2022-2023学年北京市西城区某中学九年级上学期数学10月月考试卷含详解

数学练习

一、选择题（共16分，每小题2分）

1.下列关系式中，属于二次函数的是（）

1

A.y=-2x'B.y——1C.y=3x-lD.y=一

X

2.抛物线、=3(》—1)2+4的顶点坐标是(

A.(-1,4)B.(-1,-4)C.(1,4)D.(1,-4)

3.如图，是由△ABC绕A点旋转得到的，若N84C=40°,NB=90°,

NC4T>=10。，则旋转角的度数为（）

C

A.80°B.50°C.40°D.10°

4.方程了2+5%一7=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根

5.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，aDODbCODcGO,那么这个二次函数的图象可

能是（）

值为H，>2，为中，最大的为（）

A.%B.%C.必D.不能确

定

7.已知二次函数y=G?+bx+c（aH（））的图象如图所示，有下列结论：®abc<0；②

2a—h<Q；③a+b+c=O；④/=4ac；⑤方程or2+bx+c=O的两个根是一3和1；

⑥c<—3a.其中正确的个数是（）

8.如图，等腰与矩形QEFG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3,现将等

腰RSABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达QE之时开始计算，至

AB离开GF为止.等腰RSABC与矩形。ErG的重合部分面积记为y,则能大致反映y与

x的函数关系的图象为（）

-■---•_

234x1234

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.二次函数y=f—3x—l与y轴交点坐标为.

10.请你写出一个二次函数，其图像满足条件：：!开口向下；口与V轴的交点坐标为

（0,3）,此二次函数的解析式可以是

11.已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如

下表所示：

X-10123

y03430

那么它图象与x轴的交点的坐标是.

12.将抛物线y=f向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析

式为.

13.若一元二次方程小+1）%2-2%+公一1=0的一个根是o,则左的值是.

14.如图，将△NBC绕点4顺时针旋转90°,得到△49E,若点E恰好在的延长线上，

AC=2,则EC=.

A

15.如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直

角坐标系，铅球行进高度P（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是

16.给定二元数对（p,q）,其中p=0或1,q=0或1,三种转换器“，B,C对（p,q）

的转换规则如下：

转换器/当输入（1,1）时，输出结果为1；其余输出结果均为0.

转换器5当输入（0,0）时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

转换器C当输入（1,1）时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

b.在组合使用转换器时，A,B,C可以重复使用.

（1）在图1所示的“工一8一C”组合转换器中，若输入（1,0）,则输出结果为；

A

(1,0)-------(0,1)cA

B,

图1

(2)在图2所示的组合转换器中，若当输入(1,1)和(0,0)时，输出结果

均为0,则该组合转换器为“—-C-"(写出一种组合即可).

①

②

①q)-------J----»0

c+

图2

三、解答题(共68分，第17题6分，第18题4分，第19题8分，第20题5

分，第21—22题，每题4分，第23—24题，每题6分，第25题5分，第26

题6分，第27—28题，每题7分)

17.解下列关于x的一元二次方程.

⑴以―1=()；

(2)3x(x—2)—x—2.

18.若二次函数的图象过点(0,2),且当x=l时，此函数的最大值为3,求此二次函数的

解析式.

19.已知二次函数y=f+2x—3.

(1)抛物线的顶点坐标是；

(2)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象(列表)

X

y

->

X

(3)当x时，j，随x的增大而增大；

(4)当x满足时，y>0；

(5)当一3<xvO时，函数y的取值范围为；

(6)若/+2彳一3-机=0有两个不相等的实数根，机的取值范围为.

20.关于x的一元二次方程mx2-(2m-3)x+(m-1)=0有两个实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若m为正整数，求此方程的根.

21.如图，正方形网格中，口48。的顶点均在格点上，其中8(-2、-2)、请在所给的直角

坐标系中按要求解答下列问题：

(1)用q与一/BC关于坐标原点O成中心对称，则5,的坐标为；

(2)△A4G的面积为；

(3)将EMBC绕某点逆时针旋转90。后，其对应点分别为人(一1,一2),男(1,-3),则旋

转中心的坐标为,并在网格中画出旋转后的252G.

