复变函数与积分变换重要知识点归纳

iy,x-iy,x

-.复变函数习重点(一复数的概念复数的概：

，是实数

xRe

i2

.注：一般两个复数不较大小，但其模（为实数）有大.复数的表1）模

z

x

2

2

；2）幅在z时，矢量与轴正向的夹角，为Arg

（多值函数值arg

是位于

(

中的幅角。3）arg之间的关如下：当x0,z；当

yzyz

yxyx

；4三角表示：z

sin

，其中

；注：中间一定是+”号。5）指数表示：

z

z

，其中

。(二复数的运算加减法若

zx,x12

2

，则

z2

x2

y

乘除法1）若

z,zxiy12

2

，则z212212

；zxiyxyx111212112zxxx2x2222

。2）若

zei,z122

,

则--

总结

nnnzDwzzbz.nnnzDwzzbz.z2

i

；

z1z2

z1z2

i

乘幂与方1）若

(cos

z

i

，则

n

nsinnze

。2）若

(cos

z

i

，则n

1ncos

(k0,1,2n

（有个相异的值）（三）复变函数1．复函：

，在几何上可以看作把平面上的一个点集变到平面上的一个点集的映射.2复初等函1）指数函数：

ey平处处可导，处处解析；且

。注：

e

是i为周期的周期函数意与实函数同）3）对数函数：

Lnzln

)(k0,)

（多值函数主值：

lnlnzargz

值函数）Lnz

的每一个主值分lnz在去原点及负实轴的z平面内处处解析，且

1z

；注：负复数也有对数在实函数不同）3）乘幂与幂函数：

abbLna

a

；

zbbLnz

z注：在除去原点及负轴的平内处处解析，且

b

。4三角函数：

e

ezztgz,ctgzi2cossinz平内解析，且jz*

C.C注：有界性

sin

z

.不再成立实函不同）4）双曲函数

e

z

zchz22

；

奇函数，

是偶函数。

在

平面内解析，且

。（四）解析函数的概1．复函数的导数1）点导：

f

=

f00

；2）区域可导：

f

在区域内点点可导。2．解函数的概念1）点解析：

f

在

z

及其

z

的邻域内可导，称

f

在

z

点解析；2）区域解析：

f

在区域内每一点解析称f

在区域内解析；3）若

f)

在

z

点不解析，称

z

为f

的奇点；3．解函数的运算法：解函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函；解析函数的复合函数仍为解析函数；（五）函数可导与解的充要条件1．函可导的充条件：

可导

u

和

,y

,y

可微，且在

,y

处满条件：,

此时，有

f

z

。2．函数解析的要条件：fjz*

DunDun]

u

和

在

D

.内可微，且满足

D

条件：,

；此时

f

z

。注意

：

在区域D具有阶连续偏导数u在区域内是可微的因此在使用充要条件证明时，只要能说明具有一阶连续偏且满足条时数是可导或解析的。

f()iv

一定3．函可导与解析的别方法1）利用定义（题目要求用定义，如第二章习题1）2）利用充要条件（函以f章习题2）

形式给出，如第二3）利用可导或解析数的四则运算定理数f给出，如第二章习题3）（六）复变函数积分概念与性质

是以的形式1．复变函数积分的概念：n

f

，是光滑曲线。注：复变函数的积分际是复平面上的线积分。2．复变函数积分的性质1）

fzdz

fzdz

（与的方向相反2）

[

fzdz

gdz

是常数；3）若曲线由

cc连接而成，则

f

z

f

z

。jz*

BBDDnBBDDnzDD3．复函数积分的一计算法

.1）化为线积分：

vdy

vdxudy

用于理论证明2参数方法：设曲：

对应曲线的起点，对应线的终点，则

fz

f[t]z

。（七）关于复变函数分的重要定理与结论1．柯西—古萨基本定理：设f闭曲线，则

在单连域内解析，为内任一

f2．复合闭路理：设f

在多连域内解析，为内任意一条简单闭曲线，

cc,1

c

n

是内的简单闭曲，它们互不包含互不相交，并且以

cc,1

c

n

为边界的区域全含于D，则

fzdz

其中与

c

均取正向；

0

，其中由及

c

n

所组成的复合闭路。3路变形原：一个在区域D内解析函数f

沿闭曲线的积分，不因在内作续变形而改变它的值，只要在变形过程中不过使f

不解析的奇点。4．解函数沿非闭曲的积分f

在单连域内解析，G为的一个原函数(zz212说明：解析函数f积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即。5。柯西积分公式：设f

