弹塑性力学第05章课件

第五章薄板的小挠度弯曲

板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯曲问题。第五章薄板的小挠度弯曲

§5-1基本概念与计算假定§5-2薄板内力§5-3薄板弯曲的基本方程§5-4边界条件§5-5四边简支矩形薄板的重三角级数解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角级数解(Levy解)§5-7圆形薄板的弯曲

§5-1基本概念与计算假定

板、板面、板边、板厚薄膜薄板：当板厚与板面内最小特征尺寸之比在1/80～1/5之间时

厚板挠度小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于1/5大挠度问题

基尔霍夫假设

（1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向下，则根据此假设，有εz=0和γxz=γyz=0。基尔霍夫假设（2）与σx，σy，τxy等相比，σz很小，在计算变形时可以略去不计。（3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移，即（u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y）根据这个假设，中面内的应变分量εx，εy和γxy均等于零，即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y）称为挠度函数。在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析计算中，已得到广泛的应用。§5-2薄板内力

根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式。一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式二、薄板中的应力分量表示式

三、薄板横截面上的内力表示式

（5-1）

式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量的表示式

由此可见，应变分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。

（5-2）

(a)二、薄板中的应力分量表示式

根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。

（5-3）

次要应力分量按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上，它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程：

（5-4）

（5-5）

式（5-4）就是切应力τxz和τyz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力τxz和τyz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿梁高方向的变化规律相同。σz沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。

将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:三、薄板横截面上的内力表示式下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。阴影微分面单位宽度上的正应力和切应力的主矢量分别为σxdz，σydz和τxy=τyxdz。由于σx，σy，沿板厚按线性规律分布，以及分布的反对称特性，所以，它们在板的全厚度上的主矢量为零。构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它们在单位宽度内的力偶矩横向剪力切应力分量只可能合成横向剪力，在每单位宽度上分别为

（5-8）

显然，这里的Mx，My分别表示垂直于x轴和y轴的板的横截面单位宽度上的弯矩，Mxy，Myz分别表示这两个截面单位宽度上的扭矩，而

和

为这两个横截面单位宽度上的横剪力，它们统称为板的内力。弯矩和扭矩的量纲为[力]，横向剪力的量纲为[力]·[长度]-1。按弹性力学关于应力分量指向的规定，弯矩Mx，My以使板横截面上z>0的一侧产生正号的正应力σx，σy时为正；扭矩Mxy，Myz使板横截面z>0的一侧产生正号的剪应力

时为正；横剪力

，

使板截面产生正号的剪应力

时为正，如图5-4。

由式（5-3）、式（5-4）与式（5-6）、式（5-8）比较后可以看出，应力分量又可通过相应的内力表示为

与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应力公式相似。

§5-3薄板弯曲的微分方程

通过板内任一单元体的平衡，可进而建立挠度w所满足和微分方程。薄板弯曲的小挠度问题，是以挠度w作为基本未知函数求解的，属位移解法。

ΣMz=0已经满足。现要从其余三个方程导得内力所必须满足的平衡微分方程。由ΣFz=0，有

化简后约去dxdy，得对过板单元中心而与y轴及x轴平行的直线取力矩的平衡方程，化简以后，略去微量，得到（5-10）（5-11）式（5-10）和式（5-11）即为内力表示的平衡微分方程，将式（5-11）代入式（5-10），又可得到用弯矩、扭矩及荷载表示的平衡微分方程：将式（5-6）代入式（5-12），则得出薄板弯曲的基本方程：（5-12）（5-13）

此方程称为薄板的弹性曲面微分方程或挠曲微分方程。这样，问题就归结为在给定的板边界条件下求解方程式（5-13），求得挠度w后，可按式（5-3）、式（5-4）、式（5-5）求得应力分量，由式（5-6）、式（5-8）求得薄板的内力。§5-4边界条件

有了以挠度表示的内力表达式（5-6）和式（5-8），接下来以矩形薄板为例，讨论板边几种常见的边界条件

如果已知作用在板边外力的静力效应，即已知这些外力所产生的弯矩、扭矩和横向剪力，则严格地说，板的三个内力，即弯矩、扭矩和横向剪力的边界值，应一一对应地与这些外加的弯矩、扭矩和横向剪力相等。可见，在每个边界上有三个边界条件。但薄板弯曲的基本方程（5-13）是四阶的椭圆型偏微分方程，根据偏微分方程理论，在每边上，只需要两个边界条件。

