高数下学期答案1判断下列是几阶微分方程

11-dyd（1） d

ytant3t3sint （2）(7x6y)dx(xy)dy0（3）x(y)22yyx0 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方（1）一阶微分方程 （2）一阶微分方程（3）三阶微分方程 （4）三阶微分方程（1）xy2y，y5x2yy0，y3sinx4cosxy2yy0，yx2ex(xyx)yx(y)2yy2y0，yln(xy)解（1）y10x代入所给微分方程的左边，得左边10x2，而右边52x210x2y5x2xy2yy3cosx4sinxy3sinx4cosx代入所给微分方程的左边，得左边3sinx4cosx(3sinx4cosx0右边y3sinx4cosx是所给微分方程yy0的解．yx2exy2xexx2exy2ex4xexx2ex代入所给微分方程的左边2ex4xexx2ex2(2xexx2exx2ex2ex0（右边，yx2ex不是所给微分方程y2yy0的解．y1y 即xyyyxy（3）xyC1exC2ex （4）(yC1)2C2x解注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含yC，(y)2xyyyxtan(xCxytan(xC)xsec2(xC)即ytan(xC)xxtan2(xC)ytan(xCx yy xx

xxyyx2y2xyC1exC2ex两边x求导

yxyCexCex yyxyCexCe

xy2yxy由yC1)2C2xx2(yC1)yC2(yC将C2 代入上式，并化简x2xyyC1

2y2xyy0．21.xyylny0 （2）cosxsinydxsinxcosydy0（3）yxy2(y2y) （4）x(1y)dx(yxy)dy0yy3xy2x，yx012xsinydx(x23)cosydy0，

（1）即

dy1dxyln ln(lny)lnxlnClnyCxyeCxx与C等本应写为|x|与|C|等，去绝对值符号时会出现号；cosydycosxdxsin sinln(siny)ln(sinx)lnC即ln(sinysinx)lnC

sinysinxC(x1)dy2y2

1dy

2x

dx

12ln|x1|Cy即

y 2ln|x1| dy xdx1 xyln(1y)xln(x1)lnCexyC(1y)(x

3y2

dyxdx1ln(3y21)1x2lnC 即 1(3y21)6Ce2

x01，

(31)6C，即C26 11 (3y21)626e2，即3y212e3x将方程两边同除以(x23)siny0 dxcosydy0x2 sin

2xdx

cos Cx2 sin

ln(x23ln(sinylnC（其中C1lnC ，

(x23)sinyCC4sin26(x23)siny2y2yyxy(23 1dy1dx 即由定解条件 3，xy6x

lnylnClnxyCxC6一粒质量为20克的以速度v0200（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度v180（米/秒）离开木板．若该木板对的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k），问穿过木板的时间．mdvkv2，即

t

200

1ktC

k

1dvkdt tC（20克＝0．02千克t代入定解条件 200t故有v ．10000kt

C1设穿过木板的时间为T秒，0.1 010000kt

T0又已知tTvv180米/

1ln(10000kT1)

80 ，10000kT

kT0.000150.1

50

Tln

0.00750.000750.0008（秒故穿过木板运动持续了T0.0008（秒y2（1）xyy 0 （2）(x2y2)dxxydyy2 （3）(x3y3)dx3xy2dy0 （4）(12ey)dx2ey

x)dy0yx2dyxyy2，

（6）(y23x2)dy2xydx0，

1（1）yxyx x令uyyuxyuxuxu2u2

uxuu u2 du1du2xln(uu21)lnxlnC即u2u Cx，将uu2xy2y y2 x2 1y ，即 y令uyyuxyuxuxuxu即

1，u

udu1dxx1u2ln|x|C 将uyxy2x22ln|x|C)（其中C2C1dyx3y3，即dy 1(y1(y3(yyux，有dyuxdu x u dux 即

1，1即

du dx1 1ln(12u3)lnx1lnC x2(12u3)C将uyxx32y3Cxxy变量的函数，故令uxxuy，有dxuydu (uydu)(12eu)2eu(1u)0

