数学课程内容的抽象性及其隐喻思维分析

数学课程内容的抽象性及其隐喻思维分析摘要：数学课程内容具有抽象性是普遍的共识。通过数与单位以及单位化眼光的案例分析，得到抽象性在数学课程与教学中表现为主观的差异性。利用具身认知理论对学生生成以及加法交换律的分析，得到隐喻思维有益于对抽象内容的理解和意义的丰富。进一步得到数学教学中的两点启示：一是将隐喻思维融入学习，有益于抽象内容意义的理解与丰富；二是面对异样生成和错误应当采取接纳的态度，并使之成为教学资源。关键词：数学课程内容；抽象；具身认知；隐喻思维数学具有抽象性是普遍的共识，这里的抽象是相对于客观存在的具体而言的。德国19世纪哲学家、数学家利奥波德•克隆内克(LeopoldKronecker,1823—1891)有一句名言：“整数是上帝创造的，其他都是人造的。”口」表明数学中的“数”并不是一种客观存在，而是人心智生成的产物，因此是具有抽象性的。英国18世纪著名科学史学家威廉姆•胡威立(WilliamWhewell,1794—1866)在其《科学思想史》一书中专门论述，像数、空间、时间在现实世界中是感知不到的，是人心智中自内而外生成的想法或思想。⑵美国的约翰•杜威(JohnDewey,1859-1952)在与詹姆斯•麦克莱伦(JamesA.McLellan)合著的《数的心理学》中，把数叫作“理性过程”，而非“事实感知”,「3」其中的理性过程指的是思维中非情感的生成与加工过程逆=《义务教育数学课程标准(2。11年版)》“前言”中阐明，“数学是研究数量关系和空间形式的科学”⑸，可以说数学课程内容是建立在数、量以及空间基础上的，因此有必要对相关内容抽象性的表现形式以及抽象内容的认知方式进行探讨。一、单位化眼光的主观差异性如果按照胡威立所说，把抽象内容视为人心智中自内而外生成的想法或思想，那么这样的思想就必然具有人的主观性，由此自然带来个性和社会的差异性。下面以小学数学课程内容中最基本的“数”和“单位”为例进行说明。古希腊欧几里得所著《原本》中，把“数”定义为“比'心」，即数的出现与存在是相对于单位而言的。比如，“5”这个是“5个1”的意思，离开了1,5就没有意义，5实质是“5对1的比”。因此，数本身是一种关系，是相对于单位的关系。那么单位的意义又是什么？通常的小学数学课程与教学中，会把像“一，十，百，千……”叫作十进制记数法的单位，把小数中的"0.1,0.01,0.001……”叫作小数单位；把“土，I……”这样分子是1的分数叫作“分数单位”；把“米，厘米，毫米……"等叫作长度单位；等等。这样的单位具有相对客观、统一和确定的特点，“客观”指的是外在于学习者的主观意愿；“统一”指的是人类社会普遍公认且约定俗成的标准；凡此客观性和统一性，使得这样的单位具有了相对稳定的“确定性”。像这样具有客观性、统一性和确定性的单位也叫标准单位。如果把看待和选择单位的过程视为人对信息加工的过程，也就是杜威所说的理性过程，这样的过程叫作“单位化”，是人的一种认知方式,也是一种认知能力，具有主观、个性和多样的特点。比如“6根筷子”的说法，是把“1根”视为单位。如果改变对单位的看法，把“2根”视为单位，那么“6”这个数就变为“3”，6根筷子的说法就变为“3双筷子”。因此，单位化实质是如何看单位的理性过程，这个过程决定了数的生成。因此，单位实质是人与环境互动中，对客观对象生成看法和想法过程中的产物，是人自内而外的生成。相对于前面所说的客观、统一和确定的标准单位，这样主观建构或生成的单位可以认为是思维中生成的单位，简称“思维单位”逍，区别于标准单位，思维单位具有主观、个性和多样的特点。