探讨循环小数的循环节word

探讨循环小数的循环节李肖梅国际企业管理系摘要：循环小数的循环节是一个令人玩味的主题，他的迷人处不下于质数，可是如果用纸笔来计算循环节的长度，这又是一件极无聊且麻烦的事情，但是借着科技计算机或计算器的帮助，学生可以很快的找出分数转换小数的结果，依据这些快速求出的答案，学生可以找寻规则、提出假设、及做出结论。本文是报告商科一年级学生及师范生如何利用计算器与计算机，经由探讨循环小数的循环节，而发现一些早期数学家例如高斯等提出的有关「数论(NumberTheory)」的定理，让理论抽象的「数论」中的数学概念，成为容易了解的学习活动及引人勇于探索的数学问题，本文尝试解释学生如何利用回答下列有关循环小数的相关问题，并藉计算器与计算机寻求出的解答，发现重要的高阶数学定理。关键词：计算器循环小数循环节数论科技教学壹、前言商科大一数学及师范生国小数学教材教法课程的学生，在利用计算器将分数转为小数的求解过程中，发现计算器的缺点，因为计算器的显示数字最多只能有12位数字，老师提供的计算器只有八位，因此学生提出二个问题，无循环小数概念的学生会问小数点后要有几位有效数字，因为四舍五入估测概念深植在学生脑中，有循环小数概念的学生会问这个答案的小数是否循环，如何求循环节长度？为了要让学生对循环小数有深入的了解，作者设计了一些学习活动，让学生如早期数学家一般，研讨这个令人玩味的主题，循环小数的迷人处不下于质数质数有多长的存在探讨历史(Ore,1948)，循环小数的循环节就有多久。在没有计算器与计算机的时代，就有许多数学家，花费很长的时间寻找循环小数的循环节，因此很多有关循环小数的循环节的定义与定理相对产生，「数论」也成了数学系一门很重要的课程，作者希望非数学系的学生及师范生了解小数循环节的由来。二十一世纪是一个科技时代，学生应有科技知识的训练(李肖梅，民89,民91)，本文是报告学生如何利用计算器与计算机来探讨循环小数的循环节，让理论抽象的「数论」中的数学定理，成为容易了解的学习活动的成果。贰、设计教学活动的学习理论科技的突飞猛进，电算器的低价码与普遍性，利用电算器，求数学的运算结果，已是一般人日常生活的一部分，例如，报税、算帐、出国时的专换汇率(Irwin,2001)等等，学校中利用科技辅助数学的教学与学习也是全球趋势(李肖梅，民92)，因此，在小数教学中，使用科技产生的结果，造成学生的对循环小数的兴趣(李肖梅，民94)，例如循环节的长度、如何找循环节(Lee,2005)、如何预测二数相除之结果的分类等等引人追求的问题，均因有了科技的辅助，而能一目了然。依据国科会补助之「图形计算器辅助数学科技化教学之研究」，李肖梅（民89,民90，民91）研发出一个学习理论的架构，让科技辅助下的数学教学，使学生具备以下的能力。连结性：了解数学概念由哪里来往哪里去。发展性：由已知的概念去发展未知的知识。扩张性：除了水平的发展外，仍可扩张为垂直的发展。例行性：哪些数学知识是例行必须的，哪些是偶而才会需要的。重建性：因了解而能建构出新的知识，或在既有的架构下，往深与广面再建或重建。学生的学习是自我成长、发现事实、找出关连性、经由猜测、加以推论而获得知识，而非记忆老师说的话，为了验证学习理论之有效性、学生学习的兴趣、及学习成效，及找出计算器无法显示藏在机器里面的小数循环节长度的现实问题，作者设计了学习活动，活动设计的理念与学习步骤如下：呈现例题：借着科技辅助快速呈现量化的例题。观察异同：观察例题的相同与相异处做出分类。分析归类：分析类组相同范例的特征。猜测推理：做出猜测与推理。形成结论：依据推理做出结论。让学生能依据呈现例题、观察异同、分析归类、猜测推理、及形成结论，探讨循环小数的相关问题，及藉由计算器与计算机的辅助寻求出的解答，达成了解有关循环小数概念的认知，学习活动包含以下五个循环小数的概念探讨。循环小数学习活动一：小数的表征类型。循环小数学习活动二：质数分母的无限循环小数的循环节的产生。循环小数学习活动三：质数分母的无限循环小数的循环节的长度的决定。循环小数学习活动四：质数分母与合数分母的循环节长度的关系。循环小数学习活动五：利用计算器求循环小数的循环节长度。