换，于是得到图5-6（b）所示的受力情况。注意，在两个微段的交界点n处，向上的横向剪力Myx和向下的横向剪力

将合成一个向下的横向剪力

。这个力又可用分布在以n点为中心、长度为dx微段上的分布剪力

来代替，这个分布剪力的方向向下。对板的整个边界都如此处理，该边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力。将它与原来的横向剪力相加，得到AB边上的总的分布剪力：（5-14）

的符号规定与

相同。必须注意，在板边的两端A和B还有两个未被抵消的集中力（Myx）A和（Myx）B，如图5-6（b）所示。

若对平行于y轴的板边CB采用同样的做法，则可将作用于CB上的连续分布扭矩Mxy变换为等效的分布剪力

（见图5-6（b）），该边上总的分布剪力为（5-15）

的符号规定与

相同。在边界两端C和B也有两个集中力（Mxy）c和（Mxy）B。

FRB=2（Mxy）B

（5-6）（5-14）（5-15）（5-16）（5-19）（5-18）（5-17）（5-8）将式（5-6）的第三式和式（5-8）代入式（5-14）—式（5-16），则Vx，Vy和RB都可用挠度w来表示，即（5-17）（5-18）（5-19）

板的边界一般有简支边、固定边和自由边三种情况。图5-8所示的OC边为简支边界，OA为固定边界，AB和BC边为自由边界。现分别建立它们的边界条件。

（1）简支边界

简支边上的挠度和弯矩为零，即图5-8简支边界固定边界自由边界自由边界CBA（w）y=0=0但由于（w）y=0=0，必然有所以，简支边的边界条件可写为（5-20）（2）固定边界固定边界上的挠度和转角为零，故有边界条件：（5-21）（3）自由边界自由边界上的弯矩和总的分布剪力为零。例如，对于图5-7中的AB边，应有（My）y=b=0，（

）y=b=0；对于CB边，应有（Mx）x=a=0，（

）x=a=0。注意到式（5-6）的前两式和式（5-17）、式（5-18），有（5-22）（4）角点条件如上所述，当沿板边的扭矩变换为等效分布剪力后，在板的角点将产生一个集中力。如果角点受到支承，如图5-8中的O点，这个集中力就是支座对板的角点O的集中反力。在求得了挠度w后，这个集中力可由式（5-19）求得。对于悬空的角点，例如图5-7中的两自由边界的交点B，则应有

FRB=2（Mxy）B=0

即如果在B点有支座，而其挠度被阻止发生，则应有（5-23）§5-5四边简支矩形薄板的重三角级数解

由上述几节建立的求解弹性薄板弯曲问题的基本方法可归属为位移解法。本节介绍纳维（Navier）的重三角级数解法。图5-9图5-9所示一四边简支矩形薄板，边长分别为a和b，受任意分布的横向荷载q(x,y)作用。此问题的边界条件为当x=0和x=a时，w=0，

当y=0和y=b时，w=0，（a）

（b）挠度函数取重三角级数，即设（5-24）其中，m和n为正整数，Amn为待定系数。显然，它已满足边界条件式（a）和式（b）。将式（5-24）代入式（5-13），得（c）为了确定系数Amn，可以用两种方法：一种方法是将q（x,y）展成重三角级数（其中的系数可由函数的富氏级数公式确定），然后代入式（c），比较等式两边同类项的系数，即可求得Amn。另一种方法是把式（c）看成是q（x,y）的展开式，从而求出系数Amn。这里采用后一种方法。在式（c）两边同乘,然后分别从0到a和从0到b对x和y进行积分，并利用三角函数的正交性:于是得到（d）代入式（5-24）得（5-25）由此可进一步求内力和支座反力。下面举两个算例。

例5-1边长分别为a和b的四边简支板受均布荷载q0作用，试求板的挠度、弯矩和扭矩。解由式（d）算得故（e）最大挠度在板的中心，为:（f）图5-10由此不难利用有关公式求得弯矩和扭矩。

