小学生数感培养的几点思考──以“分数的再认识（二）”一课为例

小学生数感培养的几点思考——以“分数的再认识（二）”一课为例摘要：建立数感、培养数感对学生的数学素养发展具有重要意义。文章以《小学数学（五年级上册）》（北京师范大学出版社）“分数的再认识（二）”一课为例，通过学生一系列动手操作，让学生进一步理解分数的产生过程，了解分数与整数、分数与小数之间的联系，为培养学生的数感奠定扎实的基础。关键词：数感；分数单位；教学片段；分数墙数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）中的十个核心概念中，数感位居首位。它是学生学习数学的重要课程内容和重要目标之一,更是形成和发展其他数学能力的基础。提高学生数学素养的重要标志是数感的建立，这对学生数学能力的发展具有重要意义。然而，在实际教学中，很多教师只注重知识的技巧训练和公式的重复演练，而对于知识的产生和来龙去脉并不去深究，其中表现比较突出的是对数的意义理解仍然是让学生死记硬背。在教学中，对于数量之间的关系分析不够透彻，从而造成学生对数量关系理解不到位、不清晰。还有些课堂教学活动的开展只重形式，造成学生对知识的掌握浮于表面、不够扎实。如何结合具体的教学内容,有意识、有目的、科学地运用有效的教学策略、方法对学生进行数感培养，笔者以《小学数学（五年级上册）》（北京师范大学出版社）“分数的再认识（二）”一课为例,谈以下几点思考。一、基于学生认知基础，让经验连续发生《课标》指出，小学数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分参与数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验[1]o“分数的再认识（二）”一课从分数单位的角度来认识理解分数的产生及其意义。学生对分数单位的学习具有一定的基础，比如测量操作、整数单位、小数单位的认识等，并且在这些基础的迁移下很容易发现分数单位和整数单位、小数单位之间的联系与区别,从而借助整数和小数的计算单位进一步揭示分数单位概念的产生。在“分数的再认识（二）”一课中，笔者设计了关联性操作活动，目的是让学生认识分数单位产生的必要性。教学片段:分数单位产生的必要性。活动一■:用教师给定长度相同的纸条测量数学书的长与宽。学生测量后得到：数学书的宽度刚好等于3个纸条的长度，数学书的长度等于4个纸条的长度还多一点。思考:数学书的长度到底比4个纸条长多少？学生继续动手操作，发现多出来的部分是纸条长度的4。在第一次测量数学书的宽度时，学生借助已有的测量经验一包含有几个这样的长度单位，就可以使用自然数“几”来表示。测量数学书的宽度刚好得到的是3个纸条的长度，也就是3个单位长度，用自然数“3”来表示。当测量数学书的长度有4个纸条再多一些时，其中4个纸条的长度,也就是4个单位长度，就用整数“4”来表示。“多一些”怎么来表示？此时与学生的已有经验发生了矛盾冲突，要解决新的问题就会想到构建新的测量标准。让学生体会,在测量过程中，够一个单位长度时,可以用整数来表示；当不够一个单位长度时，就可以用分数来表示。让学生明确不同的情况可能会产生不同的单位，通过测量让学生理解分数单位产生的必要性。活动二：用给定纸条测量小木棍的长度。追问:用刚才的纸条再测量一下小木棍的长度。学生发现小木棍的长度是一个纸条多。进一步测量发现:小木棍多出来的部分刚好是3个1 3纸条的—，就是—。1 3思考:—与—是什么关系？通过数一数得出结论：1个—是|，2个1是通过第二次用纸条测量小木棍，学生发现能够利用第一次测量所得到的经验，将小木棍多出来的部分用新的标准叠加来表示。这里的分数单位实际上就是新的标准。利用分数单位可以创造出一组分母相同而分子却不相同的分数。