参、教学活动一、循环小数学习活动一：小数的表征类型（一）呈现例题利用计算器求出分母为20以内所得结果之小数的类型huimimMmniww1/19huimimMmniww1/190.052S31S73951^20a.sseaeswaesMiiiall（二）观察异同与推论由图一运算结果显示，学生可找出小数之种类，第一类分数为1/2,1/4,1/5,1/8,1/10,1/16及1/20等分数均可转为有限小数第二类分数为1/3,1/7,1/9,1/11,及1/13等小数的展开式为无限循环小数第三类分数为1/12,1/14,1/15,及1/18等为混和小数；第四类分数是1/17及1/19的小数类型为无法判断，因为计算器只能呈现十一位数字，其它隐藏在计算器内的数字，无法判断是否有重复的数字，这成为学生需要进一步探讨的对象。（三）利用计算机求出分母为1/17及1/19之小数的类型虽然计算器无法判断，学生用功能较强的计算机来求小数长度，由计算机mircalc.zip计算可求出1/17的结果有重复数字，重复数字的长度为16,亦即循环节长度为16，因此，1/17=0.0588235294117647，同理可求出1/19=0.052631578947368421，因此可将1/17与1/19归类为无限循环小数。（四）结论求分数化小数的过程中，发现小数的种类有三类型（Lady,2004），第一类为有限小数，第二类为无限循环小数和第三类为混和无限循环小数。第一类有限小数分母的质因子分解式，仅含2与5的二个质因子，第二类无限循环小数的分母，除了9之外均为质因子，而9是3的倍数，第三类混和循环小数分母的质因子分解式含2与5及其它质因子的乘积，混和小数中含循环及不循环数字，而不循环数字的个数称为延迟数，小数中重复的数字或循环的数字称为循环节，重复数字或循环节的个数称为循环节的长度。二、循环小数学习活动二：质数分母的循环小数的循环节如何产生？（一）呈现例题请学生分成小组利用纸笔，用长除法求质数分母的分数1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7,1/13,2/13,3/13,4/13,…,12/13等的余数，并将其列出，下图三为计算1/7,1/13和2/13的长除法（Lichtenberg,1978）的算式。0.1428570.0769230.153846\100000'.100000■■.2000007131131，•—711/—911_3309070287865201205014117396030110562610440406045395250180497812图二：长除法（二）观察异同与推论由图二1/7的算式，可看出分数1/7经由长除法得余数1,3,2,6,4和5,当余数1与被除数1相同时，表计算结束因为再计算下去会产生相同的商与余数。其它分母为七的分数2/7,3/7,4/7,5/7和6/7,经长除法求得的余数与1/7相同。由图二1/13和2/13的长除法的算式可看出分数1/13经由长除法得余数1,10,9,12,3和4,当余数1与被除数1相同时，表计算结束，但是余数只有六个，少了余数2,5,6,7,8,和11。而分数2/13经由长除法得余数2,7,5,11,6和8当余数2与被除数2相同时，表计算结束，而余数也是只有六个，少了余数1,10,9,12,3和4。其它分母为13的真分数，经长除法求得的余数分成两组，一组余数与1/13同另一组与2/13同，两组答案的联集为一组12个数字为1~12的余数集合。（三）结论循环小数的循环节的长度与经由长除法所产生的余数个数有关。分母为七的真分数的循环节长度与余数个数相同，为7-1=6。分母为十三的真分数的循环节长度与余数个数不相同，但分成两组，两组的余数个数6均为余数13-1=12的一半，亦即2x6=12,满足与余数相同的概念。三、循环小数学习活动三：循环节长度的决定（一）思考问题：由前一节活动的结论可知，循环节的长度与余数个数相同，例如质因子7,或可由不同的循环节2个组成与余数12个数相同，例如质因子13,但是为何13的循环节长度为6而不是其它数字呢？这是个值得探讨的问题。

