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第19页共19页高中数学知识点总结一、一次函数定义与定义式:自变量____和因变量y有如下关系:y=k____+b则此时称y是____的一次函数。特别地,当b=0时,y是____的正比例函数。即:y=k____(k为常数,k≠0)二、一次函数的性质:1.y的变化值与对应的____的变化值成正比例,比值为k即:y=k____+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当____=0时,b为函数在y轴上的截距。三、一次函数的图像及性质:1.作法与图形:通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与____轴和y轴的交点)2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(____,y),都满足等式:y=k____+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与____轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。3.k,b与函数图像所在象限:当k>0时,直线必通过一、三象限,y随____的增大而增大;当k<0时,直线必通过二、四象限,y随____的增大而减小。当b>0时,直线必通过一、二象限;当b=0时,直线通过原点当b<0时,直线必通过三、四象限。特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。四、确定一次函数的表达式:已知点A(____1,y1);B(____2,y2),请确定过点A、B的一次函数的表达式。(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=k____+b。(2)因为在一次函数上的任意一点P(____,y),都满足等式y=k____+b。所以可以列出2个方程:y1=k____1+b……①和y2=k____2+b……②(3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。(4)最后得到一次函数的表达式。点击查看:高中数学知识点总结五、一次函数在生活中的应用:1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。六、常用公式:1.求函数图像的k值:(y1-y2)/(____1-____2)4.求任意线段的长:√(____1-____2)’2+(y1-y2)’2(注:根号下(____1-____2)与(y1-y2)的平方和)二次函数I.定义与定义表达式一般地,自变量____和因变量y之间存在如下关系:y=a____’2+b____+c(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为____的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式:y=a____’2+b____+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式:y=a(____-h)’2+k[抛物线的顶点P(h,k)]交点式:y=a(____-____)(____-____)[仅限于与____轴有交点A(____,0)和B(____,0)的抛物线]注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b’2)/4a____,____=(-b±√b’2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=____’2的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线____=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线____=0)2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b’2)/4a)当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b’2-4ac=0时,P在____轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c)6.抛物线与____轴交点个数Δ=b’2-4ac>0时,抛物线与____轴有2个交点。Δ=b’2-4ac=0时,抛物线与____轴有1个交点。Δ=b’2-4ac<0时,抛物线与____轴没有交点。____的取值是虚数(____=-b±√b’2-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)V.二次函数与一元二次方程特别地,二次函数(以下称函数)y=a____’2+b____+c,当y=0时,二次函数为关于____的一元二次方程(以下称方程),即a____’2+b____+c=0此时,函数图像与____轴有无交点即方程有无实数根。函数与____轴交点的横坐标即为方程的根。1.二次函数y=a____’2,y=a(____-h)’2,y=a(____-h)’2+k,y=a____’2+b____+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:解析式顶点坐标对称轴y=a____’2(0,0)____=0y=a(____-h)’2(h,0)____=hy=a(____-h)’2+k(h,k)____=hy=a____’2+b____+c(-b/2a,[4ac-b’2]/4a)____=-b/2a当h>0时,y=a(____-h)’2的图象可由抛物线y=a____’2向右平行移动h个单位得到,当h>0,k>0时,将抛物线y=a____’2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(____-h)’2+k的图象;因此,研究抛物线y=a____’2+b____+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(____-h)’2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.2.抛物线y=a____’2+b____+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线____=-b/2a,顶点坐标是(-b/2a,[4ac-b’2]/4a).3.抛物线y=a____’2+b____+c(a≠0),若a>0,当____≤-b/2a时,y随____的增大而减小;当____≥-b/2a时,y随____的增大而增大.若a<0,当____≤-b/2a时,y随____的增大而增大;当____≥-b/2a时,y随____的增大而减小.4.抛物线y=a____’2+b____+c的图象与坐标轴的交点:(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);(2)当△=b’2-4ac>0,图象与____轴交于两点A(____,0)和B(____,0),其中的____1,____2是一元二次方程a____’2+b____+c=0当△=0.图象与____轴只有一个交点;当△<0.图象与____轴没有交点.当a>0时,图象落在____轴的上方,____为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在____轴的下方,____为任何实数时,都有y<0.5.抛物线y=a____’2+b____+c的最值:如果a>0(a<0),则当____=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b’2)/4a.顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知____、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=a____’2+b____+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(____-h)’2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与____轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(____-____)(____-____)(a≠0).反比例函数形如y=k/____(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。自变量____的取值范围是不等于0的一切实数。反比例函数图像性质:反比例函数的图像为双曲线。由于反比例函数属于奇函数,有f(-____)=-f(____),图像关于原点对称。另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为∣k∣。如图,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数图像。当K>0时,反比例函数图像经过一,三象限,是减函数当K<0时,反比例函数图像经过二,四象限,是增函数反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。知识点:2.对于双曲线y=k/____,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(____±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)对数函数对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=____的对称图形,因为它们互为反函数。(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。(2)对数函数的值域为全部实数集合。(3)函数总是通过(1,0)这点。(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。(5)显然对数函数无界。指数函数指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得____能够取整个实数集合为定义域,则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。可以看到:(1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。(2)指数函数的值域为大于0的实数集合。(3)函数图形都是下凹的。