2eu dudy2eu ln(2euu)lnylnC即2euuCy将uxyx2yeyxC y 令uy，有dyuxdu 即

uxduuu21du1dx 将uyx

1ln|x|Cuxln|x|CyC1ln1y 1ln|x

x13 y

0令uxxuy，有dxuyduy

13u22u(uydu)0

du1dyy即代入uxy

ln(u21)lnylnCu21Cyx2y2Cy3yx01，得C1y3y2x2y)，曲线弧与直线段OP所围成图形的面积为x2，求曲线弧的方程．yy(xxy(x)dx1xy(x)x2 y(x)1y(x)1xy(x)2x

y11yP(x,y

yy4x令uy，有dyuxdu

uxduu du4，即 ，即因uyx

u4ln|x|Cyx(4ln|x|C)yx(14ln|x|)（1）(xy1)dx(4yx1)dy0 （2）(xy)dx(3x3y4)dy0 （1）原方程可写dyxy1 4yxxy1令4yx10x1y0xX1yY有dy dY d(X dYYX

4Y设uX

，则YuX

uX

dY即

Y/X14Y/X

uX

u14u

4u1du1dX4u2 1ln(4u21)1arctan(2u)lnXC 即lnX2(4u21)arctan(2u)

(C2C1)将uY y代入上式，得原方程的通解 xln4y2(x1)2arctan2yC

dy

xx 43(x该方程属于dy

f(axbyc类型，一般可令uaxbyc，有令ux dydu1，则原方程可化，有 du1即

4

3u4du2dxu3u2lnu22xC将uxyx3y2lnxy2C11-（1）y2xyxex2 （2）xy3yx2 （3）tanxdyy5（4）y 1； （5）(y26x)dy2ydx0；（6）d32xln 解（1）yepx)dxqx)epx)dxdx e2xdxxex2e2xdxdxCex2xdxC Cex21x2ex22

y3yxxyexdxxexdxdxCx3C1Cx3x2

x

dycosxy5cosx sin sinsincosxdx5cosxcosxsinyesin

sin

e dxCsinx5cos

CCsinx5

1dx 1 exlnxexlnxdxC lnxdx ln1(xlnxxC)xCx

ln

dx

6x，2

ln即

dx3x1y 3dy 3 xe y

ydyCy3 1dyC 2 y31C2 （6）e3d2e3ddCe3

e3dC e32e3CCe32 （1 cos ytanxsecx

0

ycotx5 ，y4dy23x2y1， 0 解（1）yetanxdxsecxetanxdxdxCelncosxsecxelncosxdx secxcosxdxCxCcos cosx0y0，得C0y cos

cotxdx

5ecosxecotxdxdxCy

15ecosxsinxdxC15ecosxCsin sinxy4，得C12y15ecosxsin即ysinx5ecosx123dx 23 13lnx 13lnx

x3 x3x （3）ye e dxCe e dxC

x3ex12ex2dxCx3ex121ex12d1C 2 x2

x3ex21ex2CxCx3ex2 22 22 x1y0，得C

x3 11y 1e 2 求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x,y2xy 设曲线方程为yy(x)，依题意有y2xy，即yy2x．从 yedx2xedxdxCex2xexdx ex(2xex2exC)2x2exx0y0，得C2y2(exx1)

yf(x)dx[2xf(xx2dy在右半平面（x0）f(xf(11f(x 依题意及曲线积分与路径无关的条件，[2xf(x)x2][yf(x)] 即y

2f(x)2xf(x)2xf(x

f(x)于是，y yy

1． 1dx 1 x e2 e2xdxC xdxx Cx1 x3C2x Cxx x x1,y1，得C1313f(x)2x133 （1）x yxy2

y3x2y3（3）dy1y1(12x)y4 （4）xdy[yxy3(1lnx)]dx0 y2dy1y11． ，则令z dzy2dy，即y2dydz．代入上面的方程，，则 dz1z1， 即dz1z1