这样的主观差异性自然会带来认知过程中是非并存的或然现象，无法用非对即错的二元逻辑进行判断。下面用一个实例说明这种或然现象。有A、B两种植物，A植物2米高，B植物4米高。若干年后，二者都增高4米，A植物高度变为6米，B植物高度变为8米。那么，哪种植物生长速度更快？生长的过程包括三个要素：原有高度、增加高度和当前高度。三者的关系是：原有高度+增加高度=当前高度。从“增加高度”看，两种植物是相同的，都是在原有基础上增加了4米。如果只考虑增加的“米”数，不考虑原有高度，在相同时间内，两种植物增加的米数相同，因此一个可能的答案是增长的快慢一样，即增长速度是相同的。换一种眼光看，把增长速度视为相对于原有高度“增加的幅度”，将增加高度和当前高度的参照标准定位于原有高度，也就是将原有高度视为单位。A植物原有高度是2米，增长了4米,增加的幅度是原有高度的“2倍”。B植物同样增长了4米，用原有高度4米作为单位，增长的幅度是原有高度的“1倍”。因此得到的答案是：A植物增长速度比B植物快。两种眼光，对同样事实得出“既同又异”的或然性判断。从形式逻辑的视角看，同与异作为相互对立的两个判断，不能同真。出现这样是非并存现象的原因就在于单位化眼光的差异，这样的差异使得比较的对象发生了变化。诸如此类的主观差异性成为数学课程内容抽象性的主要表现，在数学课程与教学中普遍存在。再比如小学数学课程内容中常见的应用题,通常是用文字或图片表达情境，学生据此写出算式并计算出结果。其中将文字语言转换为符号语言的过程就经常出现难以判断的或然现象。以小学低年级常见的猴吃桃问题为例。有一些桃子,小猴子说：我吃了3个，还剩下4个，原来有多少个桃子？学生极为常见的答案为：7-3=4(个)，而教师往往认为正确答案应当为：3+4=7(个)，因此会将学生写法视为错误。事实上，算式是用数字和运算符号对情境的表征，类似于单位化眼光，这样的表征同样具有主观差异性，而且与低龄儿童的思维规律直接相关，如果把符号表征视为学生思维生成的产物，从中可以分析出蕴含的隐喻思维。二、符号表征中蕴含的隐喻思维20世纪80年代，乔治•拉考夫(GeorgeLakoff)和马克•约翰逊(MarkJohnson)提出具身认知(EmbodiedCognition)理论，认为人的认知不单纯是心智的活动，而是与身体以及身体的活动联系在一起的。这一理论缘起于认知科学的三点发现：心智中的智力活动是具身的；思想往往是无意识的；抽象认知大多是依赖隐喻的oM这一理论拓展了隐喻作为语言修辞的意义，将隐喻视为人的思维形式和过程。人的认知是基于心智、身体与环境的互动，过程中无意识地形成具有稳定性的思维方式，这样的思维方式会不自觉地支配人的思维与行为。这样具有稳定性的思维方式兼具“意象”和“图式”的意义，因此命名为“意象图式”。比如，日常经验中的水杯、书包、房间、车厢等，都具有内、外和边界的容器特征，因此思维中自然形成“容器图式”。再比如，行车走路是人日常熟悉的具身活动，其中的三个要素分别是起点、终点和路径，由此思维中自然形成“路径图式”。隐喻思维指的是将“始源域”(SourceDomain)与“目标域”(TargetDomain)之间的对象建立“对应”的思维过程「力，其中的始源域一般包含的是具体的、熟悉的对象，目标域则包含抽象的、陌生的对象，因此隐喻思维是用始源域的内容理解目标域内容的过程。对于数学中抽象的数的理解，可以用容器图式隐喻，把数视为一个包含着单位的类；也可以用路径图式隐喻，把数看作数轴上的点或距离。