FEA-08-梁与板壳问题-修改版

北京科技大学数理学院应用力学系工程中的有限元方法第八章梁与板壳问题本章重点和应掌握的内容1、介绍梁问题的有限元格式。2、介绍板壳问题分析的有限元格式3、结构单元与实体单元的连接问题4、ANSYS的自由度耦合方法。

1、位移函数据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系：设x轴与梁单元重合，梁的主惯性轴为y，外载作用于同一平面内，则梁单元处于平面弯曲状态。每个节点两个自由度，即y向线位移和绕z轴的转角，节点力和节点力矩如图所示。节点力和节点位移向量为：§8.1纯弯曲梁单元刚度矩阵利用两个节点坐标可带定四个系数，并整理为插值函数形式：梁单元弯曲变形时，若忽略剪切的影响，则由材料力学得x方向的位移及应变为：2、应变矩阵将形函数代入几何方程得：3、刚度矩阵由：注意：当梁单元受到拉压和弯曲综合作用时（称平面刚架梁单元），单元的节点位移向量和节点力向量为：

其刚度矩阵可直接迭加得到（当然，必须先将矩阵扩大为6x6的矩阵）§8.2拉压-弯曲梁单元刚度矩阵杆单元扩大刚度矩阵弯曲梁单元扩大刚度矩阵刚度矩阵为：其刚度矩阵类似上述受拉压-弯曲综合作用的梁单元刚阵的形成，可迭加得：（也可据刚度矩阵元素的物理意义，从材料力学得到）对于空间梁单元，每个节点有六个自由度，设x轴为单元轴线，节点位移和节点力向量为：§8.3拉压-弯曲梁单元刚度矩阵第1行，对应只有ui=1，其他自由度位移为0时，在相应自由度上的受力（只有轴线方向受力）；即受拉压作用的杆单元刚阵；第2，3行，vi=1,(或wi=1)，其他自由度位移为0时，即单跨超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，第4行，即杆纯扭转情况，第5，6行，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，纯弯曲。（以上矩阵元素均可从材料力学公式中查得）基本方法与步骤与前述的杆单元的节点位移、节点力和刚度矩阵变换到统一的整体坐标的步骤相同。§8.4坐标变换与整体刚度矩阵的组装梁单元

是线单元，用于模拟杆系结构。在一些情况下，梁单元比实体单元和壳单元更有效，常用于以下工程领域：建筑结构桥梁和道路公共交通(有轨电车, 火车,公共汽车)等§8.5ANSYS梁单元A.梁的属性建立梁的第一步,同任何分析一样，先建立几何模型—通常是由关键点和线组成的线框。接着，定义如下的梁属性：单元类型横截面材料特性单元类型选择下面单元类型之一：BEAM188—3-D,线性(2-节点)。BEAM189—3-D,二次函数(3-节点)。ANSYS还有许多其它梁单元，推荐使用

BEAM188和189对绝大部分梁结构都适合。支持线性和非线性分析，包括塑性，大变形和非线性失稳。可以模拟分层材料、复合材料、截面配筋。用户自定义截面。在前、后处理过程中很容易使用。截面定义BEAM188和189单元，包括对横截面的定义。BeamTool

提供了一个定义截面的方便工具。Preprocessor>Sections>Beam>CommonSectns...选择截面的形状，输入尺寸。按

Preview

按钮观察截面，然后按

OK。若有多种截面，必须给每种截面指定不同的编号（还可以赋予名字）。梁横截面预览(SECPLOT)。除了预先规定的截面形状外，

ANSYS允许用户通过建立二维实体模型来建立“自定义”截面。同标准截面一样，可以把自定义的截面保存到截面几何数据库中，便于日后使用。详细信息请参考ANSYS结构分析手册第16章。材料属性可以是线性或非线性材料属性。梁的属性定义好以后，下一步是对几何模型进行网格划分。B.梁网格划分对几何模型用梁单元做网格划分，包括三个主要步骤:指定线的属性指定线分割控制划分网格