1dx 1 ze x)dxCCxxlnx 1Cxxlnxy

33xy z

3，则

14y

4 即

3dz2z3x2 dz2zx2 2dx

2 e (x2 3x)dxC 2 x3(x3)dxC

2 7 x3C

y1Cx233733

x3y4y1y31(12x) zy3z3y4yzz12x

zedx(12x)edxdxCex(12x)exdxC ex(2x1)exC2x1Cex

y32x1Cexy1y1lnxy3y3y1y21lnx zy2z2y3yz2z2(1lnx)x

2dx 2 2(1lnx)exdxC x22(1lnx)x2dxC x22x3(1lnx)2x31dxC x22x3(1lnx)2x3C 2x(1lnx)2xCx2 y22x(1lnx)2xCx2 x24x32x3lnxC 11- （1）xydx1(x2y)dy0 （2）(3x26xy2)dx(4y26x2y)dy02 y2 dx dy0 （1）PxyQ1(x2y2PxQ

u(x,y)x0dxy1(x2 01(x2y1y2)1x2y1y2 1x2y1y2C （2）P3x26xy2Q4y36x2yP12xyQ u(x,y) x3x2dxy(4y36x2 x3y43x2y2

2x，Q

x3y43x2y2Cy2 P6xQ y0

1u(x,y) 2xdxy13xx

y4

x2 x2x2 1 y3 1x2y2

x2 即

（ x2y2Cy3 （1）(x2y)dxxdy0 （2）y2(x3y)dx(13xy2)dy0解（1）即

1ydx1dy0 x2 x dxydxxdydxy0 x （2）

xyCxxdx1dy3(ydxxdy)0d1x2d13d(xy)0 y d1x213xy0

1x213xyC xy2y4lnx （2）yytanxx（1）y2y4lnx x2后变x2y2xy4xlnx即(x2y)4xlnx

x2y4xlnxdx2x2lnxx2Cy2lnx1Cetanxdxcosxycosxysinxxcosx即(ycosx)xcosx

ycosxxcosxdxxsinxcosxCyxtanx cos11-（1）y ； （3）y(5)1y(4)01 解（1）y dxCarctanxC1 yarctanxCdxCxarctanx1ln(1x2)CxC

xexdxCxexexC

y

(xexexC)dxCxex2exCxC y(xex2exCxC)dxCxex3exC1x2Cx （C1也可以直接写成C zy(4，则有

z0zCx

d4y，，yC1x5C2x3C3x2C4xC5（1）yyx （2）xyy0（3）y3y10 （4）yy3（1）ypypppxpedxxedxdxCexxexdxC

exxexexC1x1C1ex即

px1Cex1y(x1Cex)dx1x2xCexC1 ypypxpp0即

dpdx lnpln1lnC

pC1xy C1dxCln|x|C ypypdpy3pdp10

pdp

1dy

p2

C1故1|yCy21C1|yCy21C

Cy2|y|dyCy2由于|y|ysgn(y，故上式两端积sgn( dx，即sgn( CxCCy2CCy2Cy2

Cy21CxC ypypdppdpp3p pdp(1p2) p0yCyCdp(1p2)0

dpdy1arctanpyC1即即

ptanyC1cotyC1dydxlnsinyC1xlnC2sinyC1C2ex

yarcsinC2exC1由于当C20yC1yC（1）yxsinx，y(0)1，y(0)2（2）(1x2)y2xy，y(0)1，y(0)3（3）ye2y，y(0)0，y(0)0yy21，y(0)0，y(0)0（1）y1x2cosxCy1x3sinxCxC 由初值条件y(0)2，知201C1，得C11；由y(0)1，知1000C2，得C21y1x3sinx1．ypyp(1x2)p2xp

1dpp

dx

ypC(1x2)1yC(x1x3)C1 13C(102)1C1313(0102) C2yx33x在原方程两端同乘以2y2yy2ye2y，即y2)e2y)

C11

y d dx即d(ey)dx得

arcsin(ey)xC2C eysinx 即ylncosxlnsecxypypdpd

pdpp21，dyp1

dpdy

1ln(1p2)yC C10

y1ln(1p2)，即yp 2 dydx d(ey)dyd

arch(ey)xC2

C20arch(eyx，即eych(x

ylnch(x)2y1x1M(0,11

1，

y1x2C y1x2CxC

1，

12C1，

y1x21x x0yf(x上的点(x,f(xy1xf(t)dtf(xxyf(xyf(xM(x,f(x

Yf(x)f(x)(Xx)X0yYf(x)xf(x)