22.如图，在等边△48C中，点。是边上一点，连接8,将线段绕点C按顺时针

方向旋转60。后得到CE,连接/E.求证：AE//BC.

23.公司电商平台准备在2022年十一长假期间销售某种儿童玩具，市场调查反映：当它的

售价为每件60元时，每天可卖出120件；售价每增加1元，每天销售量会减少4件.已知

玩具的进价为40元.设售价增加x元，每天售出y件.

（1）请直接写出y与x之间函数表达式：

（2）求当x为多少时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元？

（3）设平台每天销售这种玩具可获利w元，求当x为多少时，w最大，最大值是多少？

24.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法.某班“数学兴趣小组”根

据学到的函数知识探究函数y=x2-2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题.探究过

程如下，请补充完整.

（1）函数y=x2-2|x|的自变量x的取值范围是.

（2）化简：当x>0时函数y=,当x<0时函数y=.

（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数

的一条性质：.

（4）若直线y=k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为.

图1图2图3图4

小岩遇到这样一个问题：如图1,在正三角形48c内有一点P,且刃=1,PB=6PC

=2,求//尸8的度数；

小岩是这样思考的：如图2,利用旋转和全等的知识构造“尸。，连接尸P，得到两个

特殊的三角形，从而将问题解决.

(1)请你回答：图1中/NP8的度数等于—；(直接写答案)

参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：

(2)如图3,在正方形Z8CZ)内有一点P,且尸4=、/爹，PB=1,PD=\[5.求N”B

的度数；

(3)如图4,在正六边形N58EF内有一点P,若//尸8=120°,直接写出为，尸8和

尸尸的数量关系.

26.在平面直角坐标系xQy中，已知点M.,%)为抛物线y=+法+。

(a>0)上任意两点，其中玉<々.

y

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-1O12345X

-1-

-2-

(1)当N的坐标分别为(1,4),(3,4)时，抛物线的对称轴为；

(2)若抛物线的对称轴为x=2,当X],々为何值时，y=>2=c；

(3)设抛物线的对称轴为x=f,若对于玉+々<2,都有/>%，求f的取值范围.

27.四边形是正方形，ABEE是等腰直角三角形，NBEF=90。,BE=EF.点、G为

。尸的中点，连接EG,CG,EC.

(1)如图1,若点、E在CB边延长线上，直接写出EG与GC的数量关系和位置关系;

(2)将图1中&BEF绕点8顺时针方向旋转至图2所示位置，(1)中所得的结论是否

仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)将图1中的ABE/L绕点8旋转，当E,F,3三点共线时，若5E=1,AB=6，

直接写出CE长.

28.在平面直角坐标系X。中，对于点尸，直线/和矩形w,定义如下：若点P关于直线/

的对称点P'在矩形Z8CD的边上，则称点尸为矩形/5CD关于直线1的“对矩点”.已

知矩形488的顶点力(1,0),B(8,0),C(8,4),D(1,4).

C

4

HH'

3'

G

2

F

1

-8_7_6_5_4_3_2-lo101112

-L

例如，图中的点尸和点G都不是矩形Z88关于y轴的“对矩点”，点〃是矩形关

于N轴的“对矩点”.

⑴在点片(—2,2),g(2,4),6(4,2),2(6,3)中，是矩形488关于直线/：x=

3“对矩点”的点是；

(2)若在直线y=2x+6上存在点使得点M是矩形关于直线/：x=f的“对矩

点”，求f的取值范围；

(3)若抛物线＞=一/-4%+9上存在矩形力88关于直线/：x=f的“对矩点”且恰有4

个，请直接写出/的取值范围.

数学练习

一、选择题(共16分，每小题2分)

1.下列关系式中，属于二次函数的是()

A.y=-2x2B.y-y/x2-JC.y=3x-\D.y=-

【答案】A

【分析】根据二次函数的定义进行解答即可.

【详解】y=-2/符合二次函数的定义，故A符合题意；

y=二?中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故B不符合题意；

y=3x—1是一次函数，故C不符合题意；

■中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D不符合题意；

X

故选A

【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式》=融2+法

是解题的关键.