(4)a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。(5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与____轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与____轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。(6)函数总是在某一个方向上无限趋向于____轴,永不相交。(7)函数总是通过(0,1)这点。(8)显然指数函数无界。奇偶性注图:(1)为奇函数(2)为偶函数1.定义一般地,对于函数f(____)(1)如果对于函数定义域内的任意一个____,都有f(-____)=-f(____),那么函数f(____)就叫做奇函数。(2)如果对于函数定义域内的任意一个____,都有f(-____)=f(____),那么函数f(____)就叫做偶函数。(3)如果对于函数定义域内的任意一个____,f(-____)=-f(____)与f(-____)=f(____)同时成立,那么函数f(____)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。(4)如果对于函数定义域内的任意一个____,f(-____)=-f(____)与f(-____)=f(____)都不能成立,那么函数f(____)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(____)比较得出结论)③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义2.奇偶函数图像的特征:定理奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。f(____)为奇函数《==》f(____)的图像关于原点对称点(____,y)→(-____,-y)奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。偶函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。3.奇偶函数运算(1).两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2).两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3).一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4).两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5).两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6).一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.高中数学复习重点第一,函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。第三,数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。第四,不等式主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。第五,概率和统计这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。第六,空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直,求角和距离。主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。第七,解析几何高考的难点,运算量大,一般含参数。高中数学冲刺注意事项重视新增内容考查,新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。高中数学知识点总结(二)1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形.一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.3、高中数学必修二知识点总结:直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;(2)过圆外一点的切线:k不存在,验证是否成立k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r24、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含;当时,为同心圆.注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线5、空间点、直线、平面的位置关系公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内.应用:判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1:公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a.符号语言:公理2的作用:它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线公共点.它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据.公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面.公理3及其推论作用:它是空间内确定平面的依据它是证明平面重合的依据公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行高中数学知识点总结(三)一、变量间的相关关系1.常见的两变量之间的关系有两类:一类是函数关系,另一类是相关关系;与函数关系不同,相关关系是一种非确定性关系.2.从散点图上看,点分布在从左下角到右上角的区域内,两个变量的这种相关关系称为正相关,点分布在左上角到右下角的区域内,两个变量的相关关系为负相关.二、两个变量的线性相关1.从散点图上看,如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近,称两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫回归直线.当r>0时,表明两个变量正相关;当r<0时,表明两个变量负相关.三、解题方法1.相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断,二是利用相关系数作出判断.2.对于由散点图作出相关性判断时,若散点图呈带状且区域较窄,说明两个变量有一定的线性相关性,若呈曲线型也是有相关性.高中数学知识点总结(四)函数的单调性、奇偶性、周期性单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有:定义法(作差比较和作商比较)导数法(适用于多项式函数)复合函数法和图像法。应用:比较大小,证明不等式,解不等式。奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。判别方法:定义法,图像法,复合函数法应用:把函数值进行转化求解。周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考)平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意:(ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象。(ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量(m,n)平移的意义。对称变换y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx),y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称;高中数学知识点总结(五)在中国古代把数学叫算术,又称算学,最后才改为数学。1.任意角(1)角的分类:①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.②按终边位置不同分为象限角和轴线角.(2)终边相同的角:终边与角相同的角可写成+k360(kZ).(3)弧度制:①1弧度的角:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.③用弧度做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关,仅与角的大小有关.④弧度与角度的换算:360弧度;180弧度.2.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义:设是一个任意角,角的终边与单位圆交于点P(x,y),那么角的正弦、余弦、正切分别是:sin=y,cos=x,tan=,它们都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.三角函数线设角的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M.由三角函数的定义知,点P的坐标为(cos____,sin____),即P(cos____,sin____),其中cos=OM,sin=MP,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T,则tan=AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做的余弦线、正弦线、正切线.高中数学知识点总结(六)1.求函数的单调性:利用导数求函数单调性的基本方法:设函数yf(x)在区间(a,b)内可导,(1)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为增函数;(2)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为减函数;(3)如果恒f(x)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤:①求函数yf(x)的定义域;②求导数f(x);③解不等式f(x)0,解集在定义域内的不间断区间为增区间;④解不等式f(x)0,解集在定义域内的不间断区间为减区间。
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