学生通过动手操作、研究探讨会发现:几分之一实际上就是分母确定后的一个“单位”，或者也可以认为是一个“起点”。这个“单位”就如同之前学过的小数以及整数的计数单位一样，要得到几分之几，就需要几个这样的分数单位。从以上思路得到启发，就能够写出无数个分母相同的分数。让学生进一步理解分数单位产生的必要性，从而建立起分数单位、整数单位、小数单位之间的内在联系，使学生水到渠成地从度量角度掌握分数的意义。这样，学生不仅对分数单位概念的内涵有了更深层次的理解，而且对外延的认识也更加全面，并不仅仅局限于表面的浅层次感知。对于学生的认知经验，教师应该主动关联，实现学生新的知识自然生长，从而促使数感具体化。所以，小学数学教学要注重把新知识和学生已有经验紧密结合起来。二、基于知识间的联系，促进数字关联数学知识有着纵横交错的联系。在教学中，学生把握数学知识间的联系举足轻重，学生自学、善于思考和发现问题的能力逐步培养并提高，从而使学生在数学素养方面能够得到全面的提升和发展⑵。为了让学生学会数学知识之间的转化，就必须研究、探索知识之间的横向联系，最终达到由此及彼的目的。让学生对知识的形成及结果进一步融会贯通，与学过的知识自然地、有意识地联系起来，或者试图用学过的知识、方法进一步来处理和解释。学生只有学会灵活熟练地运用数字，了解数字间的关联，才能正确灵活地解决数学学习中产生的问题。为此笔者设计如下活动：教学片段:利用“分数墙”挖掘知识间的联系。活动一:师:通过测量得到了新的测量标准|，那么还会有其他的测量标准吗？接下来我们进一步研究。师:一个纸条我们可以把它看成单位“1”,把这个纸条平均分成2份,其中的一份是多少的2？生1:把这个纸条平均分成2份，其中的一份是整个纸条的2。生2：因为对折后两份一样长,所以其中的一份是原来纸条的2。2师：（将纸条的2涂色）涂色部分是纸条的多少，你知道吗？为什么？生1：将纸条平均分成3份,涂色部分占了22份，是纸条的3。1 1 1 2生2：一个;是1，两个3就是3，所以涂色部2分是纸条的3。师:把一个整体平均分成若干份，得到的每一份可以用像2、；、4、；......这样的分数来表示，这就叫分数单位。任何一个分数都可以由分数单位累加而成。师:怎么得到7?生1：把一个纸条平均分成7份，用分数表示其中的5份，就能得到7。生2：数5个7就可以得到5。师:分数里的“数”,蕴含有“数一数”的意思，数一数有几个这样的分数单位，这个分数就是几分之几。（学生的分析说明了分数意义的本质）活动二：师:这个写满分数，像一堵墙一样的图，我们把它称作“分数墙”疽分数墙”只有这么长吗？观察“分数墙”的一部分，看看你能得到哪些知识（见图1）。图1学生依托手中的“分数墙”图纸，通过填、圈、画、涂、折、比等方式从中探究“分数墙”各知识之间的联系。生1：能数出、能得到许多分数，如把纸条平均分成3份，那么其中一份就是1;平均分成8份,每份就是14个1就是5.q个1就是3（学每份就是6,5个$就是6；3个奇■就是奇。（学8 8 8 10 10生理解了分数的意义）生2：我发现^+^=21+1+1=11-1生2：我发现3+33，3+3+31，13-；-；=°。"分数墙”每一行的分数相加都得1。（学生理解了同分母分数加减法，部分与整体的关系，整体“1”可以由若干个几分之一累加而成）TOC\o"1-5"\h\z1 1 1 7 1 21生3：1+1+1=7，因为-相当于-，上相4 8 2 8 4 824 2 1 4 7 1 3当于二所以2+1+4=-;又因为1相当于-，8 8 8 8 8 2 61 2 1 13 2 1:相当于2，所以；-：=[-2=1。（学生理解3 6 2 3 6 6 6了异分母分数加减法）生4：在“分数墙”的同一行中，从上往下平均分的份数越多，分母越大,每一份就越小，如2>；。（学生比较分数大小）生5：我看到“分数墙”正中间那条竖着的线把整体分成2份，每一份就是;。