2.抛物线y=3(x—l)2+4的顶点坐标是()

A.(-1,4)B.(-1,-4)C.(1,4)D.(1,-4)

【答案】C

【分析】直接根据抛物线的顶点坐标进行解答即可.

【详解】解：:•抛物线的解析式为y=3(x—l)2+4,

，其顶点坐标为：(1,4).

故选：C.

【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键.注意:

抛物线y=。(%-/?)2+&的顶点坐标为(h,k).

3.如图，AADE是由A4BC绕A点旋转得到的，若N84C=40°,4=90。，

NC4Z>=10。，则旋转角的度数为()

A

C

A.80°B,50°C.40°D,10°

【答案】B

【分析】根据旋转的性质可得旋转角为NB/。，即可求解.

【详解】解：：AADE是由AABC绕A点旋转得到的，

:.旋转角为NBAD,

VZBAC=40°,ZCAD^10°,

：.ZCAD=ZBAC+ZCAD=50°,

即旋转角的度数为50°.

故选：B

【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键.

4.方程d+5x—7=0的根的情况是()

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.有一个实数根

【答案】C

【分析】先计算△=/?2-4«c=52-4xlx(-7)=53X),从而可得答案.

2

【详解】解：X+5X-7=0.

/.△=/—4"=52-4x1x(-7)=25+28=53X),

工方程有两个不相等的实数根，

故选C

【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握''当A>0,则方程

公2+灰+。=0(。。0)有两个不相等是实数根”是解本题的关键.

5.如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，aDOabDOOcOO,那么这个二次函数的图象可

能是()

b

【分析】由2口0口1）口0口见0,推出——口0,可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的

2a

右边，交y轴于负半轴，由此即可判断.

【详解】解：VaaoabooacDOc

b

/.□—con

2a

抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，

故选C口

【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识

解决问题，属于中考常考题型.

6.已知二次函数y=+2尤+加，分别取为=-1,工2=；，刍=2,那么对应的函数

值为3，%，%中，最大的为（）

A.力B.y2C.MD.不能确

定

【答案】B

【分析】根据题意可得二次函数的图象的对称轴为直线广1,且开口向下，从而得到二次函

数的图象上的点离对称轴越远，函数值越小，即可求解.

【详解】解：；y=—》2+2%+加=—（x—1）一+m+1,

二次函数的图象的对称轴为直线x=l,且开口向下，

二次函数的图象上的点离对称轴越远，函数值越小，

,X<%<必，

.•.最大的为了2.

故选：B

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题

的关键.

7.已知二次函数丁=数2+—+江。H（））的图象如图所示，有下列结论：①出七<0；②

1a-b<Q-,③。+/?+c=0；④/=4ac；⑤方程以2+/zr+c=0的两个根是一3和1；

⑥c<—3a.其中正确的个数是（）

【分析】根据二次函数的图象，逐一进行判定即可.

【详解】解：由图象可知：

开口朝上：a>0；

b

对称轴为：x=—二=一1,

2a

b-2a>0<2a-b-0；

与丁轴交于负半轴：c<0；

与X轴有两个交点：b2-4ac>Q;

与x轴交于（1,0）,故：a+b+c=0；根据对称性：与x轴的另一个交点为：（—3,0）；

综上：ahc<0,①正确；

2a-h=0,②错误；

Q+Z?+C=0,③正确；

b2>4ac,④错误；

方程ox?+〃x+c=0的两个根是-3和1,⑤正确；

a+b+c=0fb=2a,故：3。+。=0,⑥错误；

综上分析可知，正确的有3个，故A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查二次函数的图象和二次函数系数之间的关系.熟练掌握二次函数的性

质，从图象中挖掘有效信息是解题的关键.

8.如图，等腰RtAABC与矩形QMG在同一水平线上，AB=DE=2,DG=3,现将等

腰RSABC沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达QE之时开始计算，至

48离开GF为止.等腰与矩形。EFG的重合部分面积记为y,则能大致反映y与

x的函数关系的图象为（）

【答案】B

【分析】根据平移过程，可分三种情况，当OWx<l时，当14x<3时，当3KxW4时,

利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数

图象即可求解.

