小红5小时走了5千12 6米.平均每小时走几千米？n n—+ —pm mp混合型直观表征：与任务3类似.抽象表征：与任务3类似.

表4新加坡MC版教材呈现的分数除法学习路径任务序列模型表征方式分数除以整数任务1： 1块蛋糕平均分给3个小朋友，每个小朋友能分到多少块蛋糕？1 1—+p=——m mp等分除直观表征：’土11!!1抽象表征：把1块蛋糕平均分成3份，每个小朋友得到的是其中的1份，即1的1.3任务2：一卷电线长-米，把它平均分成6份，每份长多少米？n 1—:np=——m mp等分除直观表征：与任务1类似.抽象表征：与任务1类似.4任务千克的西瓜平均分成2块，每块西瓜的质量是多少千克？np n rp= m m等分除直观表征：与任务1类似.抽象表征：与任务1类似.整数除以分数任务4：莉莉把一条长方形的纸带平均剪成若干段，每段是这条纸带的1，莉莉把纸带剪成了几段？1 11+—=mm包含除直观表征：—抽象表征：1中包含2个1.任务5：小李把2个馅饼平均分成若干份，每份是一个馅饼的1.小4李把这2个馅饼分成了几份？1n+—=nmm包含除直观表征： 1 |抽象表征：1个馅饼可以分成4份，2个就可以分成2X4份,所以2r4=2x4.程序表征：除以4等于乘以4.任务6：准备2个长方形的纸条，把每个纸条平均分成3份.请探究2+-=?3nnr—=mm包含除直观表征：与任务4类似.抽象表征：与任务4类似.分数除以分数任务7： 1里有几个1?1r1=Pmp m包含除_2_直观表征：■zzi—抽象表征：求1包含了多少个1，包含2个.程序表征：除以4等于乘以4.任务8：取另一条纸带，平均分成13份.探究发现-r-=?6n 1—r——=npm mp包含除直观表征：与任务7类似.抽象表征：与任务7类似.程序表征：与任务7类似.3任务9：小美把一个披萨的-平均4分成若干份，每份是这个披萨的3-，她分成了几份？8n n—r =pm pm包含除直观表征：；抽象表征：与任务7类似.程序表征：与任务7类似.任务10：阿巴斯有5升水，他把这些水倒入水杯.每个水杯可以2装一升水.可以装多少杯水？7n p_nm m p包含除直观表征：与任务7类似.程序表征：与任务7类似.

表5英国SMP版教材呈现的分数除法学习路径任务序列模型表征方式分数除以整数任务1：把1平均分成2份，每份是多少？1 1—+P=—m mp等分除直观表征i皿f皿f抽象表征：1均分2份与1的1倍相等.3任务2：把3平均分成2份，每4份是多少？n n—+p=—m mp等分除直观表征：与任务1类似.抽象表征：与任务1类似.2任务3：把-平均分成5份.每份是多少？n np=——m mp等分除直观表征：与任务1类似.抽象表征：与任务1类似.整数除以分数任务4：3包含多少个1?41p+—=mpm包含除0 12 3直观表征：4|土|4|七|4|4|4|4 4|4|4|4I.抽象表征：3包含多少个1,包含12个.4程序表征：除以1等于乘以4.42任务5： 4npn+—=pmm包含除直观表征：与任务4类似.抽象表征：与任务4类似.程序表征：与任务4类似.分数除以分数任务6： 3:54 8n n—+—=pm mp包含除程序表征：除以5等于乘以8.8 53.2学习路径相同之处 3.2.4情境通过比较发现，人教版、MC版、SMP版数学教材中的学习路径在任务系列、模型、表征、情境方面有相同之处,具体如下.3.2.1任务系列从表3、表4、表5可以看出，分数除法在3国教材中的任务序列基本相同：分数除以整数t整数除以分数t分数除以分数.各国设计的学习任务难度都是螺旋上升的，基本上都是由单位分数除法开始，过渡到可约分的分数除法，最后再到不可约分的分数除法，体现出任务设计的层次性.3.2.2模型分数除以整数，大都使用了除法的等分除模型；整数除以分数，分数除以分数，大都使用了除法的包含除模型.等分除与包含除是由同一个“平均分物”数学模型所产生的，地位平等[16].从除法的意义进行分析，等分除和包含除，乃是同一个情境里的两类互相依存的除法问题，可以说二者是一对“孪生兄弟”，彼此密切相关[16].—个数除以分数，新加坡教材与英国教材多是包含除模型，人教版教材中的任务3、任务4运用了混合模型.3.2.3表征3国教材的分数除法大都用了直观表征、抽象表征，进而过渡到程序表征.形式化表征则均未出现.在直观图的表示上，大都使用了矩形图，其中人教版还使用了线段图，MC版还使用了扇形图.也就是说，除了中国教材外，新加坡、英国教材均使用二维面积模型来表征.中国教材与新加坡教材设置的任务情境大都是个人生活情境，如均分蛋糕、西瓜、纸张等，教材中设计的每一个学习任务均赋予了实际意义，有着现实的问题情境.学生可以借助这样的现实情境，用不同的表征方式来理解算理、推导算法，并尽可能实现算理的贯通.英国教材设置的任务只有纯粹的数学问题表述，属于无情境，也就是纯数学情境.3国教材设置的任务情境均没有涉及社会情境和科学情境.3.3各国教材呈现的学习路径的特点3.3.1人教版教材：包含除界定不清晰任务推进速度快(1)注重概括归纳、总结规律.与其它两个国家的教材相比较，人教版教材提供的分数除法学习路径比较注重培养学生的归纳概括能力，如任务后面均呈现这样的语句根据上面的折纸实验和算式你能发现什么规律？”“通过例2、例3的计算，你发现了什么？”，这点明显区别于其它两国.(2)包含除界定不清晰.人教版教材在一个数除以分数部分运用了混合模型，包含除的形象并不清晰，这给直观表征算理带来了不便.(3)学习任务推进速度较快，增加了教材难度.人教版教材中所呈现的分数除法学习路径最短，仅用4个任务就完成了由分数除以整数到分数除以分数整个内容的学习，教材所用篇幅也较少，任务与任务之间的梯度较大，任务1到任务2之间缺乏一个平滑过渡、承上启下的任务，教材难度较大.