1xf(t)dtf(xxf(xxf(xx2f(xxf(t)dtx即

0f(x)xf(x)2xf(x)x2f(x)f(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)ypyppxdp0,dx

1dp1dx

lnpln

lnxypC1x11-（1）ex，ex （2）3sin2x，1cos2xcos2x，sin2x （4）xlnx，lnx（1）y1exyex2y1ex

2x e2 e2所以函数组ex，ex是线性无

y13sin2xy1cos2x2 3sin21 3 1cos2所以函数组3sin2x，1cos2xy1cos2xy2sin2xy1cos2xcot2x sin所以函数组cos2xsin2xy1xlnxy2lnxy1xlnxx lnycosxysinxy2cosx 2

iy2sinxi

(i1,2)

sinx线性无关．于是所

ex2

yy1y2C1cosxC2sinx2xex2y4xy4x22)y02yex2y2xex2y24x2ex2 yxex2y12x2ex2y6x4x3ex2

y4xy(4x22)y(24x2)ex24x2xex2(4x22)ex20 y4xy(4x22)y(6x4x3)ex24x(12x2)ex2(4x22)x ex2yxex2y4xy4x22)y012y2xyex2yxex2y1y1yy

2(CCx)ex2 y13y23x2y23x2exyP(xyQ(xyf(x（f(x0）当P(xQ(x)，f(x)都是连续函数时，求此方程的通解．yyx2，yyex x2及ex都是方程yP(xyQ(xyf(x)对应齐次方y 2y2

常数，所以y2y1y3y2yP(xyQ(xyf(x的通解yC1x2C2ex311-（1）y4y0 （2）y3y10y0（3）9y6yy0 （4）yy0（1）r24r0

r10，r24yCCe4x r23r10

r15，r22 yCe5x

e2x

9r26r1rr1

1y(C1C2x)e3r210

r1i，r2iyC1cosxC2sinxr26r250r134i，r234iye3x(C1cos4xC2sin4x)r45r2360，即(r29)(r24r1,22，r3,43iyCe2xCe2xCcos3xCsin3x （1）y4y3y0, 6, （2）4y4yy0,

2,

0 （3）y25y0, 2, y4y13y0, 0, （1）r24r30r11，3

yC1exC2e3x

yy

yCex

e3xC1C2C3C

C1C

y4ex2e3x4r24r10

12

1y(C1C2x)e2y

12C2

12

C2x

12 代入初始条件 2, C2 C1C2

1y(2x)e2r2250

r1,25iyC1cos5xC2sin5xy5C1sin5x5C2cos5x 代入初始条件 2, C15C C1Cy2cos5xsin5xr24r130

r1,223i

ye2x(Ccos3xCsin3x) ye2x[(2C3Ccos3x2C3Csin3x] 0,

221

2C3C C1Cye2xsin3xy1x2y2．

2xr0是三重实根，rr3r22)0，即r52r3y(5)2y011-求下列微分方程的特解y*的形式（不必求出待定系数（1）y3y3x2 （2）yyx

（3）y2yyex （4）y2y3yexy3y2yxex （6）y2y(x2x3)ex（7）y7y6ye2xsinx （8）y4y5ye2xsinx（9）y2y2y2xe2xcosx （10）y2y2yxexsinx（1）f(x3x21是exP(x型（P(x)3x210

r220y*Ax2BxC（A、BC为待定系数f(x)x是exP(x型（P(x)x0

r2r0y*xAxBAx2Bx（AB为待定系数f(x)ex是exP(x型（P(x11

r22r10y*Ax2ex（A为待定系数f(x)ex是exP(x型（P(x)11

r22r30y*Axex（A为待定系数f(xxex是exP(x型（P(xx，1）

r23r20y*xAxB)exAx2 （AB为待定系数f(xx2x3ex是exP(x型（P(xx2x3，1

r22r0y*Ax2BxC)ex（A、BC为待定系数f(xe2xsinx属于exPl(xcosxPn(xsinx型（其中2，1r27r60y*e2xAcosxBsinx)（A、B为待定系数 f(x)e2xsinx属于exP(xcosxP(xsinx型（其中2，1 r24r50y*xe2xAcosxBsinx)]（AB为待定系数 （9）f(x2xe2xcosx属于exP(xcosxP(xsinx（其中2，1 r22r20y*e2xAxBcosxCxDsinx)]（A、B、CD为待定系数（10）f(xxexsinx属于exPl(xcosxPn(xsinx（其中1，1r22r20y*xex(AxB)cosx(CxD)sin

