专题12 全等模型

2020年决胜中考经典专题分析专题12全等模型—“一线三等角，，一线三等角模型，顾名思议，一线三等角是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型贯穿初中几何的始终，在相似三角形这个章节中是很重要的知识点，下面来具体分析一下。1，等腰直角三角形一线三等角模型口诀：多个垂直先倒角相等，互余角少不了分析1：已知^OAB是等腰直角三角形，过点O作直线CD且AD±CD，BCXCD，由题意得，AOAB是等腰直角三角形.\ZBOA=90°OB=OA即ZCOB+ZAOD=90°又因为AD±CD，BC±CD所以ZCOB+ZCBO=90°（互余角）ZDAO+ZAOD=90°（互余角）因此ZCBO+ZDAO=90°（互余角）则有ZCOB=ZDAOZCBO=ZAOD综上结论，则有在ABCO和AODA中（ZCOB=ZDAOOB=OA（角边角）ZCBO=ZAOD因此△BCO^AODA

由题意得，AOAB是等腰直角三角形.\ZBOA=90°OB=OA即ZCOB+ZAOD=90°又因为AD±CD,BC±CD所以ZCOB+ZCBO=90°（互余角）ZDAO+ZAOD=90°（互余角）因此ZCBO+ZDAO=90°（互余角）则有ZCOB=ZDAO,ZCBO=ZAOD综上结论，则有在ABCO和AODA中，匕COB=ZDAO,OB=OA,ZCBO=ZAOD因此△BCO^AODA“一线三等角”全等模型一一适用于直角的情况条件：匕BAC=ZBFA=ZAEC=90°,AC=BA,结论：△ACE^^BAF.CBEAF由题意得，\・ZBAC=ZBFA=ZAEC=90°AZEAC+ZBAF=90°（互余角），匕EAC+ZECA=90°,ZABF+ZBAF=90°,即ZABF=ZEAC，在△ACE和△BAF中，（ZABF=ZEACZBFA=ZAEC（角角边）AC=BA因此：△ACEEBAF（AAS）贝有：CE=AF，AE=BF，EF=CE+BF.条件：匕BAC=NBFA=NAEC=90。，AC=BA,结论：△ACE^^BAFBA由题意得，\・ZBAC=ZBFA=ZAEC=90°AZEAC+ZBAF=90°（互余角）ZEAC+ZECA=90°BAZABF+ZBAF=90即ZABF=ZEAC在△ACE和△BAF中fZABF=ZEAC

ZBFA=ZAECAC=BA（角角边）因此：△ACE£^BAF(AAS)贝有：CE=AFAE=BFEF=BF—EC【典例1】：已知，如图所示，B,C,E三点在同一条直线上，AC=CD,ZB=ZE=90°,ZBFA=ZAECAC=BA（角角边）因此：△ACE£^BAF(AAS)贝有：CE=AFAE=BFA,ZA与ZD互为余角CqABC*CEDDBEB,ZA=ZDCED,ZACB=ZDCE【答案】D【精准解析】由题意得因为ACXCD，所以ZACD=90°,所以ZACB+ZDCE=90°故选择D又因为ZB=ZE=90°所以ZA+ZACB=90°ZD+ZDCE=90°ZA=ZDCEZACB=ZD故B正确所以ZA+ZD=90°故A正确再根据全等三角形判定定理得：AC=CDZB=ZEZA=ZDCE因此最终答案是D2,“一线三等角”全等模型的拓展——同时也适用于锐角和钝角的情况条件：ZCAE=ZB=ZD，AC=AE结论：△ABC^^EDA(三个锐角相等的情况)由题意得，ZCAB+ZCAE+ZEAD=180°ZCAB+ZB+ZC=180°VZCAE=ZB...ZC=ZEAD在△CAB和^EAD中，ZB=ZD，ZC=ZEAD，AC=AE，因此△CAB^^EAD(AAS)所以BC=AD，AB=DE，BD=BC+DE

(三个钝角相等的情;兄下)由题意得，匕CAB+ZCAE+ZEAD=180°ZCAB+ZB+ZC=180°VZCAE=ZB.\ZC=ZEAD在ACAB和^EAD中，匕B=ZD,ZC=ZEAD,AC=AE,因此ACAB^^EAD(AAS),锐角和钝角的结论：BC=AD,AB=DE,BD=BC+DE.【典例2】：在三角形ABC中，匕A=40°,ZB=ZC,BE=CD,BD=CF，求匕EDF的度数?A【答案】由题意得在ABDE和△CFD中'BE=CD（边角边）-ZB=ZC（边角边）[BD=CF所以△BDE^ACFDVZBDE+ZEDF+ZFDC=180°ZBDE+ZB+ZBED=180°VZEDF=ZB又因为ZA=40°ZB=ZC根据三角形内角和得ZB=ZEDF=ZB=70°=70°因此ZEDF=ZB=70°【精准解析】根据已知条件证明ABDE£^CFD,即ED=DF,ZEDF=ZB=ZC,因此属于一线三等角模型，已知ZA=40°，即先求ZB=ZC=70°，即可得出答案【典例3】如图，在三角形ABC中,依然有AB=AC,若点B,C位于直线l的两侧，若果ZBDA+ZBAC=180°,ZBDA=ZAEC，求证BD=CE+DE【答案】由题意得VZBDA+ZBAC=180°ZBDA+ZBDE=90°.\ZBAC=ZBDEXVZABD+ZBAD=ZBDEZCAE+ZBAD=ZBAC.\ZABD=ZCAE在^