【详解】过点C作CA/L/8于N,DG=3,

在等腰Rt^ABC中，AB=2,

:.CN=l,

①当OWx<l时，如图，CM=x,

PQ-2x,

11

/.j=—•PQ-CM=—x2x-x=x29,

/.0<x<1,y随x的增大而增大；

②当l〈xv3时，如图，

y=S^ABC=-x2xl=l,

...当l〈x<3时，y是一个定值为1；

③当3WxW4时，如图，CM=x-3,

EBF

.♦.PQ=2（x-3）,

i1Ii,,

:.y=-AB-CN--PQ-CM=-x2xl--x2x（x-3y=l-（x-3）,

当x=3,y=\,当3<x<4,y随x的增大而减小，当x=4,y=0,

结合ABCD选项的图象，

故选：B.

【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分

情况讨论是解题的关键.

二、填空题（共16分，每小题2分）

9.二次函数y=x2-3x-l与y轴交点的坐标为.

【答案】（0,-1）

【分析】把x=0代入，即可求解.

【详解】解：当x=0时，y=-l.

二次函数y=f—3x—l与y轴交点的坐标为（0,-1）.

故答案为：（0,-1）

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题

的关键.

io.请你写出一个二次函数，其图像满足条件：口开口向下；口与y轴的交点坐标为

(0,3),此二次函数的解析式可以是

【答案】y=-2x2+3

【分析】根据二次函数的性质可得利用二次函数图像上点的坐标特征可得出c=3,

取。=-2,b=0时即可得出结论.

【详解】解：设二次函数的解析式为产"2+6X+C(”#)),

•.•抛物线开口向下，

a<0,

:抛物线与y轴的交点坐标为(0,3).

,".c=3,

取。=-2,6=0时，二次函数解析式为尸-改+3,

故答案为：y=~2x2+3.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函

数的性质及二次函数图像上点的坐标特征，找出"0,c=3是解题关键.

11.已知二次函数y^ax2+bx+c(a丰0)图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如

下表所示：

X-10123

y03430

那么它的图象与X车h的交点的々也标是.

【答案】(-1,0),(3,0)

【分析】由表格信息可得：当y=o时的自变量产一1或》=3,从而可得答案.

【详解】解：由表格信息可得：当y=0时的自变量x=—l或x=3,

...抛物线与X轴的交点坐标为：

(-1,0),(3,0).

故答案为：(一1,0),(3,0).

【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，理解表格信息的含义是解本题的关键.

12.将抛物线y=f向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么得到的抛物线的解析

式为.

【答案】y=》2+4x+7

【分析】根据平移规律：左加右减，上加下减进行计算即可.

【详解】解：由题意得：y=（x+2y+3=f+4x+7；

故答案为：y=/+4x+7.

【点睛】本题考查二次函数的平移.熟练掌握平移规律是解题的关键.

13.若一元二次方程伙+l）d—2x+42-1=0的一个根是o,则左的值是.

【答案】1

【分析】根据一元二次方程的解的定义，可得々2—1=0且左+1/0,即可求解.

【详解】解：•.•一元二次方程（左+l）f-2%+左2-1=0的一个根是0,

/.%2一1=0且上+1/0,

解得：k=\.

故答案为：1

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立

的未知数的值是方程的解是解题的关键.

14.如图，将ANBC绕点/顺时针旋转90°,得到若点E恰好在C8的延长线上，

4C=2,则EC=.

【答案】2亚

【分析】由旋转可得：AC=AE=2,NC4£=90°,再利用勾股定理即可解决问题.

【详解】解：；由旋转可得：AC=AE=2,ZCAE=90°,

CE=+2,=2-\/2•

故答案为2友.

【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

15.如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直

角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是

1,25

y=——x2+-x+-＞则铅球推出的水平距离04的长是m.

1233

【分析】由图可知，要求。/的长实际是需要点/的横坐标，已知点/的纵坐标为0,将

了=0代入函数的解析式，求出X的值，再舍去不符合实际的一个X的值即可.