（二）呈现例题：观察以下几个循环小数的结果，显示无限循环小数转为分数，未化为最简分数前，分母全是由数字9组成，为什么？0.142857142857142857…=142957/999999=1/70.0024570.142857142857142857…=142957/999999=1/70.002457002457002457…0.149877149877149877…=2457/999999=1/407=149877/999999=61/4070.135135135135135135…0.135135135135135…=135135/999999=55/407=5/37=135/999=5/37（三）活动二：将无限循环小数N=0.358974转为分数。（四）观察异同与推论几个数字的循环节就会产生几个分母中的9,可是这项推论正确吗？请观察下列计算器将分数转为无限循环小数的结果。b-3-33333333333E1/9miiiiin1/110.09090909091段网熊遂遂凌魅HOME箴魅遂凌缀镰籍1.--370.0270270270836--379.972972972971-101U.0099009901E1x4070.002457092-M。.汕914。明浏4M/4B76.99754295754405,407矶99巽海笑g图三：循环节的长度（五）结论由图三循环节的长度中的数值，可看出小数的循环节的长度与分子无关，与分母为全含数字九的因子有关循环节的长度是能使分母q整除数字10k-1的最小的k值。例如，分母为3或9,循环节的长度是一位数字，因为为3或9均可整除9=101-1，最小的k值为一。分母为11，循环节的长度是二位数字，因为为11可整除99=102-1，最小的k值为二，99可以被11整除或1/11=9/99。分母为37，循环节的长度是三位数字，因为为37可整除999=103-1，999可以被37整除或1/37=27/999，虽然37可以整除999,999999或99999999，但是需要的循环节长度是最小可整除全是9的数字而999含9的个数为3是最小的个数最小的k值为三。分母为101循环节的长度是四位数字，因为为101可整除9999=104-1,最小的k值为四|。分母为41而41可整除99999或1/41=2439/999999有五个，故1/41的循环节为5。1/7的循环节为6，因为999999可以被7整除或1/7=142857/999999。图四：质因子的倍数图四：质因子的倍数将无限循环小数N=0.顽祈转为分数。解：令N=0.358974358974358974358974(1)1000000N=358974.358974358974358974(2)-(1)999999N=358974-358974.•N=999999经整理在计算器的最大容量范围内，求出质因子的倍数是全有数码九所组成的数字，列表如下。表二：由不同个数的9组成的数字的质因子分解式数字全是9质因子分解式9329932X1199933x37999932X11X1019999932X41X27199999933X7X11X13X37999999932X239X46499999999932X11X73X101X13799999999934X37X333667999999999932X11X41X271X909199999999999(2-3-3-5-11-41-271-9091错误值)因计算器程序会产生四舍五入的误差值，无法给予正确因子分解32X21649X513239（正确值）99999999999932X7X11X13X37X101X9901四、循环小数学习活动四：质数分母与合数分母的循环节长度的关系（一）呈现例题、观察异同与推理观察将分数分母为数字二十以内的小数展开式分类并将小数分类i）小数的种类ii）循环节的长度iii）延迟数的个数，填入下表三：观察图一循环小数类型，第三类分数为1/12,1/14,1/15,及1/18等混和循环小数中，分母质因子分解式2与5的最高次方，再比较延迟数的个数，找出两者的关系。观察图一第三类分数为1/12,1/14,1/15,及1/18等混和循环小数中，在分母的质因子分解式中，利用含非2与5的质因子的循环节长度，求一个、二个或多个质因子循环节长度的最小公倍数，比较此公倍数与混和循环小数的循环节，找出两者的关系。（二）结论1.分母质因子分解式2与5的最高次方，与延迟数的个数相同，例如1/12=0.082