二相当于把原来的2份中的每一份都平均分成了5份，一共平均分成了1°份，用分数表示其中的5份;如果平均分成了6份或TOC\o"1-5"\h\z3 48份，用分数表示其中的3份或4份,可以用3或46 8一5 134来表示,并得到==z=a。我又通过折一折1°26813 4 5发现1=3=£=W。（学生掌握的知识为分数的基本性质,为约分、通分做了铺垫）生6:从上往下看“分数墙”，一个整体能够平均分成若干份，由于自然数的个数是无穷的,所以平均分的份数也是无穷的；平均分的份数越多,所得到的分数单位就越小。生7：1=2=3=—=^8=^4（学生理解了生7:12 3 4 18 24。（学生理解了整体“1”可以平均分成若干份，从而产生分数,这

些分数叠加到一起又成为原来的整体“1”）师:现在把这面“分数墙”变换一下（将“分数活动二:墙”从下往上压缩），你发现了什么（见图2）?图2些分数叠加到一起又成为原来的整体“1”）师:现在把这面“分数墙”变换一下（将“分数活动二:墙”从下往上压缩），你发现了什么（见图2）?图2在整个“分数墙”的教学活动中，注重部分与整体、部分与部分、经验与新知识之间的联系，灵活运用知识，更加明确了数量之间的关系。挖掘知识间的联系，促进数字间的关联，很多棘手的问题迎刃而解。多角度了解与揭示分数的来源从平均分的角度，把一个整体平均分成若干份，表示一份或几份时，可以用分数来表示。通过度量产生了分数单位，所有的分数都是由分数1 1 1 2单位累加而成的。比如1个1是1，2个1是2，41 4个1是4。通过数分数单位推导出许多不同分数，为通分做铺垫，数形结合，形象直观。纵横交错,织出完整的知识网络利用分数的意义，通过观察“分数墙”，让学生横向比较，得出同分母分数比较大小的方法，分母相同，分子越大，分数值越大，反之分数值越小；让学生纵向观察，得出异分母分数比较大小的方法，分子相同，分母越大，分数值越小，反之，分数值越大；根据分数单位能组成不同的分数，以及这些分数大小之间的联系，找到相互关连的分数，并且针对这些分数进行加减计算，让学生感知“分数墙”在具体情境中的实际应用。紧密联系分数的基本性质认真观察“分数墙”，会推导出许多大小相等的分数，能够将思考过程表达得更加简洁和有条理，掌握分数的基本性质,进而激发学生学习数学的浓厚兴趣。让数和形巧妙结合“分数墙”是由无数个纸条组成的，墙面往下延伸,平均分的每一份越小，得到的份数就越多，那么每一份所表示的分数越小，即分数单位越小。从下往上所有的分数都可以汇集到一条线段上，就形成了一条数轴，建立了“分数墙”与数轴的联系。利用“分数墙”，学生获取了分数知识间的联系，将这些知识紧密地联系在一起，建立了新的知识结构，感受了“分数群”的魅力，培养起良好的数感。三、基于不同维度的意义,构建知识整体基于学情，构建知识整体。英国教育家怀特海曾说过：“教育是使人透过树木见到森林。”为此，笔者多次设置回顾已学知识活动，让所学知识互相联系，真正做到通过“树木”看到“森林”，又透过“森林”再次看清“树木”；同时，通过对方法的提炼，让解决问题的策略系统化，构建思考问题的思维体系。教学片段：师:今天我们从分数单位的角度认识了分数的意义,它和之前学过的从平均分的角度认识的分数的意义有什么联系？你能不能说明它们之间的联系？生1:它们都是用分数来表示。2生2：把一个整体平均分成3份,可以用3来2表示其中的2份;平均分成3份,其中一份就是|1 1 2 1的分数单位1，数2个1就是|，2个1就是3份里的2份。生3：分母3表示平均分成3份，分子2则表示3份中的2份，也可以表示2个:。无论通过哪种方式得到的分数，都离不开平均分,让学生充分发表自己的观点和意见，会让他们对分数有更加直观的认识，也会掌握分数所表示的实际含义⑶。经历探索“部分与整体”之间的联系过程，就是培养学生数感的过程。在教学本节课时，让学生明确