两个总体的统计推断

4两个总体的统计推断两总体均值的统计推断两总体均值的统计推断：匹配样本两总体比率的统计推断总体方差的统计推断：一个总体总体方差的统计推断：两个总体两个总体均值之差的估计：独立样本例：两个商场，一个位于市区，另一个地处某郊区购物中心。地区经理发现在一个商场畅销的商品在另一个商场卖得不一定好。经理认为两个地区的顾客可能在年龄、受教育程度、收入等诸方面有差异。假定经理要求我们调查一下这两个商场的顾客平均年龄的差异。两个总体均值之差的点估计量

μ1

σ1总体1

σ2

μ2总体2抽取简单随机样本容量n1计算抽取简单随机样本容量n2计算计算每一对样本的所有可能样本的

μ1-

μ2抽样分布的抽样分布的抽样分布期望值标准差若两个样本容量都很大(n1≥30且n2≥30)，则的抽样分布近似服从正态分布。的区间估计：

σ1和σ2已知两个总体均值之差的区间估计：σ1和σ2已知式中，1-α为置信度例:取自两个商场地区的独立随机样本的顾客年龄数据如下。求两个总体均值之差的95％的置信区间。

（5±4.06）σ1=9岁σ2=10岁的区间估计：

σ1和σ2已知检验统计量例:

（z=1.66<1.96，拒绝）的假设检验：

σ1和σ2已知σ1=10σ2=10练习考虑取自两个总体的两个独立随机样本提供的资料。a.两个总体均值之差的点估计量是多少？（2）b.求两个总体均值之差的90％的置信区间。

（1.02,2.98）c.求两个总体均值之差的95％的置信区间。

（0.83,3.17）σ1=2.2σ2=3.0例：某银行正在其两个分行进行一项用于识别客户经常性帐户余额差异的研究，账户余额汇总如下

（37，193）的区间估计：

σ1和σ2未知分行1分行2样本容量2822样本均值1025美元910美元样本标准差150美元125美元的区间估计：

σ1和σ2未知两个总体均值之差的区间估计：σ1和σ2未知式中，1-α为置信系数自由度：22检验统计量自由度：的假设检验：

σ1和σ2未知22例：开发了一个新的计算机软件包，想要确定新软件包是否有助于缩短项目平均完成时间，抽取了两组系统分析员进行测试，结果如下：

（t=2.27>1.721，拒绝）的假设检验：

σ1和σ2未知旧软件包新软件包样本容量1212样本均值325286样本标准差4044的统计推断：两总体方差未知但相等关于两个总体以及来自它们的样本的两个假设：(1)两个总体都服从正态概率分布。(2)两个总体方差未知但相等（σ12=σ22=σ2）。

σ2的合并估计量σ12=σ22=σ2

时，的点估计量练习某城市规划小组想要估计某大城市两个相邻地区平均家庭收入之差,假定两地区总体方差相等。a.求两个地区平均收入之差的点估计量。（1200）b.求两个地区平均收入之差的95％的置信区间。

（1200±762）4两个总体的统计推断两总体均值的统计推断两总体均值的统计推断：匹配样本两总体比率的统计推断总体方差的统计推断：一个总体总体方差的统计推断：两个总体独立样本：组成其中一个样本的元素与组成其他样本的元素是相互独立选取的、来自两个（或两个以上）总体的样本。匹配样本：一个样本中每个数据值与另一个样本的对应数据值相匹配的样本。数据的形式观察序号样本1样本2差值1x11x21D1=x11-x212x12x22D1=x12-x22…………ix1ix2iD1=x1i

-x2i…………nx1nx2nD1=x1n-x2n假设的形式假设研究的问题没有差异有差异总体1总体2总体1<总体2总体1总体2总体1>总体2H0μD=0μD0μD0H1μD

0μD<0μD

>0匹配样本的检验差值的样本均值差值的样本标准差例：

（t=2.20<2.571，不能拒绝）练习取自两总体的匹配样本数据，考虑下面假设检验。对α=0.05检验假设，结论如何？

（t=2.236>2.132，拒绝）练习某市场研究机构用一组被调查者样本来给某特定商品的潜在购买力打分。样本中每个人都分别在看过该产品的新的电视广告之前与之后打分。零假设认为“看后”平均得分小于或等于“看前”平均得分。拒绝该假设就表明广告提高了平均潜在购买力得分。对α=0.05，用下列数据检验该假设，并对该广告给予评价。（

t=1.36<1.895，不能拒绝）4两个总体的统计推断两总体均值的统计推断两总体均值的统计推断：匹配样本两总体比率的统计推断总体方差的统计推断：一个总体总体方差的统计推断：两个总体的抽样分布的抽样分布分布形式：如果样本容量较大的抽样分布可由正态概率分布来逼近两个总体比率之差的区间估计：例：求90%置信区间

（0.05±0.045）的区间估计检验统计量的假设检验练习考虑假设检验：a.对α=0.05，您的假设检验有何结论？（z=1.69>1.645，拒绝）b.p-值是多少？