（A、B、CD为待定系数（1）2yyy2ex （2）y3y2y3xex （4）yyexcosx（1）f(x2ex是exP(x型（P(x)21

2r2r10r1，r1

1YCe2Cex1 y*Aex消去exA1

2AexAexAex2exy*ex

yYy*

1 Ce2C1 f(x3xex是exP(x型（P(x3x，1

r23r20r11，r22 YCexCe2x y*xAxBexAx2Bxex，代入原方程并消去ex，得即

2Ax(2AB)3xA3，B32y*3x23xex

yYy*CexCe2x3x23xex f(xx1)e3x是exP(x型（P(xx13

r26r90r1,23Y(CCx)e3x y*x2AxBe3xAx3Bx2e3x，代入原方程并消去ex，得即

6Ax2BxA1，B1 y*1x31x2e3x yYy*(CCx)e3x1x31x2e3x r21r1,2i

YC1cosxC2sinx1f(xexcosx，对应于方程yyex，可设特解为y*Aex；对应于方程12yycosx（ii是特征方程的根）y*x(BcosxCsinx2 y*y*y*Aexx(BcosxCsin 即

2Aex2Ccosx2BsinxexcosxA1，B0，C1 y*1ex1xsinx yYy*CcosxCsinx1ex1xsinx yf(xxf(x2sinf(xf(xyf(xyy2sinxy(00y(0)0，可解得方程yy2sinx的通解为yYy*Ccosx

sinx2

xcosx1C21 C2 C

y2cosx1sinx21xcosx 设函数(x)连续，且满足(x)exx(tx)(t)dt，求(x)0x解由于函数(x)连续，故0(tx)(t)dt可导，从x (x)exxt(t)dtxx(t)dt (x)exx(x) x(t)dtx(x)ex x(t)dt (x)ex(x)

(x)ex(x)，(0)1，(0)1可解得方程(x)ex(x的通解(x)

cosx

sinx1ex2由定解条件(0)1，(0)1，可解得CC1 (x)1(cosxsinxex)．求下列微分方程的通解 （2）2d2y dy 2

x 3x （3）x2y2y2xlnx（1）xet，即tlnxd2y3dyy0dt 2其特征方程为r23r10，特征根r2r1 1 yCe2t e2．再以tlnx1yC1x2C2x2xet，即tlnxd2y2

y

dt

dt r22r10特征根为r1r21yetCCt 将tlnxyelnxCClnx1CClnx xet，即tlnxd2 2y2te dt 其特征方程为r2r20，特征根r1r2 yCetCe2t

y*(AtB)et2y*t1et 2

yyy*CetCe2tt1et 2 把变量tx，将tlnxyC1Cx2lnx1x 2 11-浮筒在水中上下振动的周期为2s，求浮筒的质量．面处，又设在时刻t，点A的位置为xx(tgV1000gR2|x|（R是浮筒的半径mx1000gR2x 记 mx2x0．解其对应的特征方程r220，得r x

cost

sintAsin(t)，A ，sinC1C2C2C 由于振动周期T22

1000gR22mm 195（kgR，电感(自感)LCER-L-C串联电路中电容C上的电压UC(t所满足的微分

idQ,

Q,E

Ldi因而在R-L-C电路中各元件的电压降分别URRiRCUC ELdiLCU U 1U

URULUC

RCUCLCUCUCURU1UEmsint C经充电后，撤去外接电源(E0，方程(2)URU1U0 11-10KA，使电容充电，当达到稳定状态后再将开关拨向B．设开关K拨At=0,t>0i(t).E=20伏，C=0.5法拉，L=1.6亨利，R=4.8欧姆，且

t

t

25 UR

1Q,ULELLdi URULUCLdiRi1QE. Ld R 1i dt即

d R dt L

d 3 5i0 dt r23r54r5,r1

5

21iC1e

C2e2将初始条件

t

t

5 1 C1e2 C2e2 252 CC 5C1C25 解得C25,C251

i

5e2

251e2 11-在第（2）问的前提下考虑的作用

dxxddxax(NxNd等媒介在早期作用比较大，它对速度的影响与尚未采用新技术dx(axb)(Nx)d Q(r,dP(r,O点为原点建立极坐标系(r,，A点位于Q(r,dP(r,AP0P0沿一条数螺线飞行一周，而P0是一个圆周上的任一O