MeshTool

提供了完成上述三个步骤的便利操作第1步：指定线的属性线属性包括：材料号截面号定位关键点截面相对于梁轴线的方位。必须指定截面类型。一个关键点可以分配给多条线(即，不需要为每条线都指定不同的关键点)。每条线的端点都有它的定位关键点，允许截面绕梁的轴线扭转。定位关键点的示例：MainMenu:Preprocessor→Meshing→MeshAttributes→PickedLines拾取梁线→PickOrientationKeypoint(s)提示框内打勾（显示yes）→Apply→拾取参考点

也可以用MeshTool指定单元属性(或选择线后使用

LATT

命令)拾取线后ApplyBEAM188和189的附加属性第2步：线分割控制使用BEAM188和189单元,不要把整个梁作为一个单元。使用MeshTool的“SizeControls”指定想要的线分割数(或用LESIZE

命令)

。第3步：生成网格先保存数据库文件(Toolbar>SAVE_DB

或使用SAVE

命令)。按下MeshTool中的

Mesh

按钮(或执行

LMESH,ALL命令)生成网格。拾取线在单元绘图中，按截面形状显示单元：UtilityMenu>PlotCtrls>Style>SizeandShape…或使用命令/ESHAPE,1网格划分完成后，施加荷载并求解。C.加载，求解，结果分析典型的梁荷载包括:位移约束施加在节点或关键点上。力施加在节点或关键点上。压力按单位长度的压力施加在梁上。按单元表面的压力施加在梁上。Solution>Apply>Pressures>OnBeams或使用SFBEAM

命令。重力或离心力作用在整个结构上。求解：保存数据库文件。求解(或把载荷写入载荷步文件，然后求解所有载荷步)。查看结果与一般应力分析过程相同：观察变形。观察反力。画应力、应变图。BEAM188和189单元的主要优点是，可以直接在单元上观察应力（与壳和实体单元相同），但必须激活单元形状显示。一、

弹性薄板基本概念xyzuvw中面所谓薄板是指板厚h比板最小尺寸b在如下范围的平板板面位移如图所示。当w小于板厚h时，有克希霍夫(G.kirchhoff)假定成立：

a)板中面是中性面，没有变形。

b)中面法线变形后仍为挠曲面法线，长度不变。

c)忽略应力z和应变z

。平分厚度的平面称中面。§8.6弹性板壳基本知识由克希霍夫假定，忽略应变z可推得w与z无关，由b)可知zx和yz等于零，再加上中面无变形，最终可得由此结果可得x向曲率y向曲率扭率他们完全确定板的变形，因此称他们组成的矩阵为形变矩阵，记作[]，也即：位移只与挠度w有关由此可得薄板应变矩阵为[]=z[]1)设平面应力弹性矩阵为[D]’，则薄板应力矩阵为[]=-z[D]’[]。xyz扭矩弯矩2)薄板内力微元体如图所示。由图可得二、

薄板内力和总势能由此可得薄板单位长度内力为Mx、My、Mxy=Myx

(dx=dy=1)，依此顺序排列的列阵称内力矩阵，记作[M]。将应力应变关系代入并对z进行积分，可得[M]=[D][]式中[D]=（h3/12）[D]’称作薄板的弹性矩阵。3)薄板的应变能4)薄板的总势能设薄板受z方向分布荷载q(x)作用，则线弹性薄板的总势能为上式就是下面作有限元分析的理论依据。能写出各向同性弹性体的[D]矩阵吗?

能写出正交各向异性弹性体的[D]矩阵吗?1.薄板单元位移模式设局部编号1、2、3、4，x、y方向长度分别为2a、2b的矩形板单元如图所示。xyzw3y3x3Q1My1Mx112431)结点位移和结点力矩阵图中还给出了各结点位移和结点力的示意图。§8.7弹性薄板矩形单元2)形函数的确定薄板的形函数可以用广义坐标法，也可以用试凑法得到。由于单元自由度为12，因此可有12个广义坐标，位移模式可设为如下不完全四次多项式利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然十分麻烦。龙驭球提出利用对称性较直接广义坐标法要容易一些，也还有很大工作量。为此介绍试凑法,首先引入自然坐标=x/a，=y/b。xyzw3y3x3Q1My1Mx112433)试凑形函数N1