金隐喻思维一般会遵循“同态”(Homomorphism)的原则，同态是样态相同的意思，表现为三个方面的一一对应：对象与对象的对应；动作与动作的对应；关系与关系的对应。口门将前面猴吃桃的情境写为算式的过程，实质是具体情境与抽象算式之间建立对应的过程。“桃”与“数”是对象与对象的对应，“吃”与“减”是动作与动作的对应，情境中的时间顺序与符号书写从左到右的顺序保持一致，是关系与关系的对应。具体表现为，起始状态的“原有”与“被减数”对应，“吃了的桃子”与“减数”对应，终极状态的“还剩”与“差”对应，保持了事件“发生一发展一结束”的时间顺序，与算式中被减数、减号、减数、差从左向右的位置关系一致(见图■这样的对应完全符合隐喻思维的同态原则O法国的杰拉德•沃格诺德(GerardVergnaud)把对情境的感知、感知过程中思维中形成的判断以及符号表征，这三个方面的综合叫作“概念域”。口幻也就是说，感知、判断和表征是相互依赖、相互影响的过程，这样的过程并非纯逻辑的图1同态对应示意图演绎，与认知主体的年龄特征、已有经验、情感偏好、思维习惯等心理因素密切相关，因此可以说隐喻思维是一种“合情的”(Plausible)思维形式。口力这样的思维与高年级用方程表达问题情境的思维方式也是一致的o：14：不仅如此，任何抽象的内容都具有丰富的意义内涵，隐喻思维可以使抽象内容意义丰富性得以彰显。三、隐喻意义的丰富性隐喻意义指的是通过隐喻思维所获得或生成的针对抽象内容的意义，对于抽象内容的理解水平取决于隐喻意义的丰富程度。下面以加法交换律为例，进一步说明数学课程内容认知中隐喻意义的丰富性。运算律作为数学中的判断，是人从经验中归纳出来的规律，是运动与变化中守恒性的体现。如果把加法交换律表达为抽象的符号“a+b=b+a”，就需要理解其中“加》和“交换”的实际意义究竟是什么，这样的理解就需要隐喻思维O加法作为数学中的运算，与人许多具身活动和经验相关。比如利用容器图式，把“加”视为向容器中“放入”的动作，反过来“减”就是从容器中“取出”的动作。对于抽象的算式"1+2”，可以用“向盘中放入苹果”的动作进行隐喻。盘中已经有1个苹果，人“手持”2个苹果“放入''这个盘子，其中的“手持”和“放入”就是具身的动作。“2+1”与“1+2”的过程不同，容器中“原有”2个苹果，“手持”1个苹果，放入后的结果与“1+2”的结果相同。长期不断重复出现这样的事实，将“原有”的对象与“手持”的对象进行交换，会无一例外地使得放入的结果不变，因此就得到数学中具有抽象意义的“a+b=b+a”，即具有普遍性的加法交换律。如果把“盘”和“手”视为两个不同的空间位置，那么盘中“原有”与“手持”对象的交换实质是不同空间位置对象的交换，此时反映出的规律是，对象在空间位置的交换具有总量的守恒性。除此之外，交换的意义还可以体现在观察方向的变化上（见图2）。图2观察方向示意图面对图2中的苹果，观察者的具身活动是眼球的转动。如果“从左向右”看，先看见3个苹果，后看见2个苹果，这一过程隐喻的算式写为“3+2”；那么反过来，“从右向左”看，先看见2个苹果，再看见3个苹果，此时隐喻的算式就是“2+3”。无论怎样看，无一例外地发现共有5个苹果这个结果不变。因此“从左向右”和“从右向左”的交换，也符合总量守恒的规律。不仅如此，交换的意义还体现在时间顺序方面。“先看到”和“后看到”，虽然时间顺序不同，但结果相同。图2中，“先左，后右”和“先右，后左”的观察，不仅有方向的差异，还有时间顺序的差异，但结果都是相同的。因此加法交换律中的交换，同时具有时间、空间和身体动作的意义，空间位置的改变、具身动作的改变、时间顺序的改变，都使得总量守恒。以上是以手和眼球动作为主的具身活动。