I25

2

【详解】将y=o代入y=——x+-x+-；

1233

0-Y

1233

整理得：X2-8X-20=0

（x-10）（x+2）=0

解得：尸10或x=-2（舍去）

铅球推出的水平距离04的长是10m.

故答案为：10

【点睛】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题

的关键.

16.给定二元数对（p,q）,其中p=0或1,4=0或1,三种转换器4B,C对（p,q）

的转换规则如下：

转换器/当输入（1,1）时，输出结果为1；其余输出结果均为0.

转换器5当输入（0,0）时，输出结果为0：其余输出结果均为1.

转换器C当输入（1,1）时，输出结果为0；其余输出结果均为1.

b.在组合使用转换器时，A,B,C可以重复使用.

（1）在图1所示的“/-B-C”组合转换器中，若输入（1,0）,则输出结果为；

（1,0）-------（I04）0A

B,

图1

（2）在图2所示的“n-C-口”组合转换器中，若当输入（1,1）和（0,0）时，输出结果

均为0,则该组合转换器为“-C-”（写出一种组合即可）.

①

A0

图2

【答案】□.1口.8Q.A

【分析】（1）根据题中的转换规则计算即可得到结果；

（2）分两种情况分别把（0,0）,（1,1）输入，得到第一次转换后的第二个数据，再分别分三

种情况得到第一次转换后的第一个数据，再作判断即可.

【详解】解：（1）在图1所示的组合转换器中，若输入（1,0）,则输出结果为

1;

故答案为：1；

（2）因为给定二元数对（p,q）,其中p=0或1,4=0或1,所以二元数对所有可能的组

合为（0,0）,（0,1）,（1,0）,（1,1）,根据转换规则，（p,q）在转换器4B、C中所

有输出结果分别如下：

ABC

(0,0)001

(0,1)011

(1,0)011

(1,1)110

当输入（1,DW（0,0）时，根据题意，列出所有最终结果为0的情况如下:

②

4(0,1)-^*o

①旦(o,1)4o

(0,0)-二(i,1)上0

_____c____|

所以该组合转换器为“4C,A”或"B,C,A".

故答案为：B,4答案不唯一).

【点睛】此题考查了程序框图的含义，弄清转换器中的规则是解本题的关键.

三、解答题(共68分，第17题6分，第18题4分，第19题8分，第20题5

分，第21—22题，每题4分，第23—24题，每题6分，第25题5分，第26

题6分，第27—28题，每题7分)

17.解下列关于x的一元二次方程.

(1)X2-4%-1=0：

(2)3x(x—2)—x—2.

【答案】⑴%=2+石,毛=2-6

(2)%=2,吃=g

【分析】(1)先把方程化为无2—4x+4=5,再利用直接开平方法解方程即可；

(2)先移项，再把方程左边分解因式，再化为两个一次方程，再解一次方程即可.

【小问I详解】

解：/一4元一1二0,

*,•%2—4x+4=5,

・•.(％_2)2=5,

x-2=±>/5,

解得：玉=2+后=2—石

【小问2详解】

3x(x—2)=x-2,

3x(x-2)—(x-2)=0,

.\(x-2)(3x-l)=0,

，1—2=0或3x—1=0

解得：玉=2,々=:

【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用配方法与因式分解的方法解一元

二次方程”是解本题的关键.

18.若二次函数的图象过点(0,2),且当x=l时，此函数的最大值为3,求此二次函数的

解析式.

【答案】y=-/+2x+2

【分析】根据题意设抛物线解析式为顶点式，可以求得此二次函数的解析式；

【详解】解：•••当x=l时，此函数的最大值为3,

顶点坐标为：(1,3),

设抛物线为：y=fl(x-l)2+3,

•••二次函数的图象过点(0,2),

。+3=2,

解得:。=—1,

抛物线为：y=—(x—1?+3=—V+2x+2.

【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是明确题意，得到抛物

线的顶点坐标.

19.已知二次函数y=Y+2x-3.

