Lebesgue积分极限定理

Lebesgue积分极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理基本内容：如所周知，函数序列的积分之极限与该函数序列的极限之积分是否相等是微积分中的重要问题，也是困难的问题，同时，它又是应用十分广泛的问题。有时，为了讨论这类问题，人们常常要进行十分复杂的推导与演算。第19讲Lebesgue积分的极限定理

由Levi定理知，对于E上非负单调递增可测函数列{fn}，其积分与极限可以交换顺序，即

lim∫Efn(x)dx=∫Elimfn(x)dx(1),

对一般非负可测函数{fn}，由Fatou引理知有如下的不等式：∫Elimfn(x)dx≤lim∫Efn(x)dx(2)第19讲Lebesgue积分的极限定理

问题1：对非负可测函数列{fn}，上述不等式中严格不等式能否成立？举例说明。第19讲Lebesgue积分的极限定理第19讲Lebesgue积分的极限定理

既然对一般的可测函数列{fn}，等式(1)未必成立，下面的问题便是自然的：问题2：对一般可测函数列{fn}，等式(1)

何时成立？第19讲Lebesgue积分的极限定理

一个平凡的事实是：如果有限测度集E上的Lebesgue可积函数列{fn}一致收敛到f，则f也是E上的Lebesgue可积函数，且等式（1）成立。第19讲Lebesgue积分的极限定理

然而，一致收敛性条件太强，大部分情况下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启示。假设{fn}是有限测度集E上的Lebesgue可积函数列，且一致收敛到f，则对任意ℇ>0，存在自然数N，当n>N时，有

|fn(x)-f(x)|<ℇ(∀x∈E)，于是

|fn(x)|<|f(x)|+ℇ(∀x∈E)（3）第19讲Lebesgue积分的极限定理

因E是有限测度集，故|f(x)|+ℇ是

E上的可积函数，由（3）可以看出，函数序列由一个可积函数控制住了。

Lebesgue积分的极限定理

在Levi定理中,{}是单调递增的非负函数序列,其极限函数f满足:

这就是说，该函数列由它的极限函数控制。第19讲Lebesgue积分的极限定理

回忆一下，为什么（2）中不等式可以成立？问题出在哪里？我们回过头再来看看例子

0x∈(1/n,1)，

fn(x)=nx∈(0,1/n]，为什么该函数列使得等式(1)不成立呢?第19讲Lebesgue积分的极限定理

尽管fn(x)在（0，1）上处处收敛到0，但该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大，它在（0，1）上不能被任何可积函数控制住。（为什么？）上述分析给了我们何种启示？如果希望等式（1）成立，应该附加一个什么样的条件？下面仍然考察可测集E上的可测函数列{fn}，但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或几乎处处收敛。第19讲Lebesgue积分的极限定理

上面的分析暗示我们，既然去掉了一致收敛性条件，就应该加上控制性条件，具体地说，假设{fn}是可测集E上的可测函数序列，f是E上的函数，满足：（I）{fn}在E上几乎处处收敛到f，（II）存在E上的Lebesgue可积函数F，使得对任意n，|fn(x)|≤F(x)a.e.[E]。第19讲Lebesgue积分的极限定理

问题3：对满足上述条件（I）与（II）的函数序列{fn}，等式（1）是否成立？第19讲Lebesgue积分的极限定理

我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于

fn→f，根据Egoroff定理，对∀ℇ>0，存在可测集Eℇ⊂E，使得：（a）m(E-Eℇ)<ℇ;

（b）fn在Eℇ上一致收敛到f。于是，我们有

lim∫Eℇfn(x)dx=∫Eℇlimfn(x)dx(3)

第19讲Lebesgue积分的极限定理

由此可见，问题归结为函数序列在E-Eℇ上的积分如何变化。回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是区间[a,b]上的可积函数,则对∀ℇ>0,存在>0，使得当[c,d][a,b]，且d-c<时，有

这一性质通常称之为积分绝对连续性。第19讲Lebesgue积分的极限定理

注意到E-Eℇ的测度可以充分小，而且函数序列{fn}可以由F控制，那么从不等式∫E-Eℇ|fn(x)|dx≤∫E-EℇF(x)dx（4）及Riemann积分的绝对连续性能得到何种启发呢？第19讲Lebesgue积分的极限定理上述分析启示我们：

等式（1）能否成立取决于Lebesgue

可积函数是否具有积分绝对连续性。第19讲Lebesgue积分的极限定理

仍然假设E是有限测度集，f(x)是E上的L-可积函数，则|f(x)|也是E上的L-可积函数，因此不妨设f(x)是E上的非负函数。如果f(x)是有界函数，即第19讲Lebesgue积分的极限定理则由不等式知对只要就有第19讲Lebesgue积分的极限定理于是，问题最终归结为：问题4：若f(x)是E上非负的无界可积函数，f(x)是否具有积分绝对连续性？第19讲Lebesgue积分的极限定理

由无界函数积分定义，可以作有界函数列