的延迟数字为2,分母12的质因子分解式：12=22X3中质因子2的最高次方亦为2。分母的质因子分解式中，利用含非2与5的质因子的循环节长度，求一个、二个或多个质因子循环节长度的最小公倍数，此公倍数与混和循环小数的循环节两者的关系亦相同。例如1/14=0.0714285分母14的质因子分解式：14=2X7中质因子7的循环节为6,1/14的循环节亦为6,又因此分解式中有质因子2,而其次方为1，固有延迟数为1。结论填入表三表三：单位分数分母为数字二十以内的小数展开式K刀母小数展开式小数类型：T表有限、P表循环、M表混和，数字表延迟数及循环节长度2%=0.5T（有限）:1（小数个数）31/3=0.3P（循环）：1（循环节长度）4%=0.25T:251/5=0.2T:161/6=0.16M（混和）:1,1（延迟数及循环节）71/7=0.142857P:681/8=0.125T:391/9=0.1P:1101/10=0.1T:1111/11=0.09P:2121/12=0.083M:2,1131/13=0.076923P:6141/14=0.0714285M:1,6151/15=0.06-M:1,1161/16=0.0625T:4171/17=0.0588235294117647P:16181/18=0.05-M:1,1191/19=0.052631578947368421P:18201/20=0.05T:2五、循环小数学习活动五：计算器求循环小数的循环节长度提供以下范例让学生可利用最简单、便宜的八位的计算器，自由探讨任意真分数的小数类型与循环节的长度，求解步骤如下：（一）了解电算器：若要找出分数N/D的小数表征，需要知道电算器的显示数字的个数是几位。例如：求分数7/23之小数循环节，使用一个呈现八位数字的电算器，则令分子N=7，分母D=23，对任意数字A而言，令#（A）表数字A的位数，例如，23是二位数字#（23）=2，且#（.123456789012）=12。令B=#（电算器显示数字C的个数）-#（分母D的个数）。若要知道#C电算器显示数字的个数，只需输入数字123456789012并数几位即可。图十：电算器的呈现数字位数（此电算器的呈现数字的位数为12）4.B=#（电算器的呈现数字的位数C）-#（D）=12-2=10。（二）纪录分子除以分母产生的小数值，需依B长度区块做纪录。经过起始的纪录，小数点前的数字依是否为真分数来决定（N是否大于D）；（1）若N<D，则起始于记录为0。（2）若N>D，则将假分数N/D转变为混合分数a+号'，然后记录起始数字a，再执行运算过程。范例：若分数是40/23,则起始记录为整数1，求小数点后分数17/23的循环节，因为四=1+17。2323过程步骤步骤一：记录N/D的起始数字。步骤二：清除电算器内部或外部任何记忆内容。步骤三：计算N-D之值，例如：17-23=0.739130434783。步骤四：配合电算器的显示个数，如果B=12-2=10，则下一个该记录的B区块数字为0.7391304347。步骤五：判断若未观察出任何循环数值的迹象，表仍需求更多的小数表征，则继续执行步骤六，否则就表示循环节已求出，结束运算算则。步骤六：清除电算器。步骤七：小数点后输入步骤四的B区块数字，例：输入.7391304347。步骤八：乘以分母D，例如，7391304347X23=16.9999999981。步骤九：求N-16.9999999981（步骤八的结果）的差值。例如：17-16.9999999981=0.0000000019步骤十：将步骤十的结果改为整数，小数点后向右移动B位（或乘以10的B次方），得整数19。步骤十一：将步骤十所得整数当成新的分子，然后重新执行步骤二及其它过程。第一次回路：求下一个分数19/23的商，需重复步骤二至十一：步骤二：清除电算器内部或外部任何记忆内容。步骤三：计算N-D之值，现在N=19,19-23=0.826086956522。步骤四：记录新求出的数字，现17/23为0.73913043478260869565。步骤五：仍未能看出循环数字的迹象，决定需更多小数，继续步骤六。步骤六：清除电算器。步骤七：输入.8260869565。步骤八：乘以分母D，例如，.8260869565X23=18.9999999995。步骤九：求差值：N-（步骤八结果）19-18.9999999995=0.0000000005。步骤十：将小数点向右移动B区块（或乘以10的B次方），得整数5。步骤十一：重新订定N=5，转回步骤二至十一如下：第二次计算回路步骤二：清除电算器内部或外部任何记忆内容。步骤三：计算5-23=0.217391304348。顺意醐需牒"-——

