2022北京四十四中高三10月月考数学（教师版）

第18页/共18页2022北京四十四中高三10月月考数学2022.10.08一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.下列函数中，定义域是且为增函数的是A. B. C. D.2.=A. B. C. D.3.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A. B. C. D.4.在等比数列中，，公比.若，则m=A.9 B.10 C.11 D.125.设的内角的对边分别是.若，且，则（）A. B.2 C. D.36.设在中,角所对的边分别为,若,则的形状为（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定7.设，“复数是纯虚数”是“”的（）A.充分而不必要条件； B.必要不充分条件；C.充分必要条件； D.既不充分也不必要条件.8.为了得到函数的图象，可以将函数的图象A.向右平移个单位长 B.向右平移个单位长C.向左平移个单位长 D.向左平移个单位长9.在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O𝑥为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是A. B.C. D.10.生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数性模型：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的待定系数）.已知一只体重为的豚鼠脉搏率为，如果测得一只小狗的体重，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（）A. B. C. D.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数的共轭复数___________.12.函数的定义域为___________.13.已知角的终边经过点，则___________.14.函数的最大值为________.15已知函数，给出下列四个结论：①若，则函数至少有一个零点；②存在实数，，使得函数无零点；③若，则不存在实数，使得函数有三个零点；④对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点.其中所有正确结论的序号是___________.三､解答题：本大题共6小题，共85分.16.中，角A，B，C所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）求的面积.

17.已知向量,设函数.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期.(Ⅱ)求f(x)在上的最大值和最小值.18.防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地区2010年至2019年每年汛末（10月1日）水库的蓄水量数据如下：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量（亿立方米）11.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1（Ⅰ）从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据，求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于1亿立方米的概率；（Ⅱ）从2014年至2019年的样本数据中随机选取两年的数据，设为蓄水量超过33亿立方米的年份个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅲ）由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？（结论不要求证明）19.已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求最大值.20.已知椭圆的一个焦点为，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.（1）若线段中点横坐标为，求直线的方程；（2）设直线与直线交于点，点满足轴，轴，试求直线的斜率与直线的斜率的比值.21.对给定的d∈N*，记由数列构成的集合．（1）若数列{an}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（2）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{an}，整数k不是数列{an}中的项；（3）已知数列{an}，{bn}∈Ω（d），记{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn．若|an+1|≤|bn+1|，求证：An≤Bn．