例5-2边长为a和b的四边简支矩形薄板，在板面任意一点A（，η）受集中力P作用（图5-10），试求板的挠度。

解

对于集中荷载，可以看成作用在边长为Δx=Δξ，Δy=Δη的微面积上的均布荷载

，其余各处，荷载为零。由式（d）并利用积分中值定理，得:于是得板的挠度为（g）如P作用于板的中心（x=a/2,y=b/2），则该点的挠度为本节介绍的纳维解法的优点是：适用于多种荷载情况而且求解时比较简单；但它的缺点是：只适用于四边简支的矩形板，且级数收敛较慢，特别是计算内力时，要计算很多项。§5-6矩形薄板的三角级数解对于有两对边简支的矩形板，可以采用莱维（Lévy）解法，它和纳维解法相比，适用范围更广，收敛性也比较好。图5-11仍设矩形板的边长分别为a和b，x=0及x=a为简支边，y=±b/2边可以为任意支承（图5-11）。现取挠度为如下单三角级数：

（5-26）其中，Ym（y）是待定函数，级数（5-26）已经满足了一对简支边的边界条件，即

因此，只要确定函数Ym（y），以使弹性曲面微分方程和

两边上的边界条件被满足即获解。

为此，将式（5-26）代入方程（5-13），得:（a）将式（a）右边的

展开为傅里叶级数，有（b）其中（c）将式（c）式代入式（b），并与式（a）对比，应有（d）其中，fm(y)是方程（d）的任一特解，荷载q已知时，可由式（d）右边积分的结果来选择，而系数Am，Bm，Cm，Dm可由

处的边界条件确定。

将式（e）代入式（5-26），即得挠度表达式：式（d）作为常微分方程，其解为（e）（5-27）下面举两个算例。例5-3设图5-11所示的矩形薄板是四边简支的，受均布荷载q0作用，求挠度。解当分布荷载为均布荷载q0时，式（d）右边的积分为图5-11于是微分方程（d）的特解可以取为代入式（5-27），并利用变形的对称性，Ym(y)应是y的偶函数，于是有Cm＝Dm=0，则（a）利用边界条件：得出决定Am及Bm的联立方程：（m=1,3,5,…）及（m=2,4,6,…）其中，

。分别求解此两组方程，得和Am=Bm=0（m=2,4,6,…）将求得的系数Am,Bm代入式（a），得挠度的最后表达式为（b）最大挠度发生在薄板中心，将

代入式（b），即得例5-4一边长分别为a和b的四边简支板，板面无荷载作用（q（x,y）=0），但在

边界上受均布弯矩M0作用，如图5-12所示，试求板的挠度。

解

因为q（x,y）=0，方

程（d）右边积分为零，变为齐次方程。故式（5-27）中的fm(y)=0，并考虑到变形的对称性，有Cm＝Dm＝0，于是，式（5-27）变为（a）因为

的边界为简支，且受正向的分布弯矩M0作用，故此边界处的边界条件为（b）由式（b）的第一式，有Amchm+Bmmshm=0式中（c）由此得Am=-Bmmthm代入式（a），得（d）利用边界条件（b）的第二式，有等式两边同乘,然后，对x从0到a积分，注意三角函数的正交性，得

(m=1,3,5,…)代回式（d），得挠度表达式为§5-7圆形薄板的弯曲一、基本方程与边界条件对圆形、扇形、圆环形等形状的薄板，采用极坐标系（r，θ）较为方便。在极坐标中，板的挠度和横向荷载都作为极坐标r和θ的函数，即w=w（r,θ），q=q（r,θ）。通过坐标变换，可以得到圆形薄板的弹性曲面微分方程以及内力和挠度函数的关系式。在第三章中，曾导出了直角坐标系下和极坐标系下一些微分运算符号之间的变换关系，利用这些关系，可以得到下列变换式：（a）（b）从式（b）可知，拉普拉斯运算符号为（c）应用式（c），弹性曲面微分方程（5-13）可变换为（5-28）为了导出相应的内力公式，从薄板中取出一个微小的单元体，如图5-13所示。我们用Mr，Mrθ和

分别表示γ为常量的横截面上的弯矩、扭矩和横剪力，