4.999959.却73机：S加g鬓四®就11步骤四：纪录增加17/23为0.73913043478260869565217391304348。步骤五:决定继续或终止，一日立的循环节清晰可知，算则即可终止，因、23为23为质数而质数的最长循环节为P-1=23-1=22，而小数值到达22位数时，以看见重复出现的数字，故终止运算算则。肆、循环小数学习活动启发出数论概念一、两整数a与b称为对n同余（Congruentforthemodulusn），当两数之差a-b可被n整除，符号记为aM?（modn）。

练习一：数字1与8对数字7而言是同余，因此1/7=0.142857与8/7=1.142857除了整数部分不同外，均有相同的小数循环节。二、若q为质数，则循环节的长度是(q-1)的因子(Price,2004;Lady,2004)。练习二：13为质数，则循环节的长度是(13-1)的因子吗？已知质数13的循环节的长度是6,而6是13-1=12的因子。三、对任一分母q而言，若其能化为为质因子分解式p：1Xp；2…，则循环节的长度是虫q)=(p-1)pa1-1X(p-1)Pa2-1X...的因子。12练习三：1求91的循环节的长度。解：因为91可分解为91=7X13，故需求7与13的循环节长度，7的循环节长度为屯7)=6，而13的循环节长度为巾(13)=6，因此两循环节的长度的最小公倍数是LCM(《7)=6,衣13)=6)=6。练习四：：探讨3的次方的循环节的长度。解：太练习四：：探讨3的次方的循环节的长度。解：太3)=1太9)=1太27)=3太81)=9巾243)=271Z243计算器无法显示所有的循环节数字可利用活动五的方法求循环节或可利用计算机程序，得1/243=0.004115226337448559670781893的循环节长度为27。能由1/3,1/8,1/27,1/81,1/243推论1/729的循环节长度吗？能推论1/3n的循环节长度吗？《3)=1《9=32)=30衣27=33)=31衣81=34)=9=32《243)=27=33...《3〃)=3n-2四、%与q2最小公倍数的循环节长度是两循环节长度的最小公倍数。练习五：求9997的循环节的长度。解：因为9997可因子分解为9997=13X769，故9997的循环节长度应为12X768=9216的因子，利用计算机求出769重复的数字的循环节为192，1/769=0.001300390117035110533159947984395318595578673602080624187256176853055916775032509752925877763328998699609882964889466840052015604681404421326397919375812743823146944083224967490247074122236671。已知*13)=6同时也求出*769)=192，因此13的循环节长度为6，而769的循环节长度为192,因此两循环节的长度的最小公倍数LCM(6,192)=192。1/9997=0.000100030009002700810243072921876562968890667200160048014404321296388916675002500750225067520256076823046914074222266680004001200360108032409722916875062518755626688006401920576172851855556667,事实上此循环节的长度是192。