参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.【答案】B【分析】分别求出选项中各函数的定义域，并判断其单调性，从而可得结论.【详解】对于，，是上的减函数，不合题意；对于，是定义域是且为增函数，符合题意；对于，，定义域是，不合题意；对于，，定义域是，但在上不是单调函数，不合题，故选B.【点睛】本题主要考查函数的定义域与单调性，意在考查对基础知识的掌握与灵活运用，属于基础题.2.【答案】C【详解】分析：利用诱导公式化简求值得解.详解：=故答案为C.点睛：（1）本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限.用诱导公式化简，一般先把角化成的形式，然后利用诱导公式的口诀化简（如果前面的角是90度的奇数倍，就是“奇”，是90度的偶数倍，就是“偶”；符号看象限是，把看作是锐角，判断角在第几象限，在这个象限的前面三角函数的符号是“+”还是“--”，就加在前面）．用诱导公式计算时，一般是先将负角变成正角，再将正角变成区间的角，再变到区间的角，再变到区间的角计算．3.【答案】A【详解】sin43°cos13°-cos43°sin13°=sin(43°-13°)=sin30°=.4.【答案】C【详解】试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.考点：等比数列的性质5.【答案】B【分析】由余弦定理可得方程，求解排除即可.【详解】由余弦定理得，，即有，解得或，又，∴.故选：B6.【答案】B【分析】利用正弦定理可得，结合三角形内角和定理与诱导公式可得，从而可得结果.【详解】因为，所以由正弦定理可得，，所以，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题.弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.7.【答案】A【分析】根据纯虚数的定义，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”充分而不必要条件，故选：A8.【答案】A【分析】化简得到，根据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和掌握情况.9.【答案】C【详解】分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线.A选项：当点在上时，，，故A选项错误；B选项：当点在上时，，，，故B选项错误；C选项：当点在上时，，，，故C选项正确；D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到所对应的三角函数线进行比较.10.【答案】B【分析】理解题意，将数据代入解析式，即可求解.【详解】由条件可知，求得，小狗的体重5000g时，，，比较选项，，，，，最接近的脉搏率.故选：B二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.【答案】##【分析】根据复数除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可.【详解】因为，所以，故答案为：12.【答案】【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：，所以该函数的定义域为，故答案为：13.【答案】##【分析】根据正切函数的定义，结合正切二倍角公式进行求解即可.【详解】因为角的终边经过点，所以，因此，故答案为：14.【答案】【详解】试题分析：===，因为，所以当时，y取最大值，最大时为.【考点】二倍角公式和二次函数的性质.15.【答案】①②④【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用数形结合法求解.【详解】①当时，，令，得，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象及直线过定点（0，3）知函数至少有一个零点，故正确；②当时，作出的图象，由图象知，函数无零点；③当时，在同一坐标系中作出的图象，如图所示：由图象知：函数有三个零点，故错误；④当时，，当时，，当时，由图象知：对任意实数，总存在实数使得函数有两个零点，故正确.故答案为：①②④三､解答题：本大题共6小题，共85分.16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据求出，根据求出，根据正弦定理求出；（2）先求出，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在中，由题意知，又因为，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面积.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.17.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】先求出f(x)，然后根据三角函数的性质求解即可.【详解】（Ⅰ）的最小正周期为.（Ⅱ），，故当即时，当即时，本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．18.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，；（Ⅲ）2016年.【分析】（Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”，由图表数据计算出基本事件总数，以及满足条件的基本事件数，再由古典概型的概率公式计算可得；（Ⅱ）随机变量的所有可能取值为0，1，2.求出所对应的概率，列出分布列求出数学期望即可；（Ⅲ）根据数据波动性越大方差越大即可判断；【详解】解：（Ⅰ）设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于亿立方米”，从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能，由图表可知，事件A包含“2011年和2012年”，“2014年和2015年”，“2018年和2019年”.所以.（Ⅱ）由表可知，2014到2019年的样本数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有4年.随机变量的所有可能取值为0，1，2.，，.所以随机变量的分布列为：012所以.（Ⅲ）从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大.【点睛】思路点晴：求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤：（1）先分析X的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X的数学期望.19.【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为；（3）.【分析】（1）当时，求得，得到，即可求得切线的方程；（2）当时，求得，令，得到，结合，再根据导数的符号，即可求得函数的单调区间；（3）由题意得到在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调区间和最值，得到，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）当时，函数，可得，则，所以曲线在点处的切线方程为.（2）当时，函数，可得，令，则，所以函数在上单调递增，又由，则令，可得，所以函数在上单调递增，令，可得，所以函数在上单调递减.综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）由，得在上恒成立，设，则，由，解得，（其中），随着变化，与的变化情况如下表所示：0↘极小值↗所以在上单调递减，在上单调递增.所以函数的最小值为.由题意得，即.设，则.因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.所以当，，即，时，有最大值为.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．20.【答案】（1）直线l的方程为或；（2）直线的斜率与直线的斜率的比值为2.【分析】（1）利用点差法求出线段中点的纵坐标，再由点斜式求其直线方程；（2）根据设而不求法结合条件求出直线的斜率与直线的斜率的比值即可.【小问1详解】若直线的斜率不存在时，线段中点的横坐标为，与已知矛盾；设，，则，，，所以，记线段中点为，设的纵坐标为，由已知可得点的坐标为，所以，，所以，因为直线过点，，所以，所以，所以，当时，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，因为直线：与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，当时，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，因为直线：与的交点坐标为，点在椭圆内，故直线与椭圆相交，满足条件，所以直线的方程为或；【小问2详解】设直线的方程为，联立，化简可得，所以，方程的判别式，所以或，设，，则，，联立，化简可得，所以点的坐标为，因为轴，轴，所以点坐标为，所以直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以，【点睛】点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐标相关问题的常用方法.21.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）推导出，，，，由此能求出的所有可能取值；（2）先应用数学归纳法证明数列，则具有，（）的形式，由此能证明取整数，则整数均不是数