数学在经济学中的应用

数学在经济学中的应用数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程、数值分析等进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常称为数量经济学。应用数量经济学方法研究客观经济现象的关键就是要把考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。本文介绍了数学的一些分支在经济学中的应用。[关键词]弹性系数；消费者均衡；不动点；瓦尔拉斯一般均衡数学与经济学的关系在今天可以说是息息相关，任何一项经济学的研究、决策几乎都不能离开数学的应用。因为如何有效配置和合理利用稀缺的经济资源从而最大限度满足人类欲望始终是经济学研究的主题。这不可避免会涉及到效率和最优化问题，而有关效率和最优化问题的研究不仅有定性分析，更重要的要有定量分析。数学作为定量分析的重要工具，以其严密性、客观性正好适应了这一要求。因此，在经济学中引入数学工具，可以更好地表述经济学原理，将经济问题转化为具体的数学模型，可以使分析变得具体，从而把研究从初步的想法推进向深入的探索，推动经济学走向精密化、正确化。比如，在客观经济学中的综合指标控制、价格控制都有数学问题，在微观经济中数理统计的“实验设计”、“质量控制”、“多元分析”等对提高产品的质量往往能起到重要的作用。当今，在经济学中使用数学方法的趋势越来越明显，领域越来越广泛。自从1969年诺贝尔经济学奖创立以来，利用数学工具分析经济问题的理论成果获奖不断。事实上，从1969到1998年的30年中，有19位诺贝尔经济学奖的获得者都以数学作为主要研究方法，占总人数的63.3%，而几乎所有的获奖者都运用数学方法来研究经济理论。可以说，没有数学的广泛应用，就没有经济学快速繁荣发展的今天。本文就数学的一些分支在经济学中的应用做一初步讨论。1一元微积分在经济学中的应用1.1弹性系数当经济变量之间存在相互影响关系时，西方经济学通常用弹性来表示一个变量相应于另一个经济变量变动的反映程度。如果经济变量x及y之间具有关系：y=f(x)，那么为了度量x对y的影响程度，人们通常试图利用x变动一个单位后y变动的数值，即导数反映这种影响。这样做是方便的，但缺陷是不能消除x及y的度量单位对这一数值的影响。因此，经济学家使用弹性而不是导数来反映一个经济变量对另一个变量的影响，弹性的大小由弹性系数加以表示弹性系数=。以表示x对y的弹性系数，同时把经济变量的变动以微分的形式表示出来，则弹性系数可以写成为。很显然，x对y的弹性系数不仅取决于函数的斜率，而且取决于x及y的大小。也就是说，弹性系数不仅与函数曲线的倾斜程度有关系，而且也与曲线上点的位置密切相关。因此，曲线的倾斜程度不一定与弹性的大小相一致。如果用y表示商品需求量，用x表示商品价格，则可以表示商品的需求价格弹性。经济学中其它的弹性也可以相似的定义出来。1.2经济批量法这是一种在工业成批量生产中，根据费用来确定合理批量的方法，批量大小对费用的影响，主要有两个因素：设备调整费用和库存保管费用。批量越大，设备调整费用越小，分摊在每个产品的调整费用就越少，但保管费用会相应增加；反之，批量小，单位产品的调整费用就大，而保管费用会相应减小。求经济批量的原理就是用数学的方法求得这两项费用和为最小的批量，即经济批量。如图1所示：批量图1中，m线为调整费用曲线，n线为保管费用曲线，L线为上述的两种费用之和，上述两种费用之和最小时所对应的Q值就是经济批量。年设备调整费用可用下式表示年设备调整费用=。式中：A为每次设备调整费用，N为年产量，Q为批量。库存保管费用可用下式表示：库存保管费用=。式中：C为单位产品的平均保管费用。总费用Y为两项费用之和：Y=+。因为=0时，费用最小。所以可以得到，那么，就可以得到。这个公式就是计算经济批量的公式。例：某厂商生产商品，某年销售量为100万件，每批生产设备调整费为1000元，而每件的库存费为0.05元，问每次生产多大批量为优？由上面的公式，直接可得（件）=20（万件）。所以每批生产20万件为最优。1.3生命周期曲线设某种商品在时刻t的销售量为Xt,令a表示市场的饱和水平，若此种商品销售量的增长率与销售量Xt,和差值的乘积成正比，求销售函数Xt的表达式。由题意可得，销售量的增长率为，（k为常数），分离变量，可得，对上式两边求积分可得：（为常数），由此解得（其中，c为常数）。这个函数的图象如图2所示：t生命周期曲线图中的曲线称为生命周期曲线，它揭示了商品的销售过程的三个阶段：第一阶段是试销阶段，当商品刚进入市场时，由于顾客不太了解商品的性能，因此销售量增长不快，第二阶段是旺售阶段，销售量与日俱增，第三阶段称为饱和阶段。