1981年全国高中数学联合竞赛试题解答

1981年二十五省、市、自治区中学生结合数学比赛一、选择题(此题满分35分，每题答对者得5分，答错者得－2分，不答者得0分)1981*1、条件甲：两个三角形的面积和两条边对应相等．条件乙：两个三角形全等．则以下正确的是（）A．甲是乙的充分必需条件B．甲是乙的必需条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必需条件，也不是乙的充分条件◆答案：B★分析：乙甲，但甲乙，应选B.1981*2、条件甲：1sina．条件乙：sincosa．则以下正确的选项是（）22A．甲是乙的充分必需条件B．甲是乙的必需条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必需条件，也不是乙的充分条件◆答案：D★分析：由1sina得sincosa；而sin2cosa，得1sina．应选D．2221981*3、设k（k0,1,2,sintan，则以下正确的选项是（）2），tcotcosA.t取负值B.t取非负值C.t取正当D.t取值可正可负◆答案：C★分析：tsintansin2cos1coscotcos2sin011981*4、下边四个图形中，面积最大的是（）A.ABC：A600，B450,AC2;B.梯形：两条对角线的长度分别为2和3，夹角为750；C.圆：半径为1；D.正方形：对角线长度为2.5◆答案：C★分析：A中三角形面积为3333；B中梯形面积为4；42C中圆面积为，D中正方形面积为1525．于是BADC．选C．2281981年二十五省、市、自治区中学生结合数学比赛第1页共4页1981*5、给出长方体ABCDA1B1C1D1，以下12条直线：AB1，BA1，CD1，DC，AD1，DA1，BC1，CB1，AC，BD，A1C1，B1D1中有多少对异面直线？（）A．30对B．60对C．24对D．48对◆答案：A★分析：每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面．故共有512230对．选A．1981*6、在座标平面上有两个地区M和N，M是由y0，yx和y2x这三个不等式确立，N是随t变化的地区，它由不等式txt1确立，t的取值范围是0t1，设M和N的公共面积是函数f(t)，则f(t)为（）A．t2t1B．2t22tC.11t2D.1t22222◆答案：A★分析：AOB的面积为1。直角边长为t的等腰直角三角形面积为1t2.直角边长为1122(1t)1t的等腰直角三角形面积为t2．1t2112因此f(t)1t2tt2(0t1)．选A．2221981*7、对方程xxpxq0进行议论，下边结论中，哪一个是错误的？（）A．至多有三个实根B．起码有一个实根C．仅当p240时才有实根D．当p0和q0时，有三个实根q◆答案：C,D★分析：画出yxx及ypxq的图象：知A、B正确，C、D错误．选C、D．1981*8、(此题15分)以下表中的对数值有两个是错误的，请予纠正：x0.0210.271.52.835lgx2abc36a3b23abc12a2bc2abacx678914lgx1abc2(ac)33a3c4a2b1a2b1981年二十五省、市、自治区中学生结合数学比赛第2页共4页★分析：若lg32ab，则lg94a2b及lg0.276a3b2，此三个数值同时正确或错误，故此三个数值都正确．若lg833a3c，则lg21ac，lg51lg2ac，lg6lg2lg31aba．因为此三数同时正确或错误，故此三个数值都正确．于是lg1.5lg3lg23abc1与表中lg1.53abc矛盾．即lg1.5的数值错误．若lg2.812a2bc，则lg14lg2.8lg51a2b，lg0.021lg3lg14lg22abc3，即此三个数值同时正确或错误，故此三个数值正确．lg7lg14lg22bc，与表中lg72a2c矛盾；∴表中lg1.5与lg7是错误的，应为lg1.53abc，lg72bc．1981*9、(此题15分)在圆O内，弦CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为，求证：PCQEPDQF2．1★证明：作OMCD，垂足为M，交EF于N，设ONn，OMm．则CMDM1m2，ENFN1n2，即证1m2m1n2n1m2m1n2n2．睁开得，1m21n2mn1．移项，平方得，m2n22mn．取“”号时，M,N在点O同侧，此时mn，总之，命题成立．(当E,F互换地点时，且CD,EF在点O侧时，可能有mn．)又证：PC2PD2CMOM2CMOM22CM2OM22，同理QE2QF22．∴1981年二十五省、市、自治区中学生结合数学比赛第3页共4页4PC2PD2QE2QF2PC2QE2PD2QF22PCQEPDQF．等号当且仅当PCQE，PDQF时成立．但由已知，此二式不行立．故证．1981*10、(此题15分)组装甲、乙、丙三种产品，需用A,B,C三种部件．每件甲需用A,B各2个；12个A与1个C．用库存的A,B,C三种部件，如组装成p件每件乙需用B,C各个；每件丙需用甲产品、q件乙产品和r件丙产品，则剩下2个A和1个B，但C恰巧用完．试证：不论如何改变甲、乙、两产品的件数，也不可以把库存的A,B,C三种部件都恰巧用完．★分析：已知即：每个甲用A2，2，每个乙用1，C1，每个丙用A2，C1．BB∴共有A产品2p2r2件；B产品2pq1件；C产品qr件．设组装m件甲，n件乙，k件丙，则用2m2k件A；用2mnBnk件C．件；用2p2r22m2k(1)(2)如所有用完，则有pr1mk(3)2pq12mnqrnk(4)(2)(3)(4)：3p23m．这是不行能的．故证．1981*11、(此题20分)一张台球桌形状是正六边形ABCDEF，一个球从AB的中点P击出，击中BC边上的某点Q，而且挨次碰击CD、DE、EF、FA各边，最后击中AB边上的某一点．设BPQ，求的范围．提示：利用入射角等于反射角的原理．★分析：只需把这个正六边形经过5次