五、若p是质数且1/p的循环节长度为k,则1/p会有二个长度为k的不同循环节;k若循环数字为m，则其乘积mp会有k个九。练习六：探讨1/41循环节长度k为何？有几个长度为k的不同循环节？解：海4判2

10000-4H24S由上计算器的显示可看出1/41的循环节长度为k=5而根据同余概念可求出对应余数分别为1,10,18,16和37等五个，因此质因子41会对应虹1=8个不5同的循环节，因无余数2,可用计算器求解对应余数分别为2,20,36,32和33等五个。同理可求出其它的循环节，对应的余数分别为余数3开始的3,30,13,7和29；对应的余数分别为余数4开始的4,40,31,23和25；对应的余数分别为余数5开始的5,9,8,39和21；对应的余数分别为余数6开始的6,19,26,14和17；对应的余数分别为余数11开始的11,28,34,12和38；对应的余数分别为余数15开始的15,27,24,35和22。练习七：探讨1/41循环节数值为何？若循环数字为m，则其乘积mp会有几个九。解：由练习六可知循环节长度为5，1-41=0.02439且2439X41=99999。故得知乘积会有五个九。伍、由数论引出之循环小数趣味游戏一、圆形排列：活动一的后续发展分数1/7的小数展开式的循环节数字可以形成环状，以顺时钟方向旋转，立刻可以看出无限循环的可能性。首先将分1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,与6/7一一列出如下，比较组成循环节数字的同异处。

1/7=0.1428574/7=0.5714282/7=0.2857145/7=0.7142853/7=0.42857161/7=0.1428574/7=0.5714282/7=0.2857145/7=0.7142853/7=0.4285716/7=0.8571421X142857=1428572x142857=2857143X142857=4285711X142857=1428572x142857=2857143X142857=4285714x142857=5714285X142857=7142856X142857=85714222/2/7学生的第三个发现是两分数1/7+6/7相加的和是一，而循环小数部分的和却是数字九的无限循环，因此两者不同表征，数值是否相同，「0.99999.....=1」是否相等的叙述受到热烈的讨论。+6=0.142857+0.857142=0.99999977+5=0.285714+0.714285=0.99999977+4=0.4285+0.571428=0.9977学生的第四个发现是组成数字1,4,2,8,5与7形成环状排列(Seydel,1979;Lady,2004)如下图五所示：1/7=.142857....15/74/756/7图五：1/7的圆形排列学生的第五个发现是在圆形排列中，除了可看出对应圆环外的分数和为一，且对应圆环外的小数和为九，分子大于7的数字化为带分数之后，依顺时钟产生相同小数数码，再一次验证modn的概念。图六：分母为七的带分数之小数异同

学生的第六个发现是图五环状排列分数出现的次序，与活动二的长除法求余数时，余数的次序相同，为什么呢？有了以上的发现，小数变的没那么枯燥乏味，而是更有创意与巧思。二、圆内数字与圆外分数的再探讨活动一：图五小数点依顺时钟方向移动，就会形成另一个同分母分数的循环小数，令a表圈内的小数点后的数字，令n/7表a所对应圈外的分数，若将小数点移动a180°，此时小数点后的数字令为b，令nb/7表b所对应圈外的分数，则观察下列数值为何？a+b=?若a=1小数点移动180°后会落在数字b=8前此二数之和1+8会等于9(Price,2004).若a=4小数点移动180°后会落在数字b=5前，此二数之和4+5会等于9.若a=2小数点移动180°后会落在数字b=7前，此二数之和2+7会等于9.na+nb=?若a=1对应圈外的分数na/7=1/7，小数点移动180°后数字b=8对应圈外的分数nb/7=6/7前此二数之和na+nb=1+6=7.若a=4对应圈外的分数na/7=3/7，小数点移动180°后数字b=5对应圈外的分数nb/7=4/7前此二数之和na+nb=3+4=7.