由形函数性质，对N1有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4N1对x，y的偏导数在结点处均为零。利用所有点N1的导数为零条件，P.125经式(c)~(l)的推导，可得考虑到挠度是非完全四此式，为使自动满足它点为零N1(j)=0，可设再由本点处位移的条件，可得d=-1/8，由此xyzw3y3x3Q1My1Mx112434)其他形函数Nj、Nix、Niy

记0=i；

0=

i

仿N1可得:对于转角xi相关的形函数，同样思路推导可得对于转角yi相关的形函数，可推导得xyzw3y3x3Q1My1Mx112435)薄板的挠度场有了每一结点的形函数，记则薄板的挠度场可由结点位移表示为6)单元间位移的协调性可以证明，上述w在边线上任意一点的挠度和转角都是三次多项式。xyzw3y3x3Q1My1Mx11243因此，边线的挠度和转角可由两端点的挠度和沿边线导数对应的转角唯一地确定。但是，边界法向转角只有两端两个法向转角位移条件，当然无法唯一地确定，所以相邻单元法向转角位移不协调。由此可见，由形函数所建立的挠度场是非完全协调的。（教材上有更严密的数学证明）xyzw3y3x3Q1My1Mx112437)非完全协调元的收敛性对于薄板等位移场非完全协调的位移模式,如何才能保证收敛呢?

Irons给出了分片检验准则：用待检验的单元组成一小片，在无荷载、单元结点位移满足“常应变”状态位移条件时，如果各结点能够保持平衡且获得“常应力”受力状态，则这种位移模式对应的单元在如此网格下一定收敛。教材给出了具体检验的方法、步骤，请自学。四、薄板的单元列式1)总势能用结点位移表示将位移模式代入可得形变矩阵为xyzw3y3x3Q1My1Mx112432)薄板单元刚度方程式中由总势能的一阶变分为零可得xyz壳体一般其中面都是曲面，对于柱面壳体，可以用一系列小的矩形平板来逼近它。此外还有一些折板结构，它们都可以用平板壳元来分析。柱壳折板结构1.平板壳体单元刚度方程壳体结构象拱一样，中面既受面内力作用产生面内变形外，还将象板一样产生弯曲。但由于弯曲中面无变形，面内变形又不产生弯曲，两者互不藕联。因此，可以象杆件单元一样，用平面应力和平板弯曲组合来得到壳体单元刚度方程。§8.8矩形平板壳体单元2.坐标转化问题平面问题（除等参元外）和平板弯曲问题单元局部坐标和整体坐标一致，因此没有坐标转换问题。如图示意，各平板壳元局部坐标可能不同，所以集装前要做坐标转换。xzy32取母线为局部x如图由1、4点的坐标，可以确定局部坐标y的单位向量，局部坐标x单位向量已知，由这两单位向量的向量积就可获得局部z坐标单位向量。按上述思路，需要建立各单位向量的方向余弦，由此即可获得坐标转换矩阵[T]。14壳体边界条件的提法对称边简支边自由边1/4圆柱壳xyz固定边简支点ANSYS壳单元shell181Shell181适用于薄到中等厚度的壳结构。基本原则是每块面板的主尺寸不低于其厚度的10倍。壳单元有四个节点，单元每个节点有六个自由度，分别为沿节点X，Y，Z方向的平动及绕节点X，Y，Z轴的转动。退化的三角形选项用于网格生成的过渡单元。Shell181单元具有应力刚化及大变形功能。该单元有强大的非线性功能，并有截面数据定义，分析，可视化等功能。还能定义复合材料多层壳。Shell181壳单元的截面定义了垂直于壳X-Y平面（中面）的形状。通过激活壳截面定义可以定义Z方向连续层，每层的厚度，材料，铺层角及积分点数都可以不同。Shell181单元截面的定义一般步骤为：（Preprocessor→Sections→Shell-Add/Edit）1

定义截面及其相关的截面号码.2

定义截面的几何数据.应当注意：壳体有限元可以简单的看成是平面应力单元与平面弯曲单元的叠加，（1）壳单元对于细节部分的应力分布不能准确显示。（2