(1)抛物线的顶点坐标是；

(3)当x时，夕随x的增大而增大;

(4)当x满足时，j>0；

(5)当一3<x<0时，函数y的取值范围为；

(6)若/+2彳一3-机=0有两个不相等的实数根，机的取值范围为.

【答案】(1)(T,T)

(2)画图见解析(3)>-1

(4)x<—3或x>1.

(5)-4<^<0.

(6)m>-4.

【分析】(1)把一般式化成顶点式即可求得顶点坐标；

(2)在对称轴的两侧取两组对称点，列表，然后描点、连线即可.

(3)在对称轴的右侧符合题意，从而可得答案；

(4)由函数图象信息可得当丁>0,函数图象在x轴的上方，从而可得答案；

(5)先求解函数的最小值，再求解当x=—3的函数值，可得当-3<%<0时，函数值的

取值范围.

(6)观察函数y=f+2x—3,y=m的图象的交点个数可得答案.

【小问1详解】

解：由y=d+2x-3=(x+l)2—4可知：

顶点坐标为(-LT),

【小问2详解】

列表如下：

X•••-3-2-101•••

y•••0-3-4-30•••

描点并连线,

由函数图象信息可得：当》>—1时，y随x的增大而增大;

【小问4详解】

由函数图象信息可得当y>0,函数图象在x轴的上方，

，x<-3或x〉1.

【小问5详解】

由函数图象信息可得：

当x=—3时，=+2x-3=(x+l)2-4=0,

当％=—1时，y=-4,

当一3<x<0时，函数y的取值范围为：-4<^<0.

【小问6详解】

,•*%2+2x-3-TH=0>

x~+2%一3—m,

观察函数y=x2+2x-3,y=m的图象的交点可得：

，A

V+2x—3-〃z=0有两个不相等的实数根时，rn的取值范围为桃〉Y.

【点睛】本题考查的是抛物线的顶点式，画二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数

与直线的交点坐标及一元二次方程的实数根之间的关系，掌握以上知识利用数形结合的方

法解题是关键.

20.关于x的一元二次方程mx2-(2m-3)x+(m-1)=0有两个实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)若m为正整数，求此方程的根.

9

【答案】(1)加(一且WHO;(2)x,=0,x=-1.

82

【分析】(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m并且

△=[-(2w-3)]2-4m(m-l)>0,然后求出两个不等式的公共部分即可；

(2)利用m的范围可确定m=l,则原方程化为x2+x=0,然后利用因式分解法解方程.

【详解】(1)VA=[-(2m-3)]2-4/n(m-l)

--Sm+9.

9

解得根W—且加。0.

8

(2)•••，”为正整数，

••in—1•

二原方程为％2+%=0.

解得芭=0,x2=-l.

【点睛】考查一元二次方程ox:?+加+。=0(。。0)根的判别式^=〃2一4",

当△=〃—4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.

当△=尸—4ac=0时，方程有两个相等的实数根.

当』=〃—4ac<()时，方程没有实数根.

21.如图，正方形网格中，口/BC的顶点均在格点上，其中8(-2、-2)、请在所给的直角

坐标系中按要求解答下列问题：

71

(1)△44G与118C关于坐标原点O成中心对称，则B,的坐标为；

(2)△A4G的面积为;

(3)将58C绕某点逆时针旋转90。后，其对应点分别为42(-1,-2),打(1，一3),则旋

转中心的坐标为，并在网格中画出旋转后的252G.

【答案】(1)(2,2)

(2)2.5(3)(0,-1),图形见解析

【分析】(1)根据关于原点成中心对称点的特征求解，即可；

(2)利用割补法求三角形的面积，即可；

(3)连接A4,8员,作械,3员的垂直平分线交于点P,则点尸即为所求的旋转中心，

即可求解.