在区域内解析，为内一正向简单闭曲线，的内部完全于

D

，

z

为内任意一点则jz*

nDaDDDzczz0cffnDaDDDzczz0cff)（n.

c

f

0

if06．高阶数公式：析函数f导数为

的导数仍为解析函数它的阶

c

fidz(z)!0

f

0

(n1,2)其中为

f

的解析区域

D

内围绕

z

的任何一条正向简单曲线，而且它的内部完全属7．重要结论：

1()

n

dz

20,

i

nn

。（是包含的任意向简单闭曲线）8．复函数积分的计方法1）若

在区域内处处不解，用一般积分法

[zc

2）设

在区域内解析，

是D内一条正简单闭曲线由西—古萨定理f

是内的一条非闭曲，

z,

对应曲c起点和终点，则有213）设D内不解析

ff曲c内仅有一个奇点0f2c()nn!0

（0

在内解析）

曲c内有多于一个奇点：f

ci

内只有一个奇点

z

）

jz*

n(x,y)DDuun(x,y)DDuuC或：c

iRes[f]kk

..（留数基本定理）

若被积函数不能表示

nf(z)o

则须改用第五章留定理来计算。（八）解析函数与调函数的关系1．调和函的概念若二元实函数

在内有二阶连续偏数且满足

，y)

为内的调和函数。2．解函数与调和函的关系析函数

的实部u与部都调和函数，并称虚部

为实部的共轭调和数。个调和与v成的函数

f()iv

不一定是解析函数但是若如果满足柯西黎曼方程，则一是解析函数。3已知解析函数

的实部或部求解析函数

的方法。1）偏微分法：若已知u

，利用条件，得

；对

两边积分，得

（*）再对（）式两边对求偏导，得

dy

）由条件，

，得

，可求出

；代入（）式，可求

虚部

v

dy

。jz*

a.a2）线积分法：若已知实部，dxdy

u

.，利用

条件可得故虚部为

y

；由于该积分与路径无，可选取简单路径（如折线）计算它，其中

,y

与

是解析区域中的两点3不定分法若已知实部和条件得知，

，根据解析函数的导公式f

将此式右端表示成z的函U

仍为解析函数，故f

（为实常数）注：若已知虚部也用类似方法求出实部（九）复数项级数1．复列的极限

u.1）复数列}aib}nn

）收敛于复

的充要条件为2）复数列

{

lim,nn}收n

limbnn实数{},{b}n

（同时成立）同时收敛。2．复项级数1）复数项级数

(ib)nn

收敛的充要条件是级

与

b

同n

时收敛；2）级数收敛的必要件是lim。nn注：复数项级数的敛性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问jz*

RR题的讨论。（十）幂级数的敛散

.1．幂级数的概念：表达

()n

n

或

c

为幂级数。n

2．幂数的敛散性1级数的收敛定理阿贝尔定理(果幂数

c

在

z00处收敛，那么对满足

的一切z，该级数绝对敛；如果在z

处发散，那么对满足

z

的一切，级数发散。2）幂数的收敛域—圆域幂级数在收敛圆域内绝对收敛圆域外发散在收敛圆的圆周上可能收敛；也能发散。3）收半径的求法：敛圆的半径称收敛半径值法

如果

limn

cncn

，则收敛半径

R

1

；值法

limnn

，则收敛半径

R

；果

，则；说明在整复平面上处处收敛；如果

，则；说明仅在

z

0

或点收敛；注级数有缺项能接套用公式求收敛半径

c

）3．幂数的性质1）代数性质：设

znzn

n

的收敛半径分别为

与

，记nnRminR2

，则当时，有jz*

R.R.

n

)znznzn

n

（线性运算）n

n(zn

n

)(z)abnn0n1

b)z0

n

（乘积运算）nn2）复合性质：设当

r

时，

f

n

，当时

解析n且g

，则当

z

时，

f[gn

。n3）

分析运算：设幂级数

az

的收敛半径为，和函数

fn

n

是收敛圆内的解析函；n收敛圆内逐求导，敛半径不变；且z

fnn

n收敛圆可逐项求积，收敛半径不变；

0

f

n

anzn

nz（十一幂函数的泰勒展泰展开函数f

在圆域

内解析此圆域f可以展开成幂级数

fz

n

f

0n!

z

0

并且此展开式是唯的。注：若

f

在

z

解析，则

f

的泰勒展开式成立的域的收敛半径

Rz

；其中

R

为从

z

到

f

的距

z

最近一个奇点a间的距离。2．常函数在

z0

的泰勒展式jz*

n.n.1）

z

n

zz!2!

z!