（0.0455）练习《商业周刊对大公司的资深经理关于未来经济展望的观点进行了一次问卷调查。一个问题是“您认为您的公司在未来12个月内，全日制雇员的数目会增加吗？”在1997年5月，400名经理中有220个回答“是”，而在1996年12月，400名经理中有192个回答“是”。求两个时点比率之差的95％的置信区间。您对该区间估计有何解释？（

0.0009，0.1391）4两个总体的统计推断两总体均值的统计推断两总体均值的统计推断：匹配样本两总体比率的统计推断总体方差的统计推断：一个总体总体方差的统计推断：两个总体样本方差的抽样分布(n-1)s2/

σ2的抽样分布若容量为n的简单随机样本取自正态分布，则的抽样分布为自由度为

(n-1)的2分布2分布的性质和特点分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望值：E(2)=n，方差：D(2)=2n(n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U~2(n1)，V~2(n2)，则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布c2分布图示

选择容量为n的简单随机样本计算样本方差S2计算卡方值2=(n-1)S2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的抽样分布c2n=2n=5n=10n=20ms总体总体方差的区间估计例：估计产品灌装过程的总体方差。设抽取了20个容器组成一个样本并且求得灌装量的样本方差s2=0.0025。

（0.0014，0.0053）自由度为19的

2分布

总体方差的区间估计总体方差的假设检验例：某城市汽车公司最近通过鼓励其司机遵守时间，规定到达各汽车站时间的方差小于或等于4分钟。公司定期在各个车站收集到达时间数据以确定是否遵守守时制度。假定在某个特定的市中心车站抽取了由24辆公共汽车到达时间组成的样本，样本方差为s2=4.9。H0：σ2

≤

4

H1：σ2

>

4

（

χ2=28.18<35.172，不能拒绝）总体方差的假设检验关于一个总体方差的单边检验H0：σ2

≤

σ02

H1：σ2

>

σ02检验统计量拒绝法则总体方差的假设检验关于一个总体方差的单边检验H0：σ2

≥

σ02

H1：σ2

<

σ02检验统计量拒绝法则总体方差的假设检验关于一个总体方差的双边检验H0：σ2=σ02

H1：σ2

≠

σ02检验统计量拒绝法则总体方差的假设检验例：历史上，申请驾驶执照的个人考试分数的方差为σ2=100。现在推出一种采用新型考题的考试。机动车辆管理处的官员希望新型考试的考分的方差保持历史水平。为评价新型考试考分的方差，提出下面的双边假设检验。H0：σ2=100

H1：σ2

≠

100一个由30名驾驶执照的申请者组成的样本将接受这种新型考试，样本方差为s2=162。显著性水平为0.05。

（χ2=46.98>45.722，拒绝）练习一个样本由20项组成，其样本标准差为5。a.计算总体方差的90％的置信区间。

（15.76，46.95）b.计算总体方差的95％的置信区间。

（14.46，53.33）c.计算总体标准差的95％的置信区间。（3.8，7.3）练习为使顾客能接受，某种零件尺寸允许的公差非常窄。产品规格要求该零件长度的最大方差为0.0004。假设30个零件的样本方差为s2=0.0005。取α

=0.05，检验总体方差是否违背规格。

（χ2=36.25<42.56，不能拒绝）4两个总体的统计推断两总体均值的统计推断两总体均值的统计推断：匹配样本两总体比率的统计推断总体方差的统计推断：一个总体总体方差的统计推断：两个总体两个样本方差比的抽样分布当σ12=σ22时，s12/s22的抽样分布当样本容量为n1和n2的独立简单随机样本分别取自两个方差相等的正态总体时，s12/s22的抽样分布，服从分子自由度为(n1-1)，分母自由度为(n2-1)的

F分布，即2F分布的性质F分布并不对称。F值永远不取负数。任何给定的F分布，其形状依赖于分子和分母的自由度。两个总体方差比的检验(F

检验)例：用到达或运送时间的方差作为公共汽车公司服务质量的基本量度。较低的方差说明服务质量比较稳定而且比较高。对应的假设如下，取α

=0.10。H0：σ12=σ22

H1：σ12

≠

σ22得到总体1的26个到达时间组成的样本，以及总体2的16个到达时间组成的样本，样本方差为s12=48，s22=20。

（F=2.4>2.28，拒绝）两个总体方差比的检验(F

检验)0不能拒绝H0Fα/2α/2拒绝H0拒绝H0两个总体方差比的检验(F

检验)一般应用中进行假设检验计算时仅仅需要上侧F值通过用总体1表示样本方差较大的总体，我们可以保证拒绝域只可能发生在上侧。虽然下侧临界值仍然存在，我们不需知道它的值，因为用样本方差较大的总体作为总体1的转换，通常使s12/s22比值位于上侧。两个总体方差比的检验(F

检验)两个总体方差的双边检验H0：σ12=σ22