【小问1详解】

解：△AGG与口/BC关于坐标原点。成中心对称，

.••点B和点关于坐标原点对称，

■:B(-2、-2),

耳的坐标为(2,2)；

故答案为：(2,2)；

【小问2详解】

解：根据题意得：月G的面积等于口力3c的面积，

4G的面积等于3x2—<x3xl—gx2xl—gx2xl=2.5；

故答案为：2.5

【小问3详解】

解：如图，连接A42，BB2,作AA,BB的垂直平分线交于点P,则点P即为所求的旋转

中心，

，旋转中心的坐标为（0,-1）；

故答案为：（0,-1）

【点睛】本题考查了图形的变换一一旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握

旋转变换，中心对称变换的性质，属于中考常考题型.

22.如图，在等边△N8C中，点。是Z5边上一点，连接CD,将线段8绕点C按顺时针

方向旋转60°后得到CE,连接ZE.求证：AE//BC.

【答案】证明过程见解析

【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质证明AACE三△BC。，即可得证;

【详解】□△ABC是等边三角形，

□ZB=NACB=6（）。，AC=BC,

□将线段8绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE,

；.NECD=60°,CE=CD,

：.NEC£>=ZAC3=60°,

ZECD-ZACD^ZACB-ZACD,

即ZACE=NBCD,

在ZVICE和△8C£>中，

CE=CD

<ZACE=/BCD,

AC=BC

：.AACE合.BCD,

NC4E=N8=60。，

□ZG4E=ZACB=60°,

□AE//BC；

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和旋转的性质，准

确判断是解题的关键.

23.公司电商平台准备在2022年十一长假期间销售某种儿童玩具，市场调查反映：当它的

售价为每件60元时，每天可卖出120件；售价每增加1元，每天销售量会减少4件.已知

玩具的进价为40元.设售价增加x元，每天售出y件.

(1)请直接写出y与x之间的函数表达式：

(2)求当x为多少时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元？

(3)设平台每天销售这种玩具可获利w元，求当x为多少时，w最大，最大值是多少？

【答案】(1)y=120-4x

(2)当x为20时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元.

(3)当x=5时，w有最大值，最大值为：.=25x100=2500元.

【分析】(1)由售价增加x元，销售量减小4x件，从而可得函数关系式；

(2)由每件利润乘以销售量等于利润，再列方程，解方程即可；

(3)由每件利润乘以销售量等于总利润，再列函数关系式，再利用二次函数的性质可得答

案.

【小问1详解】

解：由题意得：y=120-4x

【小问2详解】

解：由题意可得：(60—40+x)(120—4x)=1600,

整理得：x2-10x-200=0,

解得：百=20,々=一10,

经检验x=-10不符合题意，舍去，

答：当x为20时，平台每天销售这种玩具可获利润1600元.

【小问3详解】

由题意得：w=(60-4()+x)(120-4x)

=-4X2+40X+2400

a=-4<0,

404

当x2x（—4）=5时，w有最大值,

最大值为：w=25x1()0=2500(元).

【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，确定相等关系是列方程与

列函数关系式的关键.

24.在画函数图象时，我们常常通过描点、平移或翻折的方法.某班“数学兴趣小组”根

据学到的函数知识探究函数y=x2-2|x|的图象与性质，并利用函数图象解决问题.探究过

程如下，请补充完整.

（1）函数y=x2-2冈的自变量x的取值范围是.

（2）化简：当x>0时函数y=,当xVO时函数y=.

（3）根据上题，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出该函数的图象，并写出该函数

的一条性质：.

（4）若直线y=k与该函数只有两个公共点，根据图象判断k的取值范围为.

【答案】（1）全体实数；（2）x2-2x,x2+2x；（3）图像见详解，函数的最小值为-1；x>l

时，y随x的增大而增大，答案不唯一；（4）k=-l或k>0

【分析】（1）根据函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数；

（2）根据绝对值的意义化简即可：

（3）列表，描点即可画出函数图象；任意指出函数的一条性质即可，如函数的最小值为-

1；x>l时，y随x的增大而增大，答案不唯一；

（4）根据图象即可求解.