(4)一个数除以分数的任务，结果都是整数.人教版教材还有一个很大的问题，即整数除以分数、一个数除以分数这两个任务，所得到的结果均是整数，计算结果极其特殊，不具有一般性.加之这个混合模型的直观图也并非真正的直观图，线段图也具有很大的局限性(不能够一眼看出结果)，包含除的形象也不清晰.史宁中先生一再强调：好的结论往往不是先“证出来”的，而是“看出来”的：’看出来”是一种直觉.因而，需要对教材中数字的选取进行改进.MC版教材“等分除”“包含除合理运用”任务推进速度缓慢(1)合理运用等分除、包含除模型.从对学习路径模型的分析来看，分数除以整数，使用了等分除模型；整数除以分数以及分数除以分数，使用了包含除模型.对于等分除与包含除这一对“孪生兄弟”，并非厚此薄彼，偏爱一^个.(2)学习任务推进速度缓慢，任务具有同构性.MC版教材中设计的学习路径逻辑层次分明，层层渐进地引导学生理解分数除法的算理，逐步提高学生的抽象思维能力.教材提供了大量的篇幅讲解一个数除以分数，设置了较多同构性质的任务，每一个学习任务仅在上一个学习任务的基础上提升一小步，目的是帮助学生逐步理解算理，突破难点.如任务4、任务5、任务6，虽然任务的情境不同，但是，其中的表征方式是一样的、算理是一样的、法则也是一样的.这些任务之间并不是简单重复，而是对分数除法算理的渐次逼近.它们如登山的阶梯一样，让攀登者逐步接近山顶，逐步接近算理的真相.(3)注重“单位”的应用.“分数单位”与“自然数单位小数单位”一样，是一个比较重要的概念，但在教学中却容易被忽视.学生经常问老师’两个分数相除，为什么要用被除数乘以除数的倒数”，若老师讲不清楚，学生就只能死记硬背［17-18］，不能促进学生对算理的理解.MC版教材以分数单位作为攀爬的垫脚石，通过直观图，引导学生从“分数单位”的意义上去理解’除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”这一算理，以期逐步达到登顶的效果，如任务1、任务4、任务7.这一点值得大家好好学习.(4)任务呈现的“不完整性”.MC版教材中大部分例题有完整的解答过程，但在个别的例题中只呈现了部分解答过程，需要学生自己动手补充完整方框中缺失的数据.所以，MC版教材更能促进学生的思考，进而掌握算理.SMP教材：抛弃问题情境更加抽象(1J'无情境”任务成为主流.TOC\o"1-5"\h\zSMP版教材在设计学习任务时往往忽略了实际的问题情境，直接抛出需要计算的算式，相对来说更加抽象，如任1 3 5务1“把1平均分成2份，每份是多少？”，任务6' -:5”4 8都没有现实情境，这需要教师、学生给算式赋予情境.前面提到的马立平博士的研究表明，给除法算式赋予情境是比较困难的，因而不利于学生理解算理［3］.从这点上来说，SMP教材不如人教版和MC版教材注重教材的形象性、趣味性、探究性.(2)多种方式表征算理.虽然没有实际的问题情境，但是SMP版教材通过直观图表征从除法的意义、分数的意义以及分数乘法的意义解释了除以一个不为0的数等于乘以这个数的倒数”这一算理，如任务1，把其对算理的解释过程整理如图1.这是对算理的抽象表征，这种表征方式与人教版教材的表征方式是一致的.而MC版教材没有出现这种表征方式.115X2r2把!平均分成2r2把!平均分成2份，求每份是多少(根据除法的意义)(根据分散的意义和分数乘法的意义)意义相同图1SMP教材中对分数除法算理的解释说明4分数除法学习路径：建议与重构因为各国的国情、数学教育理念、教育的传统乃至教材编者对数学知识的认识和定位都是不同的，所以各国教材具有不同的特点，出现差异也是很自然的.应该吸取各国教材设计的学习路径优点，寻求一条最优的分数除法学习路径.4.1建议学习路径设计的重点是：设计层次递进的学习任务，实现算理的多种表征，并贯通各种表征，在讲清算理的基础上水到渠成地推导出法则，从而帮助学生达成对运算的概念性理解与程序性理解［5］.(1)合理运用等分除与包含除模型.分数除以整数用等分除模型比较容易理解，但是一个数除以分数使用等分除模型则不大合适，如4:1，不能说把24个披萨平均分给1人，但是可以很方便地使用包含除.如2人教版任务3用包含除的观点看2:- 2可以分成6个1，TOC\o"1-5"\h\z3 3即3个-，也就是说2里面包含3个2，所以2:-=3 .3 3 3(2)设计层次递进的学习任务，平稳过渡，适度推进.分数除以整数部分在教学-:3前添加1:2，让学生认5 5识“1:2其中的4可以被2整除，可以直接用分子除以除数，这种方法不具一般性”.添加1:2可以起到承上启下，平稳过渡的作用