R(rdr,dA为了使整条航线是光滑的，直线段应与对数螺线在P0点相切，找出这条光（1）记飞机速度u40里/小时，艇速v20里/PR是所求航航行时，二者必在(rr,PR弧长为d

d ，则 2 d 注意到(ds)2dr)2rd)2，即可得到rre(0)/3，这是一条对数螺线，(r, 飞机从A沿直线飞至P0再沿螺线飞最远飞行一圈至P2总能发现（2中实线为飞机航线，虚线为潜艇航线Q(r,d)R(rQ(r,d) 图 图3，

drrrr0

3，而螺线起始点P0所在的圆周上只有3P23,AP与OP的夹角也是（4）APP1 1 P(r, P(r,P2 图

1 图一定可以发现潜艇的航线是，直线段AP0P0P2（图2） （20 飞行至P*点P*的向径r 即为潜艇的航程，因为u2v，故飞机最短航线的长度为22 150里同理，光滑航线的长度为223 260里(dr)2(dr)2(rd如果计算螺线的长度，则需r

代入

0

ex2

总习题十一2xex2是微分方程yp(xyq(xy0的解（2p(x)、q(x)都是已知的连续函数）则该方程的通解

f(xM01且曲线上任意一点Mx,y处的切0 2 斜率为xln(1x2)，则f(x) 微分方程y2yy6xex的特解y*的形式 y1x2yx2e2xyx2e2xe5xyp(xyq(x f(x)的解（其中f(x)0，p(x)，q(x)都是已知的连续函数则此微分方程的 解（1）yyyCyCyCCx)ex 1 2 f(xxln(1x2f(x)f(x)dxxln(1x2)d1[(1x2)ln(1x2)2x]C2f(01，知C02f(x)1(1x2)ln(1x2)2f(x6xex是exP(x型（P(x6x1

r22r10y*x2Ax （AB为待定系数yye2xyye5x

YCe2xCe5x y*y1x2 yYy*Ce2xCe5xx2 函数yCe2xC2(C、C为任意常数）是方程yy2y0的 （A）通解 （D）是解，既不是通解，又不是特方程2xydy5x4ydx是（（A）一阶线性齐次方程 （D）可分离变量的方程y1exy2xexy3ex的三阶常系数齐次线性微 是 （A）yyyy0 微分方程yyex1的一个特解应具有形式（式a、b为常数 （A）aexb （B）axexb （C）aexbx （D）axexbx以它既不是通解，又不是特解．而Ce2x满足所给方程，所以是所给方程的（D方程2xydy5x4ydxdy5x4y 2x它是典型的齐次方程，故选（C(r1)2(r1)r3r2r10本题应选（B

