数学-计算方法第1章误差

海洋大学海洋与气象于 : 楼计算IntroductiontoNumericalComputational 时 分课程性质：闭卷考成绩组成：期末（70%）+平时 材：《计算方法引论薇、孙绳武著，高等教计算方法的主要内误差§，插值与数值微分§，数值积分§§方程的解法法。计算方法的定课程的主要目际问题而提供的一种计算工具，故的任务培养学生基本的和必要的数值计算方面的知建建立数学模选取计算方编写上机程计算得出结第1误差的来源数值运算中应注意的事项误差来1、模型误2、观测误3、截断误4、舍入误模型误模型误差例

s(t1gt2，（g为重力加速度2来描述物体自由下落时距离与时间的关系．设自由落体在

t时的实际下落距离

，st

观测误数据受工具、方法、观测者的因素、不可预观测误差例例设一根铝棒在温

t时的实际长度

Lt

t时的实际长度为 ，用lt来表示铝棒在温度为度计算值，并建立数学模型ltL0(1t)其中cc

时的，则

Lt

的“测误差截断误称为截断误差截断误差例exex展开为级数形 x x 1x 2! n在实际计算时，我们只取前面有限项（例n项nx nSn(x)1x 2!计算Sn(x)作为ex的值必然产生误差，其误差为xRn(x)kn k这个误差就是“截断误差舍入误舍入误差例

，2，10.333，2，3

如果取小数点后四位数字，l13.1416，2l21.4142 2l0.33331 就是“舍入误误差来源分总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误误算导，较 现 能。误差理误差、误差限、有效数相对误差及与有效数字的算术运算的误差和相对误误差的概

设x为准确值x*x的一个e*x*x为近似x*的绝对误差简称误差绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值绝对误差通常我们并不知道准确x，也不能算出误差的差的绝对值的上限，这个上限称为近似值x*的误差限。记为*e*

xx

e*在工程中常记为xx*即x[x*x*]内。在应用上，常常采用上述写绝对误差限例例我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度x，xx*x1235 1234.5x这表明x在区[1234.5,1235.5]内x1235相对误e* x*e

x*e* r r

称作近似 的相对误差，记作r。相对误是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负相对误差相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限e估计的e*r*

*x*x*x

r*rr 就是相对误差限，或者记为 相对误差限例称两堆苹果，第一堆10kg，误差为1kg；第二堆为100kg，误差为2kg，虽然后者的误差限比到该数本身的大小

e

e

显然，称第一堆苹果的相对误差大有效数字位定义1.3如果

的近似

x*的绝对误差限是某一位上的半个单位，我们就说x*准确到该的所有数字称为

的有效数字定义：如

x*

12则说x*x准确到小数后第n位，并从这第n，。

12

3.140.001592 有效位数为3

1212

有效位数为5 有效位数为6重要定理、a10pn设近似x*a10pn

，其中a10a1,a2 ,

都是0-9中的一个数字，p是整数 x*

110pn则近似值x*n例题分

x*3587.64 x的具有六位有效字的近x*x110461 若x* 是近似值，则

的具有五位有效数字x*x

110251 例已知x2.71828182,其近似值为x*2.718r求x*的绝对误差限*和相对误差限*.r 绝对误差e*x*0.00000182|e*|0.00000182 0.000002210*2106和并不*和并不*r是唯一的！

2106 |x* 2.7180.71106 若经四舍五入取小数点后3,5,7位数的近似值,求绝对误差限* 3.14159265

|*| 3.14159 3.141592

0.0004070.000002650.00000004

0.51030.51050.5107四则运算的误绝对误差：ex*x例如下列式子说明什么?数值计算中应该注意的一些要使例：求解：由

1dx（n0,1,2,8）的值1x

1

5xn1dn 1xn1dx

x 初1 1

dxln6ln5

x递推公I0 1 (n1, ,

(*)式就可以逐步I115I0 1 1

注意此公式精确成 1

不稳定的算 1 1 这就是误 所引起的危害15，改变公 变将公

1

(Kn,n

k 5不妨设

I，于是

11

5可求得I90.017，按公式（**）可逐次求I8 I7I6I4I2I0

I5I3I1

稳定的误差 与积蝴蝶效应——纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日丽 以上是一个问题 输了一场战斗，亡了一个要避:求x1xyx1x

的值。当x1000，y的准确值为0.01580y 2、将（*）改写x1xx1xx1xx1x则y类似

lnxlnylny

sin(x)sinx2cosx2sin 例 2.7182如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化2.7182精确

x2 (1091)x