2022年度湖南省湘潭市较场中学高三数学文月考试题含解析

2022年度湖南省湘潭市较场中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线ax+6y+c=0(a、b∈R)与圆x2+y2=1交于不同的两点A、B，若=-

,其中0为坐标原点，则∣AB∣=A.

B.2

C. 2

D. 参考答案：D,故选D.2.等差数列中，，则（

）A．10

B．20

C．40

D．2+log25参考答案：B3.计算复数的结果是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D．选D．

4.设复数（为虚数单位），的共轭复数为，则(

)A．B2

D．1

参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．L4A

解析：由z=﹣1﹣i，则，所以=．故选A．【思路点拨】给出z=﹣1﹣i，则，代入整理后直接求模．5.若则的大小关系为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B6.若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA=

A． B．一

C． D．－参考答案：A7.已知（

）A.3

B.1

C.

D.参考答案：C略8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足,则a的取值范围是A．(－∞,) B．(－∞,)∪(,+∞) C．(,)

D．(,+∞)参考答案：C9.复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则|z1?z2|=（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的乘法以及三角函数的运算法则化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z1=cosx﹣isinx，z2=sinx﹣icosx，则z1?z2=cosxsinx﹣cosxsinx+i（﹣cos2x﹣sin2x）=﹣i．则|z1?z2|=1．故选：A．【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．10.5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是()A．2

B.

C.

D．3参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，则函数的定义域为

．

参考答案：答案：12.已知向量=（1,2），=（0,1），=（-1，m）．若（+2）∥，则实数m=

．参考答案：﹣4【考点】平行向量与共线向量．【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列出方程解方程即可．【解答】解：向量，则+2=（1，4），又，∴m﹣4×（﹣1）=0，解得m=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．13.在中，若,，则

.

参考答案：3

14.设满足约束条件，则的最大值为

．参考答案：215.设函数是定义在上的奇函数，且满足对一切都成立，又当时，，则下列四个命题：①函数是以4为周期的周期函数；②当时，；③函数图像的一条对称轴的方程为；④当时，；其中正确的命题为_____________（填序号即可）.参考答案：解析：（1）∵是定义在上的奇函数，∴，又∵∵对一切都成立

∴∴的周期为，故①正确；（2）∵对一切都成立，又当时，，∴当时，，，从而②正确；（3）∵当时，，又当时，

∴当时，有，于是在有对称轴，又区间长为一个周期，∴函数图像的一条对称轴的方程为成立，故③正确；（4）∵的周期为

∴当时，，于是故④不正确；

综上知①②③成立；16.如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数：①y=ex+x；②y=x2；③y=3x﹣sinx；④f（x）=．以上函数是“H函数”的所有序号为．参考答案：①③【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．【解答】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①y=ex+x为增函数，满足条件．②函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．③y=3x﹣sinx，y′=3﹣cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为①③，故答案为：①③【点评】本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．17.已知A,B,C在球的球面上，AB=1,BC=2，，且点O到平面ABC的距离为2，则球的表面积为

.参考答案：.中用余弦定理求得，据勾股定理得为直角，故中点即所在小圆的圆心；面，在直角三角形中求得球的半径为；计算球的表面积为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（13分）已知等比数列{an}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．（Ⅰ）求公比q和a3的值；（Ⅱ）若{an}的前n项和为Sn，求证＜2．参考答案：【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想；作差法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（II）作差﹣2化简即可得出．【解答】（I）解：∵等比数列{an}的公比q＞0，且a1=1，4a3=a2a4．∴4q2=q4，解得q=2．∴a3=4．（II）证明：an=2n﹣1，Sn==2n﹣1，∴﹣2=﹣2=2﹣﹣2＜0，∴＜2．【点评】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前n项和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.（本小题满分13分）已知，是，轴正方向的单位向量，设，，且满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）设点，点、、、在曲线上，若与共线，与共线，且，求四边形的面积的最小值和最大值.20.参考答案：（1）

由椭圆的定义可知，动点P(x,y)的轨迹方程（2）直线AB,CD中至少有一条存在斜率，不妨设AB的斜率为k，故AB的方程为

，将此式子带入椭圆方程得，设A,B两点的坐标分别为，则，从而?当时，CD的斜率为，同上可得故四边形ABCD面积?当，故四边形ABCD面积的最小值和最大值分别为20.（本题满分12分）已知函数的图象经过点(1)求实数的值；(2)求函数的周期及单调增区间.

参考答案：解：函数的图象经过点------3分解得：------6分(2)由(1)知：函数f(x)的周期

（10分）由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，解得2kπ－≤2x≤2kπ＋k∈Z.即函数的增区间k∈Z.

（12分）

略21.（本小题满分12分）已知是三次函数的两个极值点，且,,求动点所在的区域面积.参考答案：由函数可得，,

………………2分

由题意知，是方程的两个根，

……5分且,,因此得到可

行域,…………9分即,画出可行域如图.

………11分

所以.

………12分22.（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；（2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。DBECA参考答案：（1）分别取的中点,连接,则∥,∥,且，因为，,为的中点，所以,，BEDCAM

NP又因为平面⊥平面，所以平面．……………3分又平面,所以∥，……5分所以∥，且,因此四边形为平行四边形，BEDCAMH所以∥，所以∥，又平面，平面，所以∥平面.……7分（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）（2）解法一:过作垂直的延长线于,连接.因为,,所以平面,平面