2）

11n

n

2

n

z3）

n

(z

2

z53!5!

((2

z

2

4）

cosz

()!n

z

2

z2z42!4!

(z)!

2

3．解函数展开成勒级数的方1）直接法：直接求

1cfn!

0

，于是

fnn

0

。2）间接法：利用已函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、合运算和逐项求导、项求积等方法将函数展开。（十二）幂函数的洛展开洛级数的概念：

zn

0

，正幂项和负幂项。n2．洛展开定理：设函

f

在圆环域

Rz

内处处解析，

为圆环域内绕

z

的任意一条正向简单曲线，则在此在圆环域内，有

fz

zn

0

，且展开式唯一。n3．解函数的洛朗展法：洛朗级一般只能用间接法展开。．利用洛朗级数围线积分：设

f

在

rz

内解析，c为r

内的任何一条正向简闭曲线则

f

其中c

为

f)

在

r

内洛朗展开式中

1z

的系数。说明：围线积分可转为求被积函数的洛朗展开式中

(z)0

的系数。jz*

m002000m002000（十三）孤立奇点的念与分类

.1。孤立奇点的义：f

在

z

点不解析,但在

z

的

0

内解析。2。孤奇点的类型：1）可去奇点：展开式不含

z

的负幂项；f0

0

2）极：展开式中有限项

z

的负幂项；f

cc(z)m()m0

c()()(z)0

(z)0

,其中g

m

(z)

(z

m

()0

m

在

z

解析，；且g3）本性奇点展开中含无穷多项

z

的负幂项；f(z)0

(z)(z)0

(z)m（十四）立奇点的别方法1．可去奇点：limf0zz2．极点：limf

常数；zz3．本性奇点：limf为。zz4．零点与极点的关1零点的概念：恒为零的解析函数f

，如果能表示成f

，其

在

z

解析，

为正整数，称

z

为f零；2）零点级数判别的要条件jz*

zznnz

是

f零

ff

(1,2,m

.3点与极点的关系

是

f零点

是

的级极点；4）重要结论若z分别

与n零点，则

；

当时，是

的级零点；当时，是z的级极点；当时，是z的去奇点；m时，是

级零点，

lmin(mn)当m时（十五）留数的概念

lm(n1．留数的定义：设

z

为

f

的孤立奇点，f

的去心邻域0

内解析c为该域内包含

z

的任一正向简单闭曲则积分

1

fzdz

为f

在

z

的留数（或残留），记作[f

1

f2．留的计算方法若

z

是

f

的孤立奇点

[f

中

c

为f

在z

的去心邻域内洛朗展式中

()0

的系数。1）可奇点处的留数若

z是f

的可去奇点，则

[

]0jz*

0，则0D.0，则0D2）级极点处的留

.法则I

若

z

是极点，则[f,z]

m[(z(1)!m

m

f特别地，若z是f，则Re[flim()0z注：果极点的实际级数比低，述规则仍然有效。法则II

设

f

，0

Q

[

]

0（十六）数基本定设f

在区域内除有限个立奇点

z1

2

,z

n

外处处解析，

为

D

内包围诸奇点的一条向简单闭曲线，则

f

iRe[fnn说明留数定把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为被积函数f孤奇点处留数的局部问题。积分变换复习提纲一、傅里叶变换的概jz*

000（.000（

F[f(t)]

)ejwtdt

.

FF)]

12

Fejf(t)二、几个用函数的里叶变换

F[t)]

1j

[u(t)]

1j

F[

(t)]

[1]

三、傅里叶变换的性

位移性（域

F[f(t)]0

[(t)]

位移性（域

[jwtf(t)]()

w

F()0

位移性推：

t(t)]0

12j

[(w)(w)]0

位移性推：

1wtf(t)][Fw)()]2微分性时域

[jwF(w)t

t)

[f

()

t)]

n

F(w)t