若a=2对应圈外的分数na/7=2/7，小数点移动180°后数字b=7对应圈外的分数nb/7=5/7前此二数之和na+nb=2+5=7.活动二：若环状是由分母为13的分数组成，则前述两个问题是否仍然成立？分母为13的分数，有几个环状排列？为什么？活动三：令p表分数的分母，若将小数点移动120°，令a表圈内的小数点后的第一数字，令na/p表a所对应圈外的分数，令为b表圈内的小数点移动后的第二数字，nb/p表b所对应圈外的分数，令。表圈内的小数点后的第三数字，nc/p表c所对应圈外的分数，则观察下列数值为何？a+b+c=?na+nb+nc=?三、若已知某分数的环状排列循环小数展开式，可求其环内数值对应的环外分数吗？若循环节的长度为奇数时，则小数点移动180°与120°上述结果仍成立吗？

1/13=.076923100000/13=4/1310000/13=3/1310/13100/13=9/131000/13=12/13图七：1/13的圆形排列1/13=.07692310/13100/13=9/13图八：1/13的循环小数之排列发现一：若依顺时钟移动小数点一位，则两位分数分子na与％关系是nb=10na(modp)(Ore,1948)。例如na/13=1/13=0.076923…，则nb=1*10=10ib/13=10/13=0.769230…。例如nb=10,则nc=10*nb=100=(7*13)+9三9(mod13),而9/13=0.692307…，依此类推可找出对应移动环内1/13小数点位置的环外分图八：1/13的循环小数之排列发现二：若循环小数的长度是奇数，且为3的倍数，则小数点可作120°移动但是无法作180°移动。发现三：质数分母13的循环节长度为6，6可整除(13-1)=12，且12/6=2，故分母为13的循环节有两个，每个循环节的长度为6。陆、结语小数教学一直是停留在四则运算与比较大小的计算方面，有了科技的帮助，学生可以揭开循环小数的面貌，了解循环小数的基本原理，对数概念有进一步的认知，最重要的是科技与学校教学只提供一个方法，让学生对无限循环小数这个耐人玩味的数学概念，也能像古代数学家一样勇于追求，借着现代的科技辅助，发现出很多「数论」中的定理定义，认识循环小数之渊博，本文仅能介绍作者设计出的几个活动，让学生从事无限循环小数的有趣的发现，利用计算器或计算机探讨循环小数也只是井中观天，因为数论的海阔天空，非有限制的计算器或计算机能一览无遗的，但是这已经能让抽象的「数论」概念中的定理定义，变的易懂易学。最重要的是让过去学过的数学知识得以发挥，让数学的学习具有意义，让数学概念得以向高阶数学概念挑战，让连结性、发展性、扩张性、例行性及重建性的学习理念，从数学概念由哪里来往哪里去，将已知的概念去发展未知的知识，除了水平的发展外，仍可扩张为垂直的发展，了解哪些数学知识是例行必须的，哪些是偶而才会需要的，最后藉既有数学知识，去了解而能建构出新的知识，或在既有的架构下，往深与广面再建或重建数学新知识。柒、参考书籍英文参考书籍Devi,S.(1977).Figuring:TheJoyofNumbers.Harper&Row,Publishers:NewYork.Irwin,K.(2001).Usingeverydayknowledgeofdecimaltoenhanceunderstanding.JournalforresearchinMathematicsEducation,vol.,32,no.,4,p.399-420.Kaprekar,D.R.(1948).DemloNumbers.PriceRupeesSix.Lee,B.(2005).Repeatingdecimalshowdotheyrepeat?PaperpresentedatNCTMAnnualMeeting.Lady,E.L.(2004).ThePeriodforthedecimalexpansionofafraction.Lecturepaperfromtheauthor.Lichtenberg,D.R.(1978).Mini-calculatorsandrepeatingdecimals.MathematicsTeacher,p.524-530.Maxfield,J.E.