yyyy0f(xex1是特征方程的（单）y*axex yy1f2x1022 y*y*y*axexb 本题应选（B（1）xyy

（2）dy

2(lnyy （3）dyy22x； （4）y43x2dyxydx0；y xdxydyydxxdy0 x2（1）1d dz

1d

y y2 xd x1d d令zy2，则

y ，

d d d dxdz1z1xd 1dx 1d xxze2 e2 dxC (xC)xx

xCdx2x2lny 2dy 2d x lnye

dyC 1

2ylnydyClny1Cy2 zy2，则dz2ydyd ddz2z4xd

ze2dx4xe2dxdxC2x1Ce2x或zx2dz2xdxd d

y22x1Ce2xdx3x1y3d xdx3x2y3d dz6z2y3d 6dy 6d ze 2y3 dyCy6

dyCCy6y43

x2Cy6y4

xydx ydxxdy dx yx2 dyyy2 1xyy

x2 y2 xd2d2darctany0 即x2 xd arctany0

x2y22arctanxCy原方程对应的齐次方程的特征方程为r3r22r0，有根10，r2rr2，故对应齐次方程的通解为YCCexCe2x3

1y*xAxB)exyy2yxex中并消去ex1

6Ax8A3BxA18A3By*1x24xex

解得 22

4Cx2C2D4x4C2C2D

解得CD 2y*x2x2 根据线性方程解的叠加原理得y*y*y*yy2yx(ex4 yYy*CCexCe2x1x24xexx2x （1）y3dx2(x2xy2)dy0， （2）yay20，

0，

（3）2ysin2y0， ，

y2yycosx,

0,

32（1）dx2x2x2x2dx2x12 zx1dzx2dx，即dzx2dxd d d ddz2z2d 2dy 2d z 即

3e

dyC

(2lnyC)x11(2lnyC)由定解条件 1，可得C1，所求的特解x11(2lny1)y22xlnyxypypdpap20，即dx

1dpadx11axC，或p 1 ax即dy d axyx01代入上式，可得C11dy d ax

y1ln(ax1)C yx00代入上式，可得C20y1ln(ax1)aypypdpd2pdpsin2y，即2pdpsin2ydyd

p21cos2yC2将初值条件 1代入上式，可解得

1

y21cos2ysin2yysiny2dsin

dx

lntanyxlnC，或tanyCex 2 代入上式，可解得C将初值条件yx0

tanyexy2arctanex2 f(xcosx属于exP(xcosxP(xsinx型（01 Pl(x)1Pn(x)0．对应齐次方程的特征方程r22r10r1,2Y(CCx)ex 因为iiy*AcosxBsinxy*AsinxBcosx，y*AcosxBsinx(AcosxBsinx)2(AsinxBcosx)AcosxBsinxcosx即y*1sinx2

2Asinx2BcosxcosxA0，B12yYy*(CCx)ex1sinx

yex(CCx)ex1cosx

0,

32C C2C1 解得C10C21yxex1sinx2x设可导函数(x)满足(xcosx20(tsintdtx1，求函数(x)x(x)cosx(x)sinx2(x)sinx即(x(xtanxsecx，且有(0)0故(x)etanxdxsecxetanxdxdxC dxC cos Ccosxx．由初值条件(00，有1C，故所求的特(x)cosxsinx（1）x2y3xyy0 （2）x2y4xy6yx（1）xet，即tlnxd dyd 1d d2 1d2 dyd ，x2x2 t2td

dtd xd ddt dt dty0， 即d2y2dyy0dt d

y(CCt)et1(CClnx) xet，即tlnx

d dyd 1d d2 1d2 dytdx ，x2x2 t2 tdtd xd d dt dt dt6ye，即

d2 ddt25dt6yet YCe2tCe3t A12yYy*Ce2tCe3t1etCx2Cx31x 总习题十一微分方程y4ye2x的通解 微分方程xy3y0的通解 yex(CsinxCcosx)（C、C为任意常数） 次微分方程的通解，则该微分方程 过点1,0且满足关系式yarcsinx 1的曲线方程 11 （1）此方程对应的齐次方程的特征方程为r240，其根为

f(xe2x2y*Axe2x是原方程的特解，代入原方程可得A1，于是原方程的通解为4yCe2xCe2x1xe2x

dy3dx 即

yC12x2

C1C 由所给通解的表达式知，r1,21i

r22r201 y 1arcsin ，

dx d yearcsin

arcsinx

arcsin dxC 即y (xC)x1y0，得C1 xy 2（1）设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次方程yp(x)yq(x)y

f(xC1C2（A）C1y1C2y2y3 （B）C1y1C2y2(C1C2)y30（C）C1y1C2y2(1C1C2)y3 （D）C1y1C2y2(1C1C2)y30（2）y

f(x是微分方程yyesinx0的解，且f(x0f(x)（A）x0的某邻域内单调增加 （B）x0的某邻域内单调减少（C）x0处取得极小值 （D）x0处取得极大值f(xexsinydxf(xcosydyfL具有一阶连续导