【详解】解：（1）函数y=x2-2冈是整式函数，自变量x的取值范围是全体实数，

故答案为全体实数；

（2）当x>0时函数y=x2-2x,当x<0时函数y=x?+2x,

故答案为y=x2-2x,y=x2+2x；

(3)列表：

X-3-2.5-2-10122.53

y31.250-10-101.253

描点、连线尸月平滑曲线连接画出如下函数图象：

由图象和表格可知：函数的最小值为-1,x>l时，y随x的增大而增大，答案不唯一；

故答案为函数的最小值为-1；x>l时，y随x的增大而增大，答案不唯一；

（4）直线y=k是与x轴平行的直线，与该函数只有两个公共点，直线y=k图像为x轴上

方，或过函数的做地点，根据图象判断k的取值范围为k=-1或k>0.

故答案为：k=-1或k>0.

【点睛】本题考查自变量取值范围，化简绝对值函数，函数的性质，抛物线与直线交点问

题，掌握自变量取值范围，化简函数，函数的性质，抛物线与直线交点问题，利用数形结

合思想确定直线y=k与抛物线的位置是解题关键

25阅读下面材料：

小岩遇到这样一个问题：如图1,在正三角形N8C内有一点P,且为=1,PBf，PC

=2,求NZPB的度数；

小岩是这样思考的：如图2,利用旋转和全等的知识构造△AUC，连接PP，得到两个

特殊的三角形，从而将问题解决.

(1)请你回答：图1中N/P8的度数等于一;(直接写答案)

参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：

(2)如图3,在正方形/8CD内有一点P,且=PB=1,PD=y/5.求乙4PB

的度数；

(3)如图4,在正六边形/8CDEF内有一点P,若N/P8=12()°,直接写出Ri,总和

尸产的数量关系.

【答案】(1)150°

(2)135°

(3)PF2=PB2+3PA2.

【分析】(1)把△/总绕点A逆时针旋转60°得到△ACP,由旋转的性质可得

PA=P'A=T,PB=P'C=V3,NPA*60°,NAPB=NAPC,证出4App是等边三角

形，由等边三角形的性质求出产P'=PA=l,NAPP=60°,再由勾股定理逆定理求出

NPPC=90。，求出/APC,即为//P8的度数；

(2)把△/尸8绕点A逆时针旋转90。得到△ADP,由旋转的性质可得

P'A=PA,P'D=PB,ZPAP'=90°,证出AAPP,是等腰直角三角形，由等腰直角三角形

的性质求出尸P，NAPP=45°,再利用勾股定理逆定理求出NPPZ)=90。，然后求出

NAPO，即为的度数；

(3)把△/总绕点A逆时针旋转120°得至U△AFP',由旋转的性质，

P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,可得NAPP=NAP7>=30°,过点/作

AM_L小于"，设PP与/尸相交于M证明PP=GPA,NPPN=90°,再利用勾股

定理可得答案.

【小问1详解】

解：如图2,把△4P8绕点力逆时针旋转60。得到△ACP,

A

图2

由旋转的性质，PA=P'A=\,PB=P'C=6,NPA*60°,ZAPB=ZAP'C,

AAAPP'是等边三角形，

:.PP'=PA=\,ZAP'P=60°,

小+9。2=]2+(可=4=尸。2,

NPPC=90。，

ZAPC=ZAP'P+ZPP'C=150°,

故NAPB=N/WC=150°；

故答案为：150°.

【小问2详解】

如图3,把△NP8绕点N逆时针旋转90°得至U△ADP,

由旋转的性质，P'A=PA=&P'D=PB=\,ZP'AP=90°,

•••AAPP'是等腰直角三角形，

P'P=®PA=2,ZAP'P=45°,

222

•.ppi+p'D2=2+l=5=PD,

NPP'D=9。。,

：.ZAfD=ZAP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故ZAP3=ZAP7)=135°.

【小问3详解】

如图4,•.•正六边形的内角为』x(6—2)x180°=120°,

6

...把△/尸8绕点A逆时针旋转120°得到&AFP，

由旋转的性质，P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=\20°,

：.ZAPP'=ZAP'P=30o,

过点N作40_1上于“，设PP与4尸相交于M

PP'=6PA,

由旋转的性质可得：ZAP'F=NAP8=120°,

二NPP'F=120°-30°=90°,

PF2=P'P2+P'F2,

PF2=PB2+(6PA)=PB-+3PA2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，正六边