除此之外，还可以通过身体中的“脚”以及“行走”的路径图式进行隐喻。从时间顺序来说,“先走2步，停止，再走3步”和“先走3步,停止，再走2步”，路径中的停止位置不同，但起点和终点是一样的,所以“先走”和“后走”,作为时间顺序是可以交换的（见图3）。把加法交换律用抽象符号写为“A+B=B+A”，表面看只是符号书写顺序的改变，这并非加法交换律意义的全部。运用隐喻思维，至少包括多样的具身动作、空间位置以及时间顺序交换的意义。因此，隐喻思维能够实现对数学课程抽象内容意义丰富性的认知与理解。—先走2沙f 再走3步 > 先走3步 ► —再走2步-►图3彳丁走7F意图四、对数学教学的启示综上针对数学课程内容抽象性及其隐喻思维的案例分析，可以得到两个主要结论。第一，数学课程内容的抽象性主要表现为认知主体认知方式和结果的主观差异性，表明数学课程内容具有类似于艺术、语言等人文学科的主观特征。第二，隐喻思维有益于抽象内容意义的理解和丰富。由此给数学教学中学习活动设计以及应对异样生成两个方面带来启示。（-）隐喻思维融入学习活动的设计将隐喻思维融入数学学习活动的设计中，让学生有机会运用自身的意象图式以及隐喻思维，在活动中逐步形成对抽象内容意义的理解，从而使得学习活动设计更有针对性。比如“位值”原理，可以说是数学课程贯穿始终的重点内容，指的是在用十进制记数时，用有限的十个数字符号0—9,表达无限多的自然数。并排写出的数字,在不同的位置所表示的值不同。比如“22”，表面看是两个数字符号并列，但个位的“2”表示两个“一”，而十位的“2”表示两个“十”，因此,■22^,表示的是“两个十和两个一”。简单来说，位值就是“位置有值”。直观上看，位置上的值是看不见的，具有抽象的特点，因此会导致低龄儿童认知的困难。实践中发现，类似于“22—2=2”的错误极其普遍，究其原因，是把并列的两个2即“22”看作-2和2”的关系，从“2和2”中拿走一个2,自然还剩下一个2。因此可以说位值这一内容具有反直觉的特征。「鹿针对这样的认知困难，就需要设计能够帮助学生突破难点的情境与活动。结合隐喻思维，将两位数中的十位和个位这两个位置，分别看作两个容器。首先应当认识两个容器中所容纳的对象是不同的。个位容器中容纳的个体对象是“一”，十位容器中容纳的个体对象是十利用图4所示的学具，白纸上纵向划分出的三个区域，从右到左分别表示个位、十位、百位的三个容器。个位容器中容纳的对象用正方体小木块表示，十位容器中包含的对象用1。个小木块连接而成的“小木条”表示，同样百位容器中容纳的对象用10个小木条连接成的正方形小木板表小。图4认识位值示意图用容器隐喻数位过程中，还会用到日常经验中熟悉的“空一满图式空时表示没有，满10个时，就需要取出，并把这1。个小木块变为一个小木条，放入左侧的十位容器中。类似于此的学习活动，学生可以经历在每个数位容器中“放入、取出”的活动，自然就会将位值的认知同化到头脑中业已形成的容器图式中，使位值的抽象性意义得以具体化。利用容器图式的隐喻思维，在数学课程内容中应用十分广泛，比如在竖式计算中的进位和退位，实质就是将数位视为容器进行放入和取出的活动。对于方程未知数的认识，比如工一3=5,可以将其中的七”看作容器，解方程的过程就是寻找一个恰当的数放入其中，使得等式两边相等。中学数学课程中的函数表达式v=r（”），历史上的一种理解就是把变量七”看作包含着变量的容器，这也是函数一词中“函”的来源严我国数学教学历来有读懂教材、读懂学生的传统，将隐喻思维融入学习活动的设计中，就需要甄别数学课程的重点内容，并理解其抽象性的表现形式。同时结合学生日常经验所