2数学规划和拉格朗日函数在西方经济学中，消费者被假定为在经济上是理性的。在消费商品时，消费者总试图在既定的收入约束条件下获得尽可能大的满足，这样，消费者的消费行为可以看成是效用最大化的行为。2.1消费者均衡消费者均衡的效用最大化可以看成是消费者在收入所允许的范围内选择适当的商品的组合，使得自身的效用等级达到最大的过程。在其它条件不变的情况下，当消费者获得最大满足时，他将保持这种状态不变，此时消费者处于均衡。消费者均衡是在既定的收入约束B的范围内选择商品组合，实现效用最大化的状态，用公式表示为：（2.1）其中，x1,x2表示两种商品的消费量，p1,p2表示两种商品的价格，u(x1,x2)表示消费两种商品所带来的效用，m为预算约束。消费者效用最大化行为表现为在预算约束范围内寻求使得效用等级最高的商品组合。但是，这样的均衡组合是否存在？回答是肯定的。根据数学规划的结论，如果消费者预算约束集合B为有界闭集，而效用函数u(x)是连续函数，那么（2.1）式一定有满足条件的解存在。为了理论分析的简单起见，（2.1）式常写为2.2效用最大化的必要条件式给出的效用最大化的必要条件可以借助于拉格朗日乘数法得到说明。为此，构造拉格朗日函数。如果消费者在消费时获得最大满足，那么在这一点一定有=0，即下式成立，i=1,2和，从而得到（2.2）2.3效用最大化的充分条件（2.2）式只给出了效用最大化商品组合所满足的条件，但并不意味着满足这些条件的点一定使得消费者获得最大的效用满足。因而有必要讨论效用最大化的充分条件。现假定必要条件（2.2）式得到满足，为讨论充分条件，把预算约束方程变形为。这样，效用最大化的模型式可表示为。这样，求解式的问题转换为考察上述无约束条件下的效用最大化问题。令，即。再次得到（2.2）式给出的必要条件（一阶条件）。现在考察效用最大化商品组合的充分条件（二阶条件）即满足（2.2）式的商品组合是否就是最优解，因为，当时，效用函数在一阶导数等于零的点上取得最大值。据此并注意到。可得到下面的充分条件，即，用行列式可表示为：。3利用数学期望求解经济决策问题由于经济决策中所遇到的变量都是随机变量，它的分布往往是比较复杂的，我们可通过它的数学期望表达它的数学特征。因此，可利用随机变量的数学特征----数学期望来求解一些经济决策问题。3.1确定生产批量问题某企业为了确定今后5年内生产某种服装的批量，以便及早做好产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资料及市场调查预测，未来市场销路好、中、差三种状况的概率分别是0.3，0.5和0.2。若按大、中、小三种不同生产批量投产，今后年不同销售状态下的损益值如表1：状态销路好销路中销路差概率0.30.50.2大批量损益值X12014-2大批量损益值X2121712大批量损益值X381010试作出定量分析，确定今后5年的最佳生产批量。分析：虽然损益值X的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三种状态的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准，下面计算三个批量的损益值的数学期望。，，。由此可见，中批量生产的损益均值最大，故应选择中批量生产较为合适。3.2最佳进货量的问题设某一超市经销的某种商品，每周的需求量X在10至30范围内等可能取值，该商品的进货量也是在此范围内等可能取值（每周只在周一前进货一次）。超市每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位亏损100元；若供不应求，可从外单位调拨，此时一单位可获利300元。试测算进货量是多少时，超市可获得最大利润。最大利润的期望值为多少？分析：由于该商品的需求量（销售量）X是一个随机变量，它在区间[10，30]上均匀分布，而销售该商品的利润值Y也是随机变量，它是X的函数。本问题的解算过程是：先确定X和Y的函数关系，再求出Y的期望，最后利用极值法求出的极大值点及最大值。并求出最大利润的期望值。先假设每周的进货量为a,则。利润Y的数学期望为=。则由，可得。代入可得，的最大值为9333.3元。由计算结果可知，周最佳进货量为23.33单位，最大利润期望值为9333.3元。3.3求职决策问题有三家公司为大学毕业生甲提供应聘机会，按面试时间顺序，这三家公司分别记为A、B、C。每家公司都可提供极好、好和一般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位。