高中数学第1章基本初等函数(Ⅱ)123同角三角函数基本关系式教案新人教B新人教B高一数学教案

同角三角函数的基本关系式学习目标核心修养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推1.经过同角三角函数基本关系式推理，培育导及应用．(要点)学生的逻辑推理修养．2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提简、求值与恒等式证明．(难点)升学生的逻辑推理及数学运算核心修养.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.sinα≠kπ＋π∈Z商数关系：cosα＝tan_αα，.2k(2)语言表达：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．思虑：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角同样”，如sin2α＋cos2β＝1就不必定建立．二是对随意一个角(在使得函数存心义的前提下)，关系式都建立，即与角的表达式形式没关，如sin215°＋22π＋cos2πcos15°＝1，sin＝1等．19191．已知α是第二象限角，sinα＝5，则cosα＝()13A．－12B．－51313512C．13D．13A[利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算．由于α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－12.]132．已知sinα＝5，则sin4α－cos4α的值为()513A．－5B．－513C．5D．52214B[∵cosα＝1－sinα＝1－5＝5，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝1－4＝－3.]555cosα＋2sinα3．若sinα＋3cosα＝0，则2cosα－3sinα的值为________．5[由于sinα＋3cosα＝0，所以tanα＝－3，所以－111＋2tanα1＋2×－35原式＝2－3tanα＝2－3×－3＝－11.]应用同角三角函数关系求值【例1】(1)若sin4cosα，tanα的值；α＝－，且α是第三象限角，求58(2)若cosα＝17，求tanα的值；(3)若

tan

α＝－15，求8

sin

α的值．[思路研究

]

对(1)

中明确

α

是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)

，(3)

中未指出角α所在象限的状况，需按α所在象限议论，分类求解，一般有两种结果．[解]

(1)∵sin

4α＝－5，α

是第三象限角，3cosα＝－1－sinα＝－5，αsinα454tan＝cosα＝－5×－＝3.38(2)∵cosα＝17>0，α是第一、四象限角．当α是第一象限角时，28215sinα＝1－cosα＝1－17＝17，sinα15∴tanα＝cosα＝8；当α是第四象限角时，2α2815sin＝－1－cosα＝－1－17＝－17，15∴tanα＝－8.15(3)∵tanα＝－8<0，∴α是第二、四象限角．由tansinα15α＝cosα＝－8，sin2α＋cos2α＝1，215可得sinα＝17.15当α是第二象限角时，sinα＝17；15当α是第四象限角时，sinα＝－17.利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其他三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先采纳平方关系，再用商数关系；2若角α所在的象限已经确立，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确立，应分类议论，一般有两组结果.121．已知sinαcosα＝－25，且0<α<π，求tanα的值．1222[解]法一：∵sinαcosα＝－25，sinα＋cosα＝1，22121∴sinα＋cosα＋2sinαcosα＝1＋2×－25＝25，211∴(sinα＋cosα)＝25，∴sinα＋cosα＝±5.22449同理(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα＝1＋25＝25.12sinαcosα＝－25<0,0<α<π，π2<α<π，sinα>0，cosα<0，7∴sinα－cosα＝5.sinα＋cos1α＝±5由α＝7，sinα－cos5sin4sin3α＝5α＝5得3或，cos4cosα＝－α＝－55α4α3∴tan＝－3或tan＝－4.12法二：∵sinαcosα＝－25，sinαcosα12sin2α＋cos2α＝－25，tanα12tan2α＋1＝－25，12tan2α＋25tanα＋12＝0，∴(3tan

α＋4)(4tan

α＋3)＝0，∴tan

4α＝－3或

tan

3α＝－4.应用同角三角函数关系化简1－sinα1＋sinα【例2】若sinα·tanα<0，化简1＋sinα＋1－sinα.[解]∵sinα·tanα<0，∴cosα<0.原式＝1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα1＋sinα21－sinα2|cosα||cosα|－cosα－cosα＝|1＋sinα|＋|1－sinα|＝1＋sinα＋1－sinα－2cosα21－sin2α＝－cosα.解答此类题目常用的方法有：1．化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，进而减少函数名称，达到化简的目的．2．关于含有根号的，常把根号下化成完整平方式，而后去根号达到化简的目的．3．关于化简含高次的三角函数式，常常借助于因式分解，或结构sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．化简：1－tanθ·cos2θ＋1＋tan1θ·sin2θ.[解]原式＝cosθ－sinθ·cos2θ＋sinθ＋cosθ·sin2θcosθsinθcos2θ－sinθ·cosθ＋sin2θ＋sinθ·cosθcos2θ＋sin2θ1.三角恒等式的证明[研究问题]1．证明三角恒等式常用哪些方法？[提示](1)从右证到左．从左证到右．证明左右归一．(4)更改命题法．如：欲证明MPQP＝，则可证MQ＝NP，或证＝等．NQNM2．在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常有的代换形式有哪些？22π[提示]sinα＋cosα＝1，tan4＝1.【例3】求证：(1)sinα－cosα＋11＋sinαsinα＋cosα－1＝cosα；(2)2(sin6θ＋cos6θ)－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝0.[思路研究]解答本例题能够从左侧推到右侧，也能够作差比较．要点是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧．[证明](1)左侧sinα－cosα＋1sinα＋cosα＋1sinα＋cosα－1sinα＋cosα＋1＝sinα＋12－cos2α＝sin2α＋2sinα＋1－1－sin2αsinα＋cosα2－1sin2α＋cos2α＋2sinαcosα－1＝2sin2α＋2sinα＝2sinαsinα＋11＋sinα1＋2sinαcos＝cos＝右侧，α－12sinαcosαα∴原等式建立．(2)左侧＝2[(sin2θ)3＋(cos2θ)3]－3(sin4θ＋cos4θ)＋1＝2(sin2θ＋cos2θ)(sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ)3(sin4θ＋cos4θ)＋1(2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ)－(3sin4θ＋3cos4θ)＋1＝－(sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ)＋1＝－(sin2θ＋cos2θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右侧，∴原等式建立．1．证明恒等式常用的思路是：

(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；

(2)双管齐下，即证左侧、右侧都等于第三者；

(3)比较法

(作差，作比法

)．2．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．3．解决此类问题要有整体代换思想．1＋2sinxcosx1＋tanx3．求证：cos2x－sin2x＝1－tanx.sinx1＋cosxcos＋sinx[证明]右侧＝x＝cosxsinx－sinx1－cosx＝cosx＋sinx2cosx－sinxcosx＋sinx1＋2sinxcosxcos2x－sin2x＝左侧，∴原等式建立．(教师用书独具)1．同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.sinα(2)商数关系：sinα＝tanα·cosα，cosα＝tanα.2．已知sinα±cosα，整体代入求值已知sinα±cosα求值的问题，一般利用三角恒等式，采纳整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.所以知道sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．3．应用平方关系式由sinα求cosα或由cosα求sinα时，注意α的范围，如果出现没法确立的状况必定要对α所在的象限进行分类议论，以便确立其符号.1．假如α是第二象限的角，以下各式中建立的是( )A．tanα＝－sinαB．cosα＝－1－sin2αcosαC．sinα＝－1－cos2αD．tanα＝cosαsinα[由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B项正确．]2．已知α是第四象限角，cosα＝12α等于( )，则sin13A.5513B．－13C.5D．－51212B[由条件知sinα＝－1－cos2α2125＝－1－13＝－13.]13．已知sinα＋cosα＝2，则sinαcosα＝________.31－8[∵sinα＋cosα＝2，1(sinα＋cosα)＝4.221