按规定，双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某职位，且不许毁约。咨询公司专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能性依次为0.2、0.3和0.4，三家公司的工资承诺如表2公司极好好一般A350030002200B390029502500C400030002500如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种解释？分析：由于面试从A公司开始，甲在选择A公司三种职位时必须考虑后面B、C公司提供的工资待遇，同样在B公司面试后，也必须C公司的待遇。因此，先从C公司开始讨论。由于C公司的工资期望值为40000.2+30000.3+25000.4=2700（元）。再考虑B公司，由于B公司一般职位工资只有2500，低于C公司的平均工资，因此甲在面对B公司时，只接受极好和好两个职位，否则去C公司。如此决策时甲工资的期望值为39000.2+29500.3+27000.5=3015（元）。最后考虑A公司，A公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A公司的极好职位，否则去B公司。甲的整体决策应该如此：先去A公司应聘，若A公司提供极好职位就接受之。否则去B公司，若B公司提供极好或好的职位就接受之，否则去C公司应聘任意一种职位。在这一决策下，甲工资的期望值为35000.2+30150.8=3112（元）。4利用不动点定理证明瓦尔拉斯一般均衡的存在性一般均衡理论是经济学中一个很重要的理论，它考察市场相关经济变量之间的相互联系。为了揭示这种联系，其首要解决的问题是是否存在一系列价格使所有市场同时处于均衡，即所谓的一般均衡的存在性问题。一般均衡的存在性是借助于不动点定理证明的。Schauder不动点定：假定S是一个非空、闭的、有界凸集合，如果函数f是s到S的一个连续映射，那么在S中至少存在一个x是自我映射，即x=f(x).为方便起见，首先假定所论及的k个价格具有标准的形式，即所有价格之和为1，以便所有的价格都是有界的。事实上，如果价格只有P1、P2，那么可以把价格加以标准化。得到和。由于超额需求函数具有关于价格零次齐次性的特征，因而可以认为和与和具有相同的作用，故在下面分析中认为价格具有标准形式。利用这些标准形式的价格，定义一个集合。很显然，通过价格的标准化，价格向量集合是有界的非空集合。首先说明是闭集。任取收敛点列,设。记，。我们由的定义知，因为，等价地，的每一个分量都收敛于的对应的分量，在式子两边令，同时取极限可得，所以，由闭集定义知集合是闭集。现在证明是凸集。x,y,.所以，由的定义知有。则根据凸集的定义知是凸集。所以价格向量集合是有界的非空闭凸集。为了能应用不动点定理，还需要构造一个连续的函数。对应于任意的一系列价格，每种商品的市场上均有一个确定的超额需求量与之相对应。如果能证明，存在一个价格向量P，使得超额需求等于零，则瓦尔拉斯一般均衡存在。现在利用这个超额需求函数Z，比如Z1，Z2来构造不动点定理中的函数。根据瓦尔拉斯关于经济当事人行为的假定，如果超额需求大于零，价格倾向于提高；反之，超额需求小于零，价格降低。因而，瓦尔拉斯一般均衡实现的过程无非是把一个使得超额需求大于零的价格再“提高”一些，以便使得超额需求更小，逐渐趋向与零，并且，价格需要“提高”的数额与超额需求呈同方向变动。因此，按照“提高”价格的思路来构造下面的函数是自然的：。另一方面，为了得到的函数值能继续位于集合之中，也需要对“提高”后的价格加以标准化。这样，定义集合到上的一系列函数gj,j=1,…,k，。最大值函数可写成。由于每一个超额需求函数都是连续的，所以也是连续的，因而k个函数是的连续函数，并且函数值也位于之中。这样，对所有的函数应用不动点定理，从而一定有中的一个，使得=，即对于任意j=1,…,k,有。下面要说明这一不动点即为瓦尔拉斯均衡价格。为此由上式可以看到，从而有。为了得到=0的均衡条件，需要把最大值函数消去。为此，在上面的等式两边同时乘以后得到。因为上式左边要么为零，要么为的平方，因而等式左边为非负的数值。为了证明其一定为零，对所有的j加总等式的右边，可以得到。根据瓦尔拉斯定律，=0。因此，可以得到。上式和号下面的每一项都是非负的数值，因而可能的结果是，对所有的j。根据上式，对某一个j,如果,那么根据瓦尔拉斯定理，意味着=0。因此，存在